2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷（含解析）--高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
2．设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
3．过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．已知点与圆，过点的直线被圆所截得的弦长分别为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一束光线照射到曲面上一点，其反射光线和入射光线与点处的法线（即过点的切线的垂线）的夹角相等．从平面直角坐标系内一点发出的光线，照射到圆上的点，反射后交轴于点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
7．已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
二、多选题
9．已知点在圆上，点，，则（ ）
A．存在点，使得 B．
C．存在点，使得 D．
10．已知圆和圆，则（ ）
A．两圆可能无公共点
B．若两圆相切，则
C．直线可能为两圆的公切线
D．当时，若为两圆的公切线，则或
11．下列结论正确的是（ ）
A．若直线和以为端点的线段有公共点，则的取值范围为
B．已知是圆外一点，直线方程是，则与圆相交
C．圆上有且仅有2个点到直线的距离等于1
D．已知点在圆上，则可能是2
三、填空题
12．设点是圆上任意一点，则的取值范围是 .
13．直线被圆截得的弦长的最小值为
14．已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 .
四、解答题
15．已知圆与y轴相切．
(1)直接写出圆心C的坐标及r的值；
(2)直线与圆C交于两点，求．
16．已知圆.
(1)若点是圆上的一点，求的取值范围；
(2)过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
17．已知圆C的圆心为（且），，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段为圆C的一条直径．
(1)求证：的面积为定值；
(2)若直线经过圆C的圆心，设P是直线l：上的一个动点，过点P作圆C的切线，，切点为G，H，求线段长度的最小值．
18．已知⊙M：，直线l：，点P在直线l上，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B．
(1)若，试求点P的坐标；
(2)直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标．
19．已知中，直线过两点，点在轴上，且为正三角形.
(1)求过的直线方程；
(2)设过两点的直线斜率为，过A，B两点的直线斜率为，且，，且圆与有且只有2个交点，求r的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距，由可得结论.
【详解】由已知得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
故，
所以圆与圆相交.
故选：A.
2．A
【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出，进而求出即可.
【详解】解法1：如图，圆，即，
则圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，连接.
因为，则，得，
则，即为钝角，且为锐角，
所以.
故选：A.
解法2：如图，圆，即，则圆心，半径，
过点作圆的切线，切点为，连接.因为，则，
因为，
且，则，
即，解得，
即为钝角，且为锐角，则.
故选：A.
解法3：圆，即，则圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，则设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得，
所以，又为锐角，
由解得.
故选：A.
3．C
【分析】求出圆心，半径，根据得到，进而求出，得到点坐标，得到圆心和半径，得到圆的方程.
【详解】由，得，可得圆心，半径．
由，得，所以，
故，即，
解得或，则或，
根据，，故四点共圆，且为直径，
所以线段的中点为或，且，
所以过，，三点的圆的方程为或．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用四点共圆确定，，三点的圆的几何性质，从而得解.
4．D
【分析】利用点到直线的距离求得,,进而可求得，可求得与的大小，分类讨论可求得的大小.
【详解】由题意，得圆的半径为，圆心，
过点的直线,被圆所截得的弦长分别为，
所以圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离．
又，
所以．
又因为与均为锐角，所以．如图（1），
当圆心在直线与的夹角外时，；
如图（2），当圆心在直线与的夹角内时，
．
故选：D．
5．B
【分析】根据圆与圆相外切，可得，再根据圆的对称性不妨令，再分，和三种情况讨论即可.
【详解】圆D：的圆心，半径为，
圆C：的圆心，半径为，
因为圆与圆相外切，所以，所以，
且圆与轴交于，不妨记，
因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上，
由对称性不妨令，
当时，则，解得，
故
，
当时，则，解得，
此时，
故，
当时，则，解得，
故
，
综上所述，的最大值为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：将表示的坐标重新表示为线段长度从而方便正切公式的计算，是解决本题的关键.
6．B
【分析】由题意求出直线的方程以及直线的方程，设关于的对称点为，结合点关于直线对称，求出的表达式，代入的方程中，即可求得答案.
【详解】设的圆心为．由题意，知圆的标准方程为，
作出圆与射线，，的大致图象，如图，
则与关于对称，由于，，，
故直线的方程为，直线的方程为，
设关于的对称点为，则，
解得，又点一定在上，
所以，解得，
故选：B．
7．B
【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得.
【详解】
如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆，
因，故圆.
依题意知圆与圆必至少有一个公共点.
因，则，
由，解得：.
故选：B.
8．C
【分析】先求出点的轨迹方程，再将转化为的长度，根据图形求得共线时最小，求出最小值即可.
【详解】设，
由，得，化简整理得，
故的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
，
设，则,
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.

