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专题03 整式及其运算
一．选择题（共30小题）
1．（2024 广安）下列对代数式的意义表述正确的是
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
2．（2024 内江）下列单项式中，的同类项是
A． B． C． D．
3．（2024 常州）计算的结果是
A．2 B． C． D．
4．（2024 青海）计算的结果是
A． B． C． D．
5．（2024 济南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
6．（2024 宁夏）下列运算正确的是
A． B． C． D．
7．（2024 浙江）下列式子运算正确的是
A． B． C． D．
8．（2024 临夏州）下列各式运算结果为的是
A． B． C． D．
9．（2024 宜宾）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
10．（2024 长春）下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
11．（2024 兰州）计算：
A． B． C． D．
12．（2024 东营）下列计算正确的是
A． B． C． D．
13．（2024 泰安）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
14．（2024 山东）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
15．（2024 遂宁）下列运算结果正确的是
A． B．
C． D．
16．（2024 资阳）下列计算正确的是
A． B． C． D．
17．（2024 山西）下列运算正确的是
A． B． C． D．
18．（2024 湖北）计算的结果是
A． B． C． D．
19．（2024 达州）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
20．（2024 成都）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
21．（2024 台湾）有研究报告指出，1880年至2020年全球平均气温上升趋势约为每十年上升．已知2020年全球平均气温为，假设未来的全球平均气温上升趋势与上述趋势相同，且每年上升的度数相同，则预估2020年之后第年的全球平均气温为多少？（以表示）
A． B．
C． D．
22．（2024 云南）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是
A． B． C． D．
23．（2024 河北）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是
A． B． C． D．
24．（2024 扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为
A．676 B．674 C．1348 D．1350
25．（2024 重庆）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
26．（2024 牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
27．（2024 重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是
A．20 B．21 C．23 D．26
28．（2024 重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
A．20 B．22 C．24 D．26
29．（2024 济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形按照此规律，第六幅图中正方形的个数为
A．90 B．91 C．92 D．93
30．（2024 河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“■”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为
二．填空题（共21小题）
31．（2024 河南）请写出的一个同类项： ．
32．（2024 长春）单项式的次数是 ．
33．（2024 乐山）计算： ．
34．（2024 苏州）计算： ．
35．（2024 上海）计算： ．
36．（2024 天津）计算的结果为 ．
37．（2024 上海）计算： ．
38．（2024 新疆）若每个篮球30元，则购买个篮球需 元．
39．（2024 苏州）若，则 ．
40．（2024 甘孜州）若，则 ．
41．（2024 乐山）已知，，则 ．
42．（2024 凉山州）已知，且，则 ．
43．（2024 德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ．
44．（2024 江西）观察，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
45．（2024 宁夏）观察下列等式：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：．
按照以上规律，第个等式为 ．
46．（2024 青海）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 个火柴棒．
47．（2024 内江）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ．
48．（2024 成都）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
49．（2024 泰安）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
50．（2024 雅安）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度与杯子数量的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ．
①杯子底部到杯沿底边的高；
②杯口直径；
③杯底直径；
④杯沿高．
51．（2024 潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ．
三．解答题（共9小题）
52．（2024 甘肃）先化简，再求值：，其中，．
53．（2024 长沙）先化简，再求值：，其中．
54．（2024 济宁）先化简，再求值：，其中，．
55．（2024 南充）先化简，再求值：，其中．
56．（2024 通辽）先化简，再求值：，其中，．
57．（2024 陕西）先化简，再求值：，其中，．
58．（2024 常州）先化简，再求值：，其中．
59．（2024 吉林）先化简，再求值：，其中．
60．（2024 凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前行的点数之和为 ．
（2）体验：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能” 为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
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专题03 整式及其运算
一．选择题（共30小题）
1．（2024 广安）下列对代数式的意义表述正确的是
A．与的和 B．与的差 C．与的积 D．与的商
【答案】
【考点】代数式
【解析】选项与的和应为：，不合题意；
选项与的差应为：，不合题意；
选项：符合题意；
选项与的商应为：，不合题意．
故选．
2．（2024 内江）下列单项式中，的同类项是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】同类项；单项式
【解析】解：根据同类项的定义可知，的同类项是．故选．
3．（2024 常州）计算的结果是
A．2 B． C． D．
【答案】
【考点】合并同类项
【解析】解：，故选．
4．（2024 青海）计算的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】合并同类项
【解析】解：原式，故选．
5．（2024 济南）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项；去括号与添括号
【解析】解：与不是同类项，无法合并，不正确，不符合题意；
，不正确，不符合题意；
，不正确，不符合题意；
，正确，符合题意．
故选．
6．（2024 宁夏）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；有理数的减法；负整数指数幂
【解析】解：，选项不符合题意；
，选项符合题意；
，选项不符合题意；
，选项不符合题意．
故选．
7．（2024 浙江）下列式子运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；同底数幂的乘法；合并同类项
【解析】解：．不能合并同类项，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
故选．
