3.3抛物线同步练习卷（含解析）--高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

中小学教育资源及组卷应用平台
3.3抛物线同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为F，则F到直线的距离为（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知点满足，则点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
5．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．若，则（ ）
A． B． C．8 D．
6．已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
7．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线：（）的焦点与的右焦点重合，为上的点，三角形的周长为5，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，点为抛物线与椭圆的公共点，且轴，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设是坐标原点，直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B西点，是以为底边的等腰三角形，是抛物线C的准线，则（ ）
A．以直径的圆与准线相切 B．
C． D．的面积是
10．当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（ ）
A．时，方程表示一条直线
B．或是方程表示双曲线的充要条件
C．时，方程表示椭圆
D．该方程不可能表示抛物线
11．已知抛物线：的准线为：，焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与轴相交
C．最小值为16
D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有2条.
三、填空题
12．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的渐近线与抛物线交于抛物线两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 .
13．已知抛物线：的焦点为，过点作两条直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点，若直线与的斜率之积为，则的最小值为 .
14．已知抛物线，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，若，则
四、解答题
15．设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点为坐标原点，点为线段的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程．
16．已知抛物线，其准线方程为．
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，，若以线段为直径的圆过坐标原点，求的值．
17．已知抛物线Γ：的焦点为F，准线为l，直线l'经过点F且与Γ交于点A、B．
(1)若，求线段AB的中点到x轴的距离；
(2)设O为坐标原点，M为Γ上的动点，直线AM、BM分别与准线l交于点C、D．求证：为常数．
18．已知过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆于M、N两点，其中P、M位于第一象限，求的最小值.
19．设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求的方程；
(2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明：
（ⅰ）为定值；
（ⅱ）直线恒过定点.
参考答案：
1．B
【分析】由于抛物线的准线方程为，抛物线的准线方程即可求解.
【详解】由于抛物线的准线方程为，
则的准线方程为：.
故选：B
2．B
【分析】由抛物线的标准方程求解即可.
【详解】抛物线的焦点在x的正半轴上，，所以焦点坐标为.
故选：B.
3．C
【分析】首先由抛物线的标准方程得焦点坐标，然后由点到直线的距离公式即可得解.
【详解】抛物线的标准方程为，则其焦点为．
由点到直线的距离公式得点F到直线的距离为．
故选：C．
4．C
【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.
【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离.
因为，
所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以的轨迹为抛物线.
故选：C.
5．B
【分析】根据焦半径公式并结合条件得到点的坐标，即可求得弦长.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，则，
因为，所以，得①，
因为，所以，即，
则，即②，
由方程①②可得，
所以.
故选：B.
6．B
【分析】由焦半径公式得到，从而得到，数形结合得到最小值.
【详解】因为M的准线方程为，
所以由抛物线焦半径公式得，
故，
所以
,
当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：B
7．C
【分析】利用椭圆定义结合的周长即可求得，再由焦点重合可求得.
【详解】根据椭圆方程可得，的周长为，可得；
所以的右焦点为，抛物线的焦点为，
即，解得.
故选：C
8．C
【分析】设椭圆的右焦点为，易得，先求出，再根据椭圆的定义求出，再在中，利用勾股定理求出关于的齐次式即可得解.
【详解】设椭圆的右焦点为，
抛物线的焦点为，
椭圆的左焦点为，
由题意可得，所以，
将代入抛物线方程解得，
所以，
由椭圆的定义可得，所以，
在中，由勾股定理得，
即，即，
所以，解得（舍去），
即椭圆的离心率为.
故选：C.
9．ACD
【分析】根据抛物线的定义及直线与圆的位置关系判断A；由条件求得的坐标，利用斜率公式判断B；根据向量的坐标运算判断C；根据三角形面积公式求解判断D.
【详解】直线与轴的交点为，即焦点，
则，故抛物线C的方程，
设，由题意可知点在第四象限，点在第一象限，
设的中点，过作，垂足为，
过作，垂足为，过作，垂足为，
则，
则以直径的圆与准线相切，故A正确；
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，得，
联立，得，
易知，则，则，得，
，故B错误；
∵，∴，故C正确；
的面积为，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【分析】根据的不同取值分别判断曲线形状即可.
【详解】对于A：当时方程为，所以此时曲线为直线，此时图像是一条直线，A正确；
对于B：方程可以化为，
当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线，
当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线，所以是充分条件；
若方程表示双曲线，则或，解得或者，所以是必要条件，
所以是充要条件，B正确；
对于C：方程可以化为，当时方程为，此时曲线为圆，C错误；
对于D：因为方程可以化为，所以不可能是抛物线，D正确，
故选：ABD
11．AC
【分析】利用抛物线性质计算A正确，举反例得到B错误，确定根与系数的关系，代入数据利用均值不等式计算C正确，直线至少有3条，D错误，得到答案.
【详解】抛物线：的准线为：，则，，
抛物线：，，
设直线为，则，故，
，，