9．ABD
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A、B，设，若，推出恒成立，即可判断C、D.
【详解】圆即，圆心，半径，又，
所以，因为点在圆上，所以，
所以存在点，使得，故A对．
因为，所以点在圆外，又，点在圆内，
所以当与圆相切时，取最大值，
此时，所以，故B对．
对于D，设，若
，
又点在圆上，一定成立，故D对，C错.
故选：ABD．
10．ACD
【分析】先根据题意求出圆和圆的圆心距为，当即可判断A；分两圆外切和内切两种情况即可判断B；当时即可判断C；结合选项B可得，当时，两圆外切，再根据圆和圆的圆心到直线的距离分别为和即可判断D．
【详解】由圆的圆心为，圆的圆心为，则圆和圆的圆心距为，
对于A，当，即时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确；
对于B，当两圆外切时，，得；当两圆内切时，，得，故B错误；
对于C，当时，直线可能为两圆的公切线，故C正确；
对于D，结合选项B可得，当时，两圆外切，
则有，解得或，故D正确．
故选：ACD．
11．BD
【分析】对A：得到直线所过定点，得到，故或；对B：借助点到直线距离与半径对比即可得；对C：计算出圆心到直线的距离即可得；对D：的几何意义为与点所成直线的斜率，设出该直线结合圆与直线的位置关系计算即可得.
【详解】对A，因为直线恒过定点，
，
因为与以，为端点的线段相交，
所以或，故A错误；
对于B，因为点是圆外一点，所以，
圆心到直线的，则与圆相交，故B正确；
对于C，圆心到直线l的距离为，
所以有4个点到直线l的距离等于1，故C错误；
对于D，令，即，
点在圆上，
圆心到直线的距离，
即，解得或，
所以符合，故D正确；
故选：BD．
12．
【分析】设，可得，利用辅助角公式、三角函数的有界性可得答案.
【详解】点是圆上任意一点，
，，
，
，
，，
，
解得或(舍去)．
的取值范围是.
故答案为：.
13．
【分析】求得圆的圆心和半径，求得直线恒过的定点，可得经过点与线段垂直的弦的长度最短，由勾股定理计算即可．
【详解】直线恒过定点，
而圆的圆心为，半径为2，
可得在圆内，经过点与线段垂直的弦的长度最短，
此时弦长为．
故答案为：．
14．/
【分析】根据题意，利用圆与圆的位置关系，求得，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
因为有3条公切线，则两圆外切，则，
即
根据基本不等式可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
故答案为：.
15．(1)圆心，
(2)
【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与轴相切得半径；
（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.
【详解】（1）圆，
则圆心，因为圆与y轴相切，则半径.
（2）由（1）知，圆的方程为，圆心，半径为.
法一：设，
联立，得，
，
则，
所以；
法二：圆心到直线的距离，
则.
故.

16．(1)
(2)或.
【分析】（1）设，由直线与圆有公共点，借助直线与圆的位置关系求解即可；
（2）利用圆的弦长公式求出，分类讨论利用点到直线的距离，求出直线的方程即可.
【详解】（1）由圆，可得圆心，半径为.
设，则直线与圆有公共点，所以，
解得，所以的取值范围是.
（2）由圆，可得圆心，半径为.
设点到直线的距离为，
因为，所以，解得，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
解得，所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
17．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明；
（2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程；由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值.
【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上，
则圆的方程为，
整理得，
因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），
令，解得：；令，解得：；
则，．
所以，为定值．
（2）因为直线经过圆的圆心，所以．
又，且，解得．
所以圆的方程为．
过点作圆的切线，，切点为，，
显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，，
则圆的方程为，
即，①
又圆的半径，方程可化为，②
①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为
．
点到直线的距离，
所以
，
所以当时，取得最小值，
故线段长度的最小值为．
18．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出的长度，再设出P点坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（2）首先判断出A，B在以MP为直径的圆上，再求出以MP为直径的圆的方程，然后将⊙M方程与方程相减得出直线AB方程，最后求出定点即可.
【详解】（1）连接MP、MA、MB，因为直线PA和直线PB是⊙M的切线，切点分别为A，B，所以，且.
若，则.
在直角中，，，则.
设P点坐标为，因为，
所以，解得或，
所以或.
（2）因为，所以A，B在以MP为直径的圆上，
设P点坐标为，则MP的中点Q坐标为，
，
所以方程是：，
即.
因为直线AB是⊙M与的公共弦，故直线AB方程为：，
即，即，
令，解得.所以直线AB是过定点.
19．(1) 或；
(2)
【分析】（1）由正三角形性质得直线与直线的倾斜角关系，利用两角差的正切公式求斜率，再由斜截式方程可得；
（2）由点坐标可得正三角形边长，结合图形，要使圆与与有且只有2个交点，则 或，进而求解范围即可.
【详解】（1）
由直线，又点在轴上，则.
由题意，,且为正三角形，
则直线倾斜角为，设倾斜角为，则，或，
则，
或，
故: 或，
化简得: 或；
（或写：: 或也可）
（2）由题意得，，所以，
: ，
圆，即，
则圆为以为圆心，为圆心的圆，
已知，则，
因为圆与正三角形有且只有2个交点，
如图可得， 或，
则或.
故的取值范围为.

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