8．（2024 临夏州）下列各式运算结果为的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选．
9．（2024 宜宾）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】合并同类项；同底数幂的除法；单项式乘单项式
【解析】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选．
10．（2024 长春）下列运算一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方
【解析】解：．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
故选．
11．（2024 兰州）计算：
A． B． C． D．
【答案】
【考点】单项式乘多项式
【解析】解：．故选．
12．（2024 东营）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】负整数指数幂；同底数幂的乘法；完全平方公式；幂的乘方与积的乘方
【解析】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选．
13．（2024 泰安）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】整式的混合运算
【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选．
14．（2024 山东）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】单项式乘多项式；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；合并同类项
【解析】解：．式子中两项不是同类项，不能合并，故不符合题意；
．，故不符合题意；
．，故不符合题意；
．，故符合题意．
故选．
15．（2024 遂宁）下列运算结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；平方差公式
【解析】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
故选．
16．（2024 资阳）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【解析】解：．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
故选．
17．（2024 山西）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，原计算错误，不符合题意；
、，正确，符合题意．
故选．
18．（2024 湖北）计算的结果是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】单项式乘单项式
【解析】解：．故选．
19．（2024 达州）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式
【解析】解：不能化简，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
，故选项错误；
故选．
20．（2024 成都）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；平方差公式
【解析】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选．
21．（2024 台湾）有研究报告指出，1880年至2020年全球平均气温上升趋势约为每十年上升．已知2020年全球平均气温为，假设未来的全球平均气温上升趋势与上述趋势相同，且每年上升的度数相同，则预估2020年之后第年的全球平均气温为多少？（以表示）
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】有理数的混合运算；列代数式
【解析】解：，故选．
22．（2024 云南）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】单项式；规律型：数字的变化类
【解析】解：按一定规律排列的代数式：，，，，，，
第个代数式为，故选．
23．（2024 河北）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法
【解析】解：根据已知得，，即，
．故选．
24．（2024 扬州）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】
【考点】规律型：数字的变化类；数学常识
【解析】解：这列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，
，
即前2024个数共有674组，且余2个数，奇数有：（个，
故选．
25．（2024 重庆）已知整式，其中，，，为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且仅有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【考点】规律型：数字的变化类；单项式
【解析】解：，，，为自然数，为正整数，且，
，
当时，则，
，，
满足条件的整式有，
当时，则，
，，，，0，0，，，1，0，，，0，1，，，0，0，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
，，，0，，，1，，，0，，，2，，，0，，，1，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
，，，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：5；
满足条件的单项式有：，，，，5，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式共有个，故③符合题意；
故选．
26．（2024 牡丹江）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】
【考点】规律型：图形的变化类
【解析】解：第1个图案有4个三角形，即，
第2个图案有7个三角形，即，
第3个图案有10个三角形，即，
，
按此规律摆下去，第个图案有个三角形，
则第674个图案中三角形的个数为：（个．
故选．
27．（2024 重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是
A．20 B．21 C．23 D．26
【答案】
【考点】规律型：图形的变化类
【解析】解：由所给图形可知，
第①个图案中，菱形的个数为：；
第②个图案中，菱形的个数为：；
第③个图案中，菱形的个数为：；
第④个图案中，菱形的个数为：；
，
所以第个图案中，菱形的个数为个，
当时，（个，
即第⑧个图案中，菱形的个数为23个．
故选．
28．（2024 重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】
【考点】规律型：图形的变化类
【解析】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：；
，
所以第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，
当时，（个，
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．故选．
29．（2024 济宁）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形按照此规律，第六幅图中正方形的个数为
A．90 B．91 C．92 D．93
【答案】
【考点】规律型：图形的变化类
【解析】解：由所给图形可知，
第一幅图中正方形的个数为：；
第二幅图中正方形的个数为：；
第三幅图中正方形的个数为：；
第四幅图中正方形的个数为：；
，
所以第幅图中正方形的个数为：，
当时，（个，
即第六幅图中正方形的个数为91个．
故选．
30．（2024 河北）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“■”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为
【答案】
【考点】规律型：数字的变化类
【解析】解：设一个三位数与一个两位数分别为和，如图
则由题意得：，，，，
，即，
当， 时，不是正整数，不符合题意，故舍去；
当，时，则，，，如图
、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
上面的数应为，如图
运算结果可以表示为：，
选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，
故选项不符合题意，
故选．
二．填空题（共21小题）
31．（2024 河南）请写出的一个同类项： （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【考点】同类项
【解析】解：与是同类项的是：（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
32．（2024 长春）单项式的次数是 3 ．
【答案】3．
【考点】单项式
