6.3二项式定理同步练习卷（含解析）-高三数学上学期人教A版（2019）选择性必修第三册

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6.3二项式定理同步练习卷-高三数学上学期人教A版（2019）选择性必修第三册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．在的展开式中，的系数是（ ）
A．240 B． C．480 D．
2．已知的展开式中与的系数相等，则第4项的系数为（ ）
A．35 B．945 C．2835 D．105
3．被10除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．9
4．若，则（ ）
A．244 B．242 C．122 D．121
5．二项式的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A．210 B．330 C．165 D．145
7．设，则当时，（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．设正整数，其中，记.则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．关于的展开式，下列说法正确的有（ ）
A．二项式系数之和为128 B．各项系数之和为128
C．常数项为第四项 D．的系数为60
10．设，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，若，则正确的是（ ）
A． B．
C．除以6所得余数为5 D．
三、填空题
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）
13．在的展开式中，若各项系数和为0，则 .
14．已知，则 ；
四、解答题
15．已知在的展开式中，第三项与第二项的系数之比为21:4.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
16．已知展开式的二项式系数和为64.
(1)若，求的值；
(2)证明：为正整数.
17．设．
(1)求；
(2)求．
18．设函数，为的导函数．
(1)当时，求展开式二项式系数最大的项；
(2)对任意的实数，证明：；
(3)是否存在，使得对，且恒成立？若存在，求出的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
19．已知（其中）的展开式中第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为．
(1)求；
(2)记，求的值．
参考答案：
1．D
【分析】利用二项式定理直接求解即可.
【详解】根据题意，的项为，
所以的系数是，故D正确.
故选：D．
2．B
【分析】由展开式中与的系数相等，可得，解得，则，即可得到第4项的系数.
【详解】二项式展开式的通项为，
则展开式中与的系数分别是，
所以，解得，
所以，则第4项的系数为945.
故选：B．
3．C
【分析】显然211被10除所得的余数为1，故只需由二项式定理求得被10除所得的余数即可.
【详解】
，
因为能被10整除，
所以被10除所得的余数9；
因为211被10除所得的余数为1，所以被10除所得的余数为0．
故选：C.
4．C
【分析】分别令、得两式相加可得答案.
【详解】令，得，
令，得，
两式相加得，
则.
故选：C.
5．B
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】二项式展开式的通项公式为
.
令，
所以展开式的常数项为
故选：B.
6．B
【分析】根据二项展开式由换元法令可得是中的系数，即可求得，计算可得结果.
【详解】由可得，
令，有
是中的系数
而,
所以.
故选：B
7．C
【分析】求出二项式展开式的通项公式，然后由列方程可求出的值.
【详解】展开式的通项为，
则，
由，可得，
即，所以.
故选：C.
8．B
【分析】利用的定义可判断ACD的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.
【详解】对于A选项，，，
所以，A选项正确；
对于B选项，取，，则，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，
，
所以，
因此，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：理解的定义是解决本题的关键.
9．CD
【分析】由二项式系数之和为可得A；由赋值法令可得B；由二项式的展开式的通项公式计算可得C、D.
【详解】对有，
对A：二项式系数之和为，故A错误；
对B：令，可得，即各项系数之和为1，故B错误；
对C：令，则，故常数项为第四项，故C正确；
对D：，故的系数为60，故D正确.
故选：CD.
10．BD
【分析】设，利用赋值法和通项可判断各选项的正误．
【详解】设，
对于A：，故A错误；
对于B：是展开式中的系数，
由二项式展开式的通项为，，
取，得的系数为，即，故B正确；
对于C：因为，
所以，故C错误；
对于D：，
所以，故D正确．
故选：BD
11．ACD
【分析】令，已知式变为，可求得判断A；
令，二项式化为，可求得判断B；
,利用二项式展开式可判断除以6所得余数，判断C；
二项式两边都对求导后令可求得，从而判断D．
【详解】令，得∴，所以A正确；
令∴，所以，所以B错误；
由A知，
所以，
所以除以6的余数为5，C正确；
对于D，由，
两边求导可得，
令，得，所以D正确．
故选：ACD
12．
【分析】利用二项式定理即可求解.
【详解】由题可知，
所以展开式的通项公式为，
所以的展开式中的项为，
的展开式中的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：.
13．
【分析】根据在的展开式中，各项系数和即令即可求解.
【详解】在的展开式中，各项系数和即在中令可得，
所以当时，，
所以.
故答案为：.
14． 127
【分析】直接由赋值法即可求解.
【详解】解：因为，令，则；
表示展开式中各项系数和，
则，
因为，则；
故答案为：；127.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据二项式的通项公式，结合题意进行求解即可；
（2）根据二项式的通项公式，结合有理项的性质进行求解即可.
【详解】（1）根据题意，第二项为，第三项为，
所以，解得.
（2）展开式中，其中.
当时，展开式为有理项：
；
；
；
；
，
即展开式中所有的有理项为.
16．(1)64
(2)证明见解析
【分析】（1）由题设条件求得，再赋值，计算即得；
（2）利用二项式化简计算即可证得结论.
【详解】（1）因展开式的二项式系数和为，解得，，
在中，取，得；
（2）因
，
故为正整数.
17．(1)
(2)122
【分析】（1）利用二项式定理求出展开式中含的项，即可求解；
（2）分别令，两式联立即可求解．
【详解】（1）展开式中含的项为，
所以．
（2）令，得①，
令，得②，
由①②得，，所以．
18．(1)和
(2)证明见解析
(3)存在使得对，且恒成立，理由见解析
【分析】(1)利用二项式系数的性质可求得展开式中系数最大的项；
(2) 利用基本不等式结合放缩法可证得原不等式成立；
(3) 利用二项展开式、放缩法可证得，进而可得出满足条件的整数的值
【详解】（1）当时，展开式二项式系数最大的项是第三项和第四项，
其分别为，，化简后分别为和；
（2）由题意知，
所以，
，
因此，对任意的实数，都有；
（3）对于任意的且，
有
又因，
所以，从而可得
即存在，使得，对，且恒成立.
【点睛】关键点点睛：本题第三问考察利用数列不等式恒成立求满足条件的整数值，解题的关键在于利用二项式定理结合数列放缩法证得成立，再利用数列求和的思想进行求解.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得，即可求；
（2）先令，则，再令，则即可求解.
【详解】（1）由题意，二项式的通项公式为，
根据第项的二项式系数与第项的二项式系数之和为得
，即，
解得.
（2）由（1）可知，
令，则，
令，则，
则.
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