2025届第一次联合模拟考试
参加学校: 京师荟成学校 燕岭学校
数 学
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则( )
A. B. C. D.
3.南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
4.在中，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处取得最值，且在上恰有两个极值点，则( )
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A. B. C. D.
6.已知复数满足，则
A. B. C. D.
7.对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. 或 D.
8.已知实数，满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知定义域为的函数满足：，的图象关于直线对称对任意的实数，，且，都有，则( )
A. 是偶函数 B.
C. 的图象关于对称 D.
10.下列命题中正确的是( )
A. 函数的周期是
B. 函数的图像关于直线对称
C. 函数 在上是减函数
D. 函数的最大值为
11.某圆锥的底面半径为，母线长为，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )
A. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
B. 圆锥的体积为
C. 过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为
D. 圆锥轴截面的面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为 ．
13.已知的展开式中，的系数为，则______．
14.已知，若，则的最小值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某大学生参加社会实践活动，对某公司月份至月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如下表所示：
月份
销售单价元
销售量件
根据至月份的数据，求出关于的回归直线方程；
若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问中所得到的回归直线方程是否理想？
预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从中的关系，若该种机器配件的成本是元件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？注：利润销售收入成本．
参考公式：回归直线方程，其中，
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，过，，三点的平面与此正方体的面相交，交线围成一个多边形．
在图中画出这个多边形不必说出画法和理由；
平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比其中；
若点是侧面内的动点，且，当最小时，求三棱锥的外接球的表面积．
17.本小题分
小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设、、猜中的概率分别为，，，且、、是否猜中互不影响．
Ⅰ求恰好获得元的概率；
Ⅱ设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望．
18.本小题分
设是定义域为的函数，如果对任意的，，均成立，则称是“平缓函数”．
若，试判断是否为“平缓函数”并说明理由；
已知的导函数存在，判断下列命题的真假：若是“平缓函数”，则，并说明理由．
若函数是“平缓函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的，，均有．
19.本小题分
已知，其中常数
当时，求函数的极值；
若函数有两个零点，求证：．2025届第一次联合模拟考试
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数学参考答案
（答案仅供参考，请认真听老师讲解）
1.【答案】
【知识点】复数的模及其几何意义、复数的除法运算
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算、复数的模，属于基础题．
首先根据复数的运算法则化简复数，再求模即可
【解答】
解：依题意，，故，
故．
2.【答案】
【解析】解：因为是偶函数知，
所以，
所以的图象关于直线对称，
又的图象关于中心对称，
所以，
由，
可得，
由可得：
，
所以，
所以，
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故函数的周期为，
则，，，
则，
则．
故选：．
由题意可知的图象关于直线对称，由的图象关于中心对称，可得，从而可得函数的周期为，，即可得答案．
本题考查了抽象函数的对称性、周期性，难点是得出函数的周期为，属于中档题．
3.【答案】
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】解：由题意可知：，，，，，，，的差的数列为：，，，，，，
这个数列的差组成的数列为：，，，，，是等差数列，
所以前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为：．
故选：．
利用已知条件，推出数列的差数列的差组成的数列是等差数列，转化求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，等差数列的定义的应用，是中档题．
4.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合正弦定理的应用，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦型函数的性质，属于基础题．
首先求出，又，，即可求出．
【解答】
解：由题意可知，，，解得，，
当时，由，得，
由题意，得，解得，
所以不存在
当时，由，得，
由题意，得，解得，
所以．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
利用复数的四则运算、模的计算公式即可得出．
【解答】
解：，
则．
7.【答案】
【解析】解：构造，
当时，，不符合，
当时，是增函数，
因为对任意的实数，不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，解得或，因为，所以．
当时，是减函数，因为对任意的实数，恒成立，
恒成立，
解得或，因为，所以．
综上所述或．
故选：．
构造，讨论的正负，通过探究的增减性，求的取值范围．
本题主要考查构造函数解决不等式恒成立问题，属于简单易错题，解题时一定要注意哪个字母才是构造函数中的变量．
8.【答案】
【知识点】利用不等式的基本性质证明不等关系、利用幂函数的图象与性质比较大小、利用对数函数的图象与性质比较大小
【解析】【分析】
本题考查比较大小，属于中档题．
根据选项，利用不等式性质及指数函数及其性质，对数函数及其性质，幂函数性质判断即可．
【解答】
解：对于，，，即，故A错误
对于，由得，，
所以，即，故B错误
对于，由指数函数与幂函数的单调性可知，，故C错误
对于，由对数函数的单调性可知，，故D正确．
故选D．
9.【答案】
【知识点】求函数值、利用函数的单调性比较大小、抽象函数的单调性、利用余弦函数的单调性比较大小、利用正弦函数的单调性比较大小、周期函数、函数的对称性、抽象函数的奇偶性
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，属于较难题．
利用函数的奇偶性、对称性、单调性，结合选项分析得出结论．
【解答】
解：由函数的图象关干直线对称，得的图象关于直线对称则是偶函数，故A正确；
对任意的实数，，且，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，又，所以，故B错误；
