3.1椭圆同步练习卷（含解析）--高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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3.1椭圆同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线
2．已知椭圆方程为，P为椭圆上一点，若，为的内切圆，则（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆上的点到左焦点的距离为2，N为的中点，则（O为坐标原点）的值为（　　）
A．8 B．2 C．4 D．
4．已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆：和椭圆：，点为椭圆上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则弦长的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
9．椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为
C．椭圆上存在点，使得
D．为椭圆上一点，，则的最小值为
10．已知A，B两点的距离为定值4，平面内一动点，记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，下面说法正确的是（）
A．若，则最大值为2
B．若，则最大值为
C．若，则最大值为
D．若，则最大值为1
11．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆：（），，，，为顶点，，为焦点，为坐标原点，为椭圆上一点.则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．轴且
C．四边形的内切圆过焦点，
D．的面积最大值为
三、填空题
12．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 .
13．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，则 .
14．已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ．
四、解答题
15．已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，求：
(1)直线的方程；
(2)弦长.
16．已知椭圆：过点 ，且短轴长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求椭圆上点到直线：的最短距离
17．已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积．
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的方程；
(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值；
(3)若点为圆上的动点，点，求的最小值．
19．已知椭圆的离心率为，右顶点为，设点为坐标原点，点为椭圆上异于左右顶点的动点，的面积最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线交轴于，其中，直线交椭圆于另一点，直线分别交直线于点和，是否存在实数使得四点共圆，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】易得点在圆内，则圆内切与圆，再根据椭圆的定义即可得解.
【详解】因为，所以点在圆内，
所以圆内切与圆，
由两圆内切的关系可知，，
从而，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆.
故选：B.
2．B
【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径.
【详解】
由椭圆定义及圆切线性质知：.
故选：B
3．C
【分析】先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理求得，从而得解.
【详解】依题意，设椭圆的右焦点为，由椭圆方程，得，
由椭圆定义得，又，
，又为的中点，为的中点，
线段为中位线，
∴.
故选：C.
4．D
【分析】根据椭圆方程求解出的值，再由椭圆定义可知结果.
【详解】由椭圆方程可知：，
由椭圆定义可知：到椭圆的两个焦点的距离之和为，
故选：D.
5．A
【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可.
【详解】不妨设椭圆方程为，由题意得：，
两式作差得：，整理得：，
因为AB的中点为，，
所以，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：A．
6．B
【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可．
【详解】设直线与椭圆相交于，两点，
因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在，
则，，直线的斜率．
由，得，
，，
故椭圆的离心率．
故选：B．
7．A
【分析】先根据切线的性质利用等面积法可得，再设，结合两点间距离公式求的取值范围，进而分析得解.
【详解】由题意可知：圆：得圆心为，半径，

因为，则，
由四边形的面积可得，
整理得，
设，
则，
且，可知当时，取到最大值，
当时，取到最大值，
即，则当时，取到最小值，
当时，取到最大值，
即弦长的范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：1.根据切线性质可得；
2.设椭圆上点，结合两点间距离公式求的取值范围.
8．C
【分析】利用椭圆的定义及二次函数的性质计算即可.
【详解】由题意知,半焦距,所以由椭圆定义知,
故,
且,
又，所以当或时，
取得最小值，且其最小值为，所以的最大值为．
故选:C．
9．BCD
【分析】A选项，求出，得到离心率；B选项，由椭圆定义求出周长；C选项，求出以为圆心，为直径的圆，圆与椭圆的交点即为使得的点，联立后得到交点坐标，得到C正确；D选项，结合椭圆定义得到，数形结合得到的最小值，从而得到答案.
【详解】A选项，由题意得，故离心率为，A错误；
B选项，根据椭圆定义可得，
故的周长为8，B正确；

