福建省言蹊七月联考2024-2025学年高三下学期摸底考试数学试题（pdf版，无答案）

绝密★启用前 （2024年 7月 21日 15：00—17:00前）
言蹊七月联考暨 2025届高考摸底考试（模拟试卷）
数 学 试 题
注：新高考地区适用
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色签字笔填
.写清楚，同时用 2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答
.案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回
.答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1 3
..1. 已知 P (A|B) =P (B|A) = , P ( A ) = ，则 P (B) =
2 4
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 4 8 16
..2. 已知集合 A x 64 x＜64 ，集合 B由全体合数组成，则 A B
A. {-4} B. {4} C. {-4,4} D.
x2 y2
..3. 已知双曲线C： 2 2 1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为 y=2x，且a b
双曲线经过点(3, 5 )，则该双曲线 C的离心率为
5 13
A. B. 5 C. D. 13
2 2
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..4. 用 a、b、c表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题，正确的
有
① 若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ② 若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c；
③ 若 a∥ ，b∥ ，则 a∥b； ④ 若 a⊥ ，b⊥ ，则 a∥b.
A. ①② B.②④ C.①④ D.③④
..5. 已知 x [0, π ] 3π，
4 sin x cos x
3 5
，则 tan(x )
5 4
A. 2 B. 2 C. 5 D. 3
f (x )
..6. 用“作切线”的方法求函数 f (x)零点时，若数列 xn 满足 x nn 1 ，f (xn )
2
则称该数列为言蹊数列. 若函数 f (x) ax bx c(a＞0)有两个零点
x 2
1和 2，数列 xn 为言蹊数列. 设 an ln n ，已知 a 1， a 的xn 1 1 n
前 n项和为 Sn，则 S2022 1
A. 2022 B. 2023 C. 22023 D. 22022
..7. 将圆柱 O1O2的下底面圆 O1置于球 O的一个水平截面内，恰好使得 O1
与水平截面圆的圆心重合，圆柱 O1O2的上底面圆 O2的圆周始终与球 O
的内壁相接（球心 O在圆柱 O1O2内部），已知球 O的半径为 3，OO
3
1 2，
则圆柱O1O2体积的最大值为
A． 24π 20π 81π 81πB． C． D.
4 6
π π
..8. 已知函数 f (x) cos 2x， g(x) sin x，则存在 , 6 4 ，使得
A. 2g(θ) f (θ) g(θ) f (θ) B. 4g(θ) f (θ) f (θ) 2g(θ)
C. 2 f (θ) g(θ) g(θ) f (θ) D. f (θ) g(θ)
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二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中
有多项符合题目要求的。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有
选错的得 0分。
..9. 已知某中学的高中女生体重 y（单位：kg）与身高 x（单位：cm）具有
线性相关关系，根据一组样本数据 (xi , yi )(i 1,2,3,...,n)，由最小二乘
法近似得到 y关于 x的回归直线方程为 y 0.85x 85.71，则下列结论中
正确的是
A. 该回归直线必过点 (x , y)
B. ..y与 x是负相关的
C. 若该中学某高中女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0.85kg
D. 若该中学某高中女生身高为 160cm，则其体重必为 50.29kg
10. 在锐角△ABC中，tanB=3tanC，角 A、B、C对边分别为 a，b，c，则
A. a 2c cos B
B. 2ac b
C. tan A tan 2 C 3
PB PC 1D. 若 AC上有一动点 P, 则 a2 cos2最小值为 C
2
11. 对于实数 a , b下列错误的是
A. .(a , b)在直线 y.=.kx+c 上( k R,c R )是(a , b)到 y.=.kx+d 距离
c d
B. 为 的充要条件
k 2 1
B. 若a＞0,b＞0,a b 1 ab 1，则 最大值是
a 4b 9
C. 如果存在一个定义在 R上的函数满足 f (a.+.b) = f (a) + f (b)，那么必
C. 存在一个数 m，使得函数 f (t) = mt对所有有理数 t均成立
D. 若a cos0.1,b 0.9，则 b > a
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12. 已知复数 z ，则 z = .
2 i
13. 已知函数 f (x) = px2-mlnx，其 x.=1 处的切线是函数 g(x) = ex+n在 x=0 处
的切线，则函数 y = 6px2-4mx+2n恒过定点 .
x2 y2
14. 已知椭圆 2 1的右焦点 F与抛物线 y2= 2px(p＞0)焦点重合，M4 m
是椭圆与抛物线的一个公共点， MF 6 3 2 ，则椭圆的离心率
为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。
15. （13分）
如图所示，在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AB//CD，
∠ABC = 90°，侧面 VBC 底面 ABCD且 VB=VC=BC=AB=2CD=2，E为 VA中
点.
（1）求证：EB AD；
（2）求二面角 B-VD-A的正弦值；
（3）求点 C到平面 VAD的距离.
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16. （15分）
a
已知正项数列 an 中 a n1=4且 Sn Sn 1 (n 2)，其中 Sn为数列2
an 的前 n项和.
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若ak 1是 a1和 Sk 2 的等比中项，求 k值；
1
（3）令bn 2 (n 2)，求数列 bn 前 n项和 Tn.an 16
17. （15分）
ax 2
已知函数 f (x) e ax x ln x (e 1)x, (a R) .
（1）当 a =1时，求函数 F (x) f (x) 1 x2 x的最小值；
2
（2）若 f (x) ≥ 0，求 a的取值范围.
18. （17分）
某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品. 已知生产一件产品为
一等品、二等品、三等品的概率分别为 P1、P2、P3，且 P1+P2+P3=1. 从该工
厂生产的产品中随机抽取 n件，设其中一等品的数量为 X，二等品的数量为
Y.
（1）若 n =10，已知 X的数列期望 E (x)=4，X的方差 D (x)=2.4求 P1的
值。
（2）若 n =20，且 Y服从二项分布 B（20，P2）. 已 P (Y=6) = P (Y=8)，
求 P2的值。
（3）已知 P1=0.4，P2=0.3，在抽取的 n件商品中，一等品和二等品的数
量之和为 M. 求当 n为何值时，M的数学期望取得最大值？
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19. （17分）
2
对于求解方程 q：x 2y2 1的正整数解Qn (xn , yn ) (xn , yn ,n N*)的问
x1 3
题，循环构造是一种常用且有效地构造方法．例如已知 是方程 q的
y1 2
2 2
一 组 正 整 数 解 ， 则 1 3 2 2 (3 2 2)(3 2 2) ， 将 1
(3 2 2)(3 2 2) 代 入 等 式 右 边 ， 得 1 (3 2 2)(3 2 2) 1
(3 2 2)(3 2 2)(3 2 2)(3 2 2) 2，变形得1 (3 2 2) (3 2 2)2
(17 12 2)(17 12 2) 172 2 122 ，于是构造出方程 q 的另一组解
x2 17
，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解
y2 12
时满足 x1最小，则依．次．重．复．上．述．过．程．可以得到方程 q的所．有．正．整．数．解．. 已知
E x
2 y2 1(a＞0,b＞0) 2 3双曲线 ： 2 2 的离心率为 ，实轴长为 2．a b 3
（1）求双曲线 E的标准方程；
x2 y2
（2）方程 2 2 1的所有正整数解为Qn (x *a b n
, yn ) (n N )，且数列
xn 单调递增.
...① 求证： xn 2 xn始终是 4的整数倍；
...② 将Qn (xn , yn ) (n N*)看作点，试问△OQnQn+1的面积是否为定值？
若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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