因为，所以，则，所以是周期为的周期函数，又，故，结合是偶函数，可得，所以函数的图象关于点对称，故又的周期为，所以的图象关于点称，
故CD正确．
故选ACD．
10.【答案】
【知识点】求正弦型函数的值域或最值、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、正弦（型）函数的周期性、求正弦（型）函数的对称轴、对称中心、判断正弦型函数的单调性或求解单调区间、二倍角余弦公式
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质及三角恒等变换，属于中档题．
利用正弦函数的性质判定，利用二倍角公式及余弦函数的性质判定，利用三角函数的性质判定．
【解答】
解：函数的周期是，故A正确；
函数，由，，可得，为函数的对称轴，故B错误；
函数，由，，可得，，故函数在上是增函数，故C错误；
函数
，故其最大值为故D正确．
11.【答案】
【解析】解：对选项，侧面展开图中，扇形的半径为，弧长为，
由弧长公式有圆心角为，选项正确；
对选项，圆锥的高为，圆锥的体积为，选项错误；
对选项，在轴截面中，顶角的余弦值为，顶角为钝角，
当两条母线垂直时，截面的面积最大，最大值为，选项正确；
对选项，轴截面为腰为，底为的等腰三角形，其面积为，选项正确．
故选：．
对选项，侧面展开图半径为，弧长为的扇形，故圆心角为；
对选项，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；
对选项，在轴截面中，由余弦定理得顶角为钝角，所以当两条母线垂直时，截面的面积最大；
对选项，轴截面为腰为，底为的等腰三角形，面积为．
本题考查圆锥的结构特征，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象与性质以及三角函数的恒等变换，考查基本三角函数化简．
利用三角恒等变换把化为一个角的正弦函数，再由正弦函数的图象与性质求解．
【解答】
解：由题意可得：
，
故，即，
由于，是函数的两个零点，
所以为函数的最小正周期，
即，解得：，
故有：，
当时，，
可知，
即，
所以最小值与最大值之和为．
13.【答案】
【知识点】二项展开式的特定项与特定项的系数
【解析】解：，
所以它的展开式中，的系数为：
，
解得．
故答案为：．
由，求出它的展开式中的系数即可．
本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题．
由，得出，利用基本不等式，即可求出结果．
【解答】
解：因为，，
，
当且仅当，即，时取“”，
所以的最小值为．
故答案为．
15.【答案】．
可以认为所得到的回归直线方程是理想的．
该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大．
【解析】分析：计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；
根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想；
求销售利润函数，根据二次函数的图象与性质求最大值即可．
详解：
因为，
所以，则，
于是关于的回归直线方程为；
当时，，则，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；
令销售利润为，则，
因为，
当且仅当，即时，取最大值．
所以该产品的销售单价定为元件时，获得的利润最大．
点睛：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属中档题．
16.【答案】
设中点为，连接，，则由正方体性质可得，且，
故四边形为平行四边形，则．
又中点为，中点为，故，则，故这个多边形为四边形．
在正方形中，直线与直线相交，
设，连接，设，连接，
由为的中点，得为的中点，，
所以平面即为平面，
因为为的中点，所以为的中点，
所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台，
因为正方体的棱长为，
所以
，
另一部分几何体的体积，
两部分的体积．
取的中点，的中点，连接、、、，
显然，，所以，平面，平面，
所以平面，
又为的中点，所以且，又且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
平面，平面，
所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又点是侧面内的动点，且，
所以在线段上，又，
即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，
因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为，
令，则为的中点，连接，则，所以平面，
所以球心在上，设球心为，连接、、，
设外接球的半径为，，则，
又，，
所以，，解得，则，
所以外接球的表面积．
【知识点】线面垂直的判定、球的表面积、棱锥的体积、棱台的体积、面面平行的判定、球的切、接问题、空间几何体的截面问题（截面形状、面积）
【解析】本题考查空间几何体的截面问题，棱台的体积和球的表面积，属于较难题．
设中点为，再证明即可知这个多边形为；
设，连接，设，连接，即可得到截面即为平面，再根据锥体、柱体的体积公式计算可得；
取的中点，的中点，连接、、、，即可证明平面平面，则在线段上，从而得到当为的中点时最小，令，连
接，则球心在上，设球心为，连接、、，利用勾股定理求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式计算可得．
17.【答案】解：若恰好获得四元红包，则结果为未猜中，未猜中，猜中，
故A恰好获得元的概率为；
的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望为．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列、基本事件
【解析】本题考查了相互独立事件的概率计算以及离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．
根据相互独立事件的概率公式计算即可；
由题意，的可能取值为，，，，计算对应的概率值，写出的分布列与数学期望值．
18.【答案】解：不是，理由如下：
令，，
因为，
则，，
不满足对任意的，，均成立，
故不是“平缓函数”．
命题为真命题，理由如下：
因为，
不妨令，，
因为是“平缓函数”，
则，
所以，
故命题为真命题；
证明：因为是以为周期的周期函数，
不妨设，，
当时，因为函数是“平缓函数”，
则；
当时，
不妨设，则，
因为是以为周期的周期函数，
则，
因为函数是“平缓函数”，
所以
，
所以对任意的，，均有，
因为是以为周期的周期函数，
所以对任意的，，均有．
【解析】可令，，根据“平缓函数”的定义判断即可；
根据导函数的定义，令，，结合“平缓函数”的定义即可证明；
因为是以为周期的周期函数，不妨设，，分为，根据函数是“平缓函数”即可证明．
本题属于新概念题，考查了学生的逻辑推理能力、运算能力，考查了导数的定义及放缩法的应用，属于中档题．
19.【答案】有极小值，无极大值；证明见解析．
【解析】【分析】
求出的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；先证明：当恒成立
时，有成立．若，则显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证．
【详解】函数的定义域为，
当时，，，在单调递增且
当时，，所以在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
先证明：当恒成立时，有成立
若，则显然成立；
若，由得，令，则，
令，由得在上单调递增，
又，所以在上为负，递减，在上为正，递增，，从而．
因而函数若有两个零点，则，所以，
由得，则，
在上单调递增，，
在上单调递增，则
，由得，
则，，综上．
【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．
