课题：§1.3.1函数的单调性
教材分析：
本节课是人教版数学必修1第一章《集合与函数概念》§1．3．1函数的基本性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题。函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。因此函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础。此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。
学情分析：
教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。同时学生的认知困难主要在两个方面：
（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；
（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。
教学目标：
知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；
过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；
情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质。
教法与学法
1、教法分析
（1）通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
（2）在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决。
（3）在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达。
（4）采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性。
2、学法分析
（1）让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题
和解决问题的能力。
（2）让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃
教学重难点
1、教学重点
函数单调性的概念，并运用函数单调性的定义判断、证明一些函数的单调性。
2、教学难点
形成增(减)函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述,用定义证明函数的单调性。
七、教学过程：
（一）．情景引入：
1．情景一：德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据：
时间间隔
记忆保持量
刚刚记忆完毕
100%
20分钟之后
58.2%
1小时之后
44.2%
8-9小时之后
35.8%
1天后
33.7%
2天后
27.8%
6天后
25.4%
一个月后
21.1%
…
…
将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？由这个规律我们如何去高效学习？（学生回答）
这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小。第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢。这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆。
2、情景二：一日气温变化图
学生问答：略
师：由这个温度与时间的函数图像，我们得出了从零时开始，气温先下降再上升，在下降的变化情况。深圳的调研小组可以由此合理的安排调研活动。
象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的。这就是我们今天要研究的函数的单调性。
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
（二）．学习新课：
首先从我们熟悉的函数去入手研究 如我们初中学过的一次函数和二次函数。
问题1：观察下列函数的图象，回答当自变量x 的值增加时，函数值f(x)是如何变化的？
学生回答：
（1）函数的图象从左到右上升，即当x增大时f(x) 随着增大，所以称函数在R上是增函数。
（2）函数在对称轴y轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小，在区间（0,+∞)上当 x增大时f(x)随着增大。
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．
问题2：我们通过从函数图像中获取的“上升、下降”的现象，如何用数学语言精准地讲这一现象描述出来呢？
例如：考察函数在（0,+∞)上任取x1、x2 ,则，，对任意0由此归纳出增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是增函数。
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.
问题3：同学们能否类似地得出减函数的定义？（学生讨论、回答）
学生回答：略
师生共同得出：
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2 ，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是减函数。
问题4：若将增函数定义条件中将“当时”变为“当时”，那么与是什么关系时，仍然也是增函数？如果改变减函数定义的条件呢？ （学生讨论，回答）
如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在区间上具有(严格的)单调性，区间叫做函数f(x)的单调区间.
〖设计意图〗让学生深层次理解单调性，完成对概念的第三次认识。了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。
（三）．概念应用：
例1．如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数y=f(x)的图象，
根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，
函数是增函数还是减函数？（学生活动）
解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数；
在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数。
问题5：函数在集合[-5, -2）,[1，3)上是减函数；能否说函数在区间[-5, -2） [1，3)上是减函数？
学生讨论回答：略
师：就像刚刚有同学举的反例，集合的单调性是局部性质，将两个局部性质整合成一个区间，就不一定具有单调性。
注意：
（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开或用“和”连接，不能用集合中的“∪”连接。
（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可。
〖设计意图〗掌握根据函数图像判断函数单调性的方法，并能更一步理解函数单调性的概念。
例2．证明函数 在 上是单调减函数。（学生分组讨论、分别演板展示）
师生共同总结得出：
总结证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间，且；
2.作差:差；
3.变形：变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等；
4.判号:确定的正负；
5.下结论:由定义得出函数的单调性。
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。
（四）．课堂练习：
证明函数在区间（0,+∞）上是增函数。（学生演练）
〖设计意图〗进一步巩固利用定义证明函数单调性的方法，以及其方法的优越性。也培养学生分类讨论的思想。
（五）．课堂小结
1.增函数、减函数的定义；
2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.
3.（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判号、下结论。
（六）．布置作业
1.必做题：课本39页A组第1、2题。
2.选做题：由生活常识知道，在一碗糖水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜。
能运用今天所学的数学知识来解说这一现象吗？
〖设计意图〗必做题是对今天所学函数单调性的判断方法（图像法，定义法）的巩固。选做题是更深层次的函数单调性的应用！与现实生活中常识相联系，体验学习数学的成就感和学习的兴趣！
（七）．板书设计
函数单调性
一、函数单调性
1、增函数定义：
2、减函数定义：
3、单调区间：
(主板书)
二、例题及解答
例2
(副板书)
议练活动
(辅助性板书)
课件15张PPT。函数的单调性深圳第二实验学校——白露情境一：德国著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了研究.他经过测试，得到了有趣的数据： 艾宾浩斯的记忆遗忘曲线
情境二：深圳市第二实验学校派一小组学生到青海湿地进行调研考察，下图是该市当日24小时内的气温变化图，你能说出这一天的气温变化趋势吗？1xyox观察下列函数的图象，回答当自变量 的值增大时,函数值 是如何变化的？0y1124-1-2-11在y轴的左侧，当x增大时，f(x)随着减小xyo-1xOy1124-1-21当x增大时f(x)随着增大在y轴的右侧，当x增大时，f(x)随着增大1当时，?函数 f(x)=x2 :x12x22x0x1x2yf (x1)f (x2)在(0,+∞)上任取 x1、x2 , 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.一般地，设函数 f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.某个区间D某个区间D增函数减函数如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].逗号
隔开例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？ 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.用“和”连接 函数 在 上是减函数.即例2.利用定义证明：则证明：设 是 上任意两个值，且5.下结论:由定义得出函数的单调性.1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x22.作差:作差f(x1)-f(x2) ；4.判号:确定f(x1)-f(x2)的正负；证明函数单调性的步骤：3.变形:对f(x1)-f(x2)适当变形； 证明函数 在区间(0,+∞)上是增函数证:设 是(0,+∞)上任意两个值且∴ 即∴ ∴ 在区间(0,+∞)上是增函数．设值作差变形判断差符号下结论3.(定义法)证明函数单调性的步骤:2.图象法判断函数的单调性：1. 增函数、减函数的定义；上升下降设值作差变形判号下结论1、必做题:课本39页A组第1、2题2、选做题:由生活常识都知道，在一碗糖水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用今天所学的数学知识来解说这一现象吗？
感谢各位评委、老师和同学们!
