§1.3.1函数的单调性
深圳第二外国语学校 许美玲
一、教学内容分析：
本节选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析：
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
我校学生基础较弱，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
三、教学目标：
1.知识与技能：理解函数单调性的定义，判断及证明；
2.过程与方法：通过函数单调性定义的形成，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的思想；
3.情感态度价值观：通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯.
四、教学重点与难点：
1.教学重点：函数单调性的定义；
2.教学难点：归纳抽象出函数的单调性的定义，根据定义证明函数的单调性.
五、教法学法
1.借助多媒体和几何画板软件
2.以教师启发讲授为主，学生自主探究为辅的教学模式
六、教学过程设计：
创设情境，引入新课:
前面，我们学习了有关函数的基本概念，下面通过函数的图象来研究函数的性质。
问题1：下图是北京市某一天的气温随时间变化的曲线图，观察图形，能得到什么信息？
学生可能回答：最高最低气温何时达到及温度的变化.
生活中，我们关系很多数据的变化，比如水位高低、股票价格等等，用函数的观点看，其实就是函数值在随着自变量的变化。
【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣.
借助图像，直观感知
问题:2：请绘制，并指出图象变化的趋势。
观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
问题3：对“图象呈逐渐上升（或下降）趋势”这句话初中是怎样描述的？
回顾初中对函数单调性的解释：
图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；
图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。
函数这种性质称为函数的单调性。
【设计意图】学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是函数图象，二是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。
问题4：（1）右图是函数y=f(x)的图像，它的单调性是怎样的呢？
(先展示图像，再给出解析式f(x)=0.001x+1)
（2）在区间上有何单调性？
【设计意图】函数图像虽然直观，但是缺乏精确性，有些又不知道如何绘制，必须结合函数的解析式，仅凭解析式难以判断单调性，突出“学习函数单调性的形式定义”的必要性.
（三）抽象思维，形成概念
问题5：函数，当x>0时，函数值y随x的增大而增大，如何用数学符号表示？
引导学生得到：.
【设计意图】借助具体函数，引导学生经历从图像直观到定性刻画，再到严格的数学符号表示的过程。
追问：，能保证上是增函数吗？
【设计意图】符号化后，设法把“任意”一词从学生的潜意识中“逼”出来，通过反例和几何画板说明两点不能确定函数的单调性.
问题6：尝试给增函数下定义.
问题7：（学生自主探究）能否类比增函数的定义，给出减函数的定义？
注：如果函数区间I上是增函数或者减函数，就说函数在这一区间上具有单调性，区间I叫做的单调区间.
（三）深化概念，加深理解
问题8：辨析题（小组讨论，派代表回答）
1.设函数的定义域为R，，则是R上的增函数.
2.已知，因为且，所以函数 是增函数.
3.函数在和上都是减函数，所以在定义域为上减函数.
思考：函数的单调递减区间是_______
【设计意图】通过辨析正反例子帮助学生对概念进入深入思考，逐步形成对概念本质正确、全面而深刻的理解，这是对概念的及时巩固，更能培养学生批判性思维和严谨性思维。总之，要体现并强调“回到定义”思考问题的重要性。
（四）运用概念，巩固新知
例1.根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
注：单调区间不能用“U”连接，用“,”隔开.
【设计意图】使学生进一步熟悉函数的单调性与函数的图象间的关系,会从函数图象上初步判断函数的单调性；并培养学生运用数学语言进行正确表达的能力。
例2. 用定义证明函数在上单调递减.
思考：请尝试归纳总结用定义证明函数单调性的步骤.
【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的步骤，加深对函数定义的理解.规范解题格式,培养学生归纳总结的能力.
（五）课堂小结，知识建构
学完本节课有什么收获？
1．知识层面：函数的单调性及其判断证明方法
2．数学思想方法：数形结合、类比思想
（七）作业布置
1．习题1.3 Ａ组１、2、3
2.探究题：探究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图.
【设计意图】课本作业题是对函数单调性概念的理解，巩固所学；探究题需要一定的分析能力，对学生的能力要求较高.
七、板书设计
§1.3.2函数的单调性
1.单调性的定义 例2
增函数：
减函数：
2.证明函数单调性的步骤
感谢您的批评指导！
课件13张PPT。函数的单调性深圳第二外国语学校 许美玲问题1：下图是北京市某一天的气温随时间变化的曲线图，
观察图形，能得到什么信息？在什么时间段内气温上升（下降）？问题2：请绘制 ，并指出图象变化的趋势。
问题3：对“图象呈逐渐上升（或下降）趋势”这句话初中是怎样
描述的？图象呈逐渐上升趋势 数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势 数值y随x的增大而减小.函数这种性质称为函数的单调性.问题4:(1)右图是函数y=f(x)的图像，它的单调性是怎样的呢？f(x)=0.001x+1 (2) 在区间 上有何单调性？问题5：函数 ，当x>0时，函数值y随x的增大而增大，
如何用数学符号表示？ f(x)=x2图象在区间 逐渐上升任意对区间 内 x1，x2 ，
当x1减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.x设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.对于某个区间I上的任意x1,x2，对于某个区间I上的任意x1,x2， 那么就说在f(x)这个区间上是增函数，
I称为f(x)的单调 区间.增当x1单调区间问题7：能否类比增函数的定义，给出减函数的定义？共同进退此消彼长问题8：辨析题（小组讨论，派代表阐述看法）例1.根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它
是增函数还是减函数？注：单调区间不用“U”连接，用“,”隔开.证明：任取 则，且所以函数 在区间上 是增函数. 取值作差变形定号结论返回思考：请尝试归纳总结用定义证明函数单调性的步骤.学完本节课有什么收获？ 1．知识层面：函数的单调性及其判断证明方法
2．数学思想方法：数形结合、类比思想作业布置1.习题1.3 Ａ组１、2、3
2.探究题：探究函数 的单调性，并结合
描点法画出函数的草图. 感谢您的批评指导！