C选项，以为圆心，为直径作圆，即，
与的交点即为使得的点，
联立与，可得，
故存在点，使得，C正确；
D选项，由椭圆定义可知，，故，
则，

要想取得最小值，只需取得最小值，
联立与椭圆交点即为所求，此时，
故的最小值为，D正确.
故选：BCD
10．BC
【分析】以线段的中点为原点建立空间直角坐标系，则，设，根据条件分别求出动点的轨迹方程，再由三角形ABC的面积，转化为由轨迹方程求的最大值即可得解.
【详解】如图，以线段的中点为原点建立空间直角坐标系，
则，设，
对于A，，即，
化简可得点C的轨迹方程，故，
所以三角形ABC的面积，
即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误；
对于B，由题意可得，
化简可得点C的轨迹方程，
故，
所以，即C点为时，
三角形ABC面积最大，故B正确；
对于C，由知，
动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），
则，故
椭圆方程为，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确；
对于D，由题意，
化简可得C的轨迹方程，故，
三角形ABC的面积，
即当C运动到短轴端点时，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
11．AC
【分析】A由勾股定理得到，求出离心率为；
B求出，根据斜率相等列出方程，求出离心率；
C先计算出边上的高为，从而列出方程，求出离心率为.
D，面积最大即，求出离心率即可判断.
【详解】当时，其中，
所以，解得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：，
因为，所以，A正确；
将代入中，解得：，故，
因为，所以，
化简得：，即，解得：，离心率为，B错误；
设边上的高为，则，
由于四边形的内切圆过焦点，，
所以，解得：，
方程两边同除以得：，
解得：，
因为，所以，故，
所以，C正确.
,
则当时，的面积最大，
即，则，即，
即，因为，所以
解得，则，D错误.
故选：AC.
12．
【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程.
【详解】设点，点为弦的中点，有，
将两点代入椭圆方程，得，
两式作差得，整理得
得直线的斜率为，直线的方程为，即.
经检验符合题意.A
故答案为：.
13．或
【分析】解法一：根据椭圆定义以及余弦定理可得，将点坐标代入计算可得的值；
解法二：利用焦点三角形面积公式可求得其纵坐标，即可解得横坐标的值.
【详解】解法一：由题意可得.
在中，由余弦定理可得，
所以有，
即，
即，
所以，
整理得，所以或，
解得或，
又因为，所以或.
解法二：已知，由焦点三角形面积公式得，
又，所以，
又因为，所以.
故答案为：或
14．
【分析】利用两点距离公式及点到直线距离，作商化简计算即可.
【详解】根据题意可得，化简得，
曲线的方程为．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）求出椭圆右焦点，利用点斜式求出直线方程；
（2）法一：联立直线与椭圆方程，得到两交点坐标，利用两点间距离公式求出答案；
法二：联立直线与椭圆方程，消去，得到两根之和与两根之积，利用弦长公式求出答案；
法三：联立直线与椭圆方程，消去，得到两根之和与两根之积，利用弦长公式求出答案；
【详解】（1）∵直线过椭圆的右焦点，且斜率为2，
∴直线的方程为，即.
（2）法一：联立
解得或，
不妨设，，
∴.
法二：联立，消去得，，
设点，
则，，
∴
法三：联立，消去得，，
设点，
则由根与系数的关系得，
所以.
16．(1)
(2).
【分析】（1）根据题意得，椭圆且过点，从而求解.
（2）设出直线的平行线与椭圆相切时即可求出最小值，从而求解.
【详解】（1）由题意知，得，又点在椭圆上，所以，
所以椭圆的方程为.
（2） 不妨设与直线：平行的直线与椭圆相切，
联立，消去并整理得，
因为，解得，
当时，直线与直线的距离；
当时，直线与直线的距离，
因为，所以符合题意，故距离的最小值为.
【点睛】方法点睛：求椭圆上到直线：的最小距离可转化为与直线平行且与椭圆相切的直线，然后利用直线与椭圆的位置关系即可求解.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由基本量求解椭圆方程即可.
（2）求出直线与椭圆的交点坐标，再求解三角形面积即可.
【详解】（1）
由题设知，所以，
于是椭圆的方程为；
（2）依题意，直线的方程为，设，
联立，解得或，
所以的面积
.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由离心率公式、平方关系以及三角形面积公式列方程即可求解.
（2）由题意设直线的方程为，联立椭圆方程求得点的坐标，然后由数量积的坐标公式求解即可.
（3）由三角形三边关系结合椭圆定义进行转换即可，注意取等条件是否成立.
【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．
所以，
又，
所以解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）椭圆的方程为.

由题意，因为，所以设，
则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得，
消去并整理得，，当时，，
所以解得，即，
所以，
所以.
（3）

设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时，
由椭圆定义有，
所以，
等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点，
综上所述，的最小值为.
19．(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）由给定的离心率及面积的最大值，列式计算即得.
（2）假定存在符合条件的实数，结合点的坐标表示点，设直线BC方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理及四点共圆所得关系推理计算出即可判断得解.
【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得，
设，而，则，当且仅当时取等号，
于是，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）假设存在，使得四点共圆，
由（1）知，设，显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为：，
由消去x得，
，，
直线的方程为：，则，同理，
由四点共圆，得，即，
于是，则，从而直线的斜率有，
即，整理得，
而
，因此，解得与矛盾，
所以不存在实数使得四点共圆.
【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k，m的关系，然后推理求解.
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