【解析】解：单项式的次数是：3．
故答案为：3．
33．（2024 乐山）计算： ．
【答案】．
【考点】合并同类项
【解析】解：
，
故答案为：．
34．（2024 苏州）计算： ．
【答案】．
【考点】同底数幂的乘法
【解析】解：，
故答案为：．
35．（2024 上海）计算： ．
【答案】．
【考点】幂的乘方与积的乘方
【解析】解：，
故答案为：．
36．（2024 天津）计算的结果为 ．
【答案】．
【考点】同底数幂的除法
【解析】解：，
故答案为：．
37．（2024 上海）计算： ．
【答案】．
【考点】平方差公式
【解析】解：
，
故答案为：．
38．（2024 新疆）若每个篮球30元，则购买个篮球需 元．
【答案】．
【考点】列代数式
【解析】解：每个篮球30元，
购买个篮球需：（元，
故答案为：．
39．（2024 苏州）若，则 4 ．
【答案】4．
【考点】代数式求值
【解析】解：，
，
，
故答案为：4．
40．（2024 甘孜州）若，则 1 ．
【答案】1．
【考点】代数式求值
【解析】解：，
．
故答案为：1．
41．（2024 乐山）已知，，则 29 ．
【答案】29．
【考点】完全平方公式
【解析】解：，，
，
故答案为：29．
42．（2024 凉山州）已知，且，则 ．
【答案】．
【考点】平方差公式
【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
43．（2024 德阳）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ．
【答案】．
【考点】整式的加减
【解析】解：
．
故答案为：．
44．（2024 江西）观察，，，，，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
【答案】．
【考点】规律型：数字的变化类；单项式
【解析】解：根据题意可知，有一列按照一定规律排列的单项式：，，，，，
第100个式子为：，
故答案为：．
45．（2024 宁夏）观察下列等式：
第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：．
按照以上规律，第个等式为 ．
【答案】．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算
【解析】解：第1个：；
第2个：；
第3个：；
第4个：．
按照以上规律，第个等式为，
故答案为：．
46．（2024 青海）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有 15 个火柴棒．
【答案】15．
【考点】规律型：图形的变化类
【解析】观察图形的变化可知：
摆第1个图案要用火柴棒的根数为：3；
摆第2个图案要用火柴棒的根数为：；
摆第3个图案要用火柴棒的根数为：；
则摆第个图案要用火柴棒的根数为：；
故第7个图案要用火柴棒的根数为：．
故答案为：15．
47．（2024 内江）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 1188或4752 ．
【答案】1188或4752．
【考点】列代数式
【解析】解：设四位数的个位数字为，十位数字为，是0到9的整数，是0到8的整数），
，
是四位数，
是四位数，
即，
，
，
是完全平方数，
既是3的倍数也是完全平方数，
只有36，81，144，225这四种可能，
完全平方数的所有值为1188或2673或4752或7425，
又是偶数，
或4752，
故答案为：1188或4752．
48．（2024 成都）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为 9 ；若，则的值为 ．
【答案】9，144．
【考点】规律型：数字的变化类
【解析】解：当时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是，，，，，，，，，，，，，，，，，，
；
当时，从1，2，，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：
，，，，，
，，，，
，，，，，
．
，，，，，，
，，
；
故答案为：9，144．
49．（2024 泰安）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．
按照此规律继续摆下去，第 12 个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12．
【考点】规律型：图形的变化类
【解析】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
，
所以第个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，
，
解得，，
又因为为正整数，
所以，
即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
50．（2024 雅安）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度与杯子数量的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ．
①杯子底部到杯沿底边的高；
②杯口直径；
③杯底直径；
④杯沿高．
【答案】．
【考点】规律型：数字的变化类
【解析】解：如图可知，纸杯叠放在一起后的总高度杯子底部到杯沿底边的高杯子数量杯沿高，
，
故答案为：．
51．（2024 潍坊）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 45 ， ．
【答案】45；2．
【考点】规律型：数字的变化类
【解析】解：由图中排布可知，当正整数为时，
若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
，
而，在第45行，第1列，
在第45行，第2列，
，，
故答案为：45，2．
三．解答题（共9小题）
52．（2024 甘肃）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，3．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【解析】解：原式
，
当，时，
原式．
53．（2024 长沙）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式．
【考点】平方差公式；整式的混合运算—化简求值
【解析】解：
，
当时，原式．
54．（2024 济宁）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【解析】解：原式
，
当，时，原式．
55．（2024 南充）先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【解析】解：当时，
．
56．（2024 通辽）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【解析】解：原式
．
当，时，原式．
57．（2024 陕西）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，6．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【解析】解：原式
，
当，时，
原式．
58．（2024 常州）先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【解析】解：原式
；
当时，
原式．
59．（2024 吉林）先化简，再求值：，其中．
【答案】6．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【解析】解：
，
原式．
60．（2024 凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第行有个点，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 36 ，前15行的点数之和为 ，那么，前行的点数之和为 ．
（2）体验：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能” 为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】（1）36，120，；
（2）不能；
（3）一共能摆20排．
【考点】列代数式；规律型：图形的变化类
【解析】解：（1）由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为：；
三角点阵中前3行的点数之和为：；
三角点阵中前4行的点数之和为：；
，
所以三角点阵中前行的点数之和为：．
当时，
，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当时，
，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120，．
（2）不能．
令得，
解得，
因为为正整数，
所以三角点阵中前行的点数之和不能为500．
故答案为：不能．
（3）由题知，
前排盆景的总数可表示为，
令得，
解得，．
因为为正整数，
所以，
即一共能摆20排．
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