对选项A：，正确；
对选项B：取，则，半径，中点坐标为圆心，
即圆心到轴的距离等于半径，相切，错误；
对选项C：，
，
当且仅当，即，或，时等号成立.正确；
对选项D：设直线，，则，
，解得，即与抛物线相切，有一个交点，
又与与抛物线只有一个交点，至少有3条，错误；
故选：AC.
12．或
【分析】分在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、可得答案.
【详解】当在焦点左侧时，
因为渐近线关于轴对称，
所以，过作交轴于点，
设，则，由抛物线定义得，
又因为，所以，
因为；
当在焦点右侧时，
过作交轴于点，，设，
则，由抛物线定义得，又因为，
所以，
因为，
故或.
故答案为：或.
【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果.
13．144
【分析】设直线：，设，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，同理表示出，然后化简，结合基本不等式可求出其最小值.
【详解】由题意得两直线的斜率存在且不为零，设直线：，
联立方程，消去得.
设，，，，
则.
直线与的斜率之积为，直线的斜率为.
同理可得.
，
当且仅当时取等号，
的最小值为144.
故答案为：144
14．
【分析】过，两点分别作准线的垂线，根据，结合抛物线定义可得，再结合已知可得，由点向作垂线交于点，再在中，由余弦定理即可得解.
【详解】如图，过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则，所以，
由抛物线定义得，所以，
由，得，所以，
由点向作垂线交于点，
不妨令，则，
在直角三角形中，，
因为直线斜率为，所以，，
在中，由余弦定理可得，
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
15．
【分析】设P坐标，当直线斜率存在时，设的点斜式方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示P坐标，消参即可得P轨迹方程，再验证斜率不存在时即可.
【详解】解:设是所求轨迹上的任一点
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得，则，
由得，即，
消去得．
②当直线的斜率不存在时，的中点为坐标原点，也适合方程．
综上，动点的轨迹方程为．
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据抛物线的标准方程和准线方程即可求解；
（2）利用直径所对的圆周角为直角，得出，再用向量的坐标表示垂直关系，结合韦达定理建立方程，即可求解.
【详解】（1）准线为，，
抛物线的方程为；
（2）
设，，联立得，
，得，
则，，
所以
以为直径的圆过坐标原点，所以，即，
则，
或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，
又，
综上，的值为．
17．(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）设，，则由已知结合抛物线的焦点弦公式得，设直线AB的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合前面的式子可求出，再结合中点坐标公式可求得答案；
（2）设，，，，，表示出直线的方程，从而表示出，化简即可.
【详解】（1）设，，因为，所以．
由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
将直线方程代入抛物线方程得．
因为，所以，得．
设线段AB的中点，则，
所以线段AB的中点C到x轴的距离为1．
（2）准线方程，设，，，，，
直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，
直线AM的方程为，直线BM的方程为，
所以，
．
设直线AB的方程为：，代入抛物线方程得，
，所以，
所以
．
所以为常数．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是利用圆锥曲线中常用的方法“设而不求”，设出直线方程，设出交点坐标，考查计算能力，属于较难题.
18．4
【分析】设，，则，.再利用几何关系得到
，得到，再求出然后利用基本不等式求解最小值.
【详解】如图，分别过P、Q作准线的垂线，垂足分别为G、H，过Q作，分别交OF、PG于A、B.

可设，，则，.因为，所以，
易知，即，
则，，
所以.
又因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，
∴的最小值为4.
19．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由抛物线得定义求解抛物线的方程即可.
（2）（ⅰ）利用韦达定理求解出，
（ⅱ）通过韦达定理将直线化简成，求出直线过定点.
【详解】（1）由焦半径公式知：，，
的方程为：.
（2）由（1）知：，
可设直线方程为：，设则
直线方程为：
联立
，将代入得，
，同理：
（ⅰ），
（ⅱ）直线的方程为：
由得：即，
，
直线的方程为：，
直线恒过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是写出直线的方程，再代入韦达定理式化简即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)