1.4空间向量的应用同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.4空间向量的应用同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．平面的法向量为，平面的法向量为，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量（ ）
A． B．
C． D．
4．已知空间中两条不同的直线，，其方向向量分别为，，则“，共线”是“直线，平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C．或 D．与的位置关系不能判断
6．在直三棱柱中，若，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为10的正方体中，M为棱CD的中点，点P在侧面上，且到与的距离均为3，则过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的形状是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
8．正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．
C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为
10．如图，在四面体中，，是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面
B．直线与直线所成角为
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．四面体的外接球表面积为
11．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使得平面平面
C．当时，直线与所成角的余弦值为
D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
12．设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 ．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个）
13．已知长方体中，，则CD与平面所成角的正弦值等于 .
14．在棱长为的正方体中，点、分别是梭、的中点，是侧面上的动点，且平面，则点的轨迹长为 ，点到直线的距离的最小值为 .
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面，为的中点.

(1)证明：；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长.
16．如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，点是的中点.
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值.
17．已知空间三点、、.
(1)若向量与平行，且，求的坐标．
(2)若向量分别与、垂直，且，求的坐标．
(3)求以、为邻边的平行四边形的面积．
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
19．如图所示，在长方体中，，M为上一点且，点N在线段上，.
(1)求；
(2)求直线AD与平面ANM所成角的正弦值；
(3)求平面ANM与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
参考答案：
1．C
【分析】根据，由两个平面的法向量平行列式得解.
【详解】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且，
所以，解得.
故选：C
2．B
【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案.
【详解】因为，所以，
则点到直线的距离.
故选：B
3．B
【分析】由直线平面，从而可知，设从而进行计算求解，即可得到答案.
【详解】由题意知直线平面，所以，因为，则设，所以，
又因为是单位向量，所以，解得，
所以，故B正确.
故选：B.
4．C
【分析】利用充分必要条件的概念进行判断即可.
【详解】若直线的方向向量，共线，则两直线平行或重合，
又因为直线，是空间中两条不同的直线，所以两直线，平行，即“，共线”是“直线，平行”的充分条件；
若直线，平行，则，共线，即“，共线”是“直线，平行”的必要条件；
综上，“，共线”是“直线，平行”的充分必要条件.
故选：C
5．A
【分析】根据向量共线即可判定.
【详解】由于，故直线的方向向量与平面法向量平行，故，
故选：A
6．C
【分析】
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，
所以，
则，
故与所成角的余弦值为.
故选：C
7．B
【分析】以为坐标原点，分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，先利用向量找出截面与的交点，再在等直线上找点，即可判断截面形状.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴，
建立空间直角坐标系，
其中，，，，，
设平面截于，平面截于，，
设，则，且，
即，解得，即
，，则，
其中，得，则，
设平面截于，平面截于，
设，，同理，得，
设，，同理，得，
则，，
故选：B.
8．A
【分析】
建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解.
【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,,
则，.
因为，所以，
所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段.
易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为，
所以动点的轨迹长度为
故选：A
9．AB
【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式，空间的距离公式和点到直线、点到平面的距离的向量运算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，，可得，所以，所以A正确；
对于B中，由空间的距离公式，可得，所以B正确；
对于C中，取向量，，
可得，，所以点到直线的距离为，所以C错误；
对于D中，由向量，，，
设平面的法向量为，则,
令，可得，，所以，
所以点到平面的距离为，所以D错误．
故选：AB．
10．ABD
【分析】对于选项A，取中点，连接，根据题设条件，得出为二面角的平面角，再通过计算得出，再利用平面垂直的定义即可判断出选项A的正误；对于选项B，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法即可求出结果；对于选项C，利用定义法得出为直线与平面所成的角，再在中，利用，，,即可判断出结果；对于选项D，由可知球心和半径，即可判断出选项D的正误，从而得出结果.
【详解】如图，取中点，连接，
因为，
所以，，又是中点，所以，
故为二面角的平面角，
在中，，，
又，所以，故，即，
由两平面垂直的定义知，平面平面，所以选项A正确，
对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，，
则，，
设直线与直线所成角为，则，
又，所以，故选项B正确，
对于选项C，连接，因为，，面，
所以面，故为直线与平面所成的角，
因为是的中点，所以，
在中，，，所以,
得到， 故选C错误，
对于选项D，因为，所以为四面体的外接球的球心，且半径为，
故外接球表面积为，D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】对于A项，由等体积法即可判断，对于B项，运用空间向量坐标法计算两个平面法向量平行求解即可，对于C项，运用空间向量坐标公式计算异面直线所成角余弦值即可，对于D项，由列方程求解即可.
【详解】对于A项，

因为平面平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
又， 的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故A项正确；

建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，
对于B项，，，，
设，则．
设平面的法向量为，
由，令，可得．
设平面的法向量为，
由，令，可得．
若平面平面，则，解得，故B项正确；
对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当时，．
设直线与所成的角为，则，
即直线与所成角的余弦值为，故C项错误；
对于D项，如下图，当为的中点时，．

设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
则，解得，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D项正确．
故选：ABD.
12．平行或线在面上
【分析】根据方向向量与法向量的数量积判断出线面关系.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以直线与平面平行或直线在平面上，
故答案为：平行或线在面上.
13．
【分析】先建立空间直角坐标系并求出点的坐标，接着求出向量，，，再求平面的一个法向量，最后求CD与平面所成角的正弦值.
【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图
设，则，，，，
则，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，，所以平面的一个法向量，
设CD与平面所成角为，所以.
故答案为：.
14．
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量法求出点的轨迹方程，可求得点的轨迹长度，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如下图所示：
则、、、，
因为点是侧面上的动点，设点，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，且，
因为平面，则，即，
可得，分别取线段、的中点、，
所以，点的轨迹为线段，
故点的轨迹长为，
，由，可得，
，
所以，点到直线的距离为
，
因为函数在上为增函数，
所以，当时，取最小值，且.
故答案为：；.
15．(1)证明见解析
(2)1
【分析】
（1）以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，
（2）求出平面ADE的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出线段PB的长.
【详解】（1）因为平面，且平面，
所以，又，即，
以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，为的中点，
得，，，，
所以，，
所以，，

所以.
（2）由（1）可得，，，，
，所以，，，
，
设平面的法向量为，
所以
令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为.
则，取，得
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，整理得，
解得或（舍）
即线段的长为.
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先证明，再由勾股定理证，由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直；
（2）利用（1）证得的结论建立空间直角坐标系，求出相关点和相关向量的坐标，计算平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得所求角的正弦值.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面平面，
所以.
又因为，则，所以.
又平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
（2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，
故.
设平面的法向量，
则令，则.
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
17．(1)或
(2)或
(3)
【分析】
（1）由已知可设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可得出向量的坐标；
（2）求出平面的一个法向量的坐标，设，其中，利用向量的模长公式求出的值，即可得出向量的坐标；
（3）利用空间向量的数量积可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得以、为邻边的平行四边形的面积.
【详解】（1）解：由已知可得，
因为向量与平行，设，其中，
则，解得.
所以，或.
（2）解：设平面的一个法向量为，，，
则，解得，取，可得，
因为向量分别与、垂直，则，设，其中，
则，解得，
所以，或.
（3）解：，因为，则，
所以，以、为邻边的平行四边形的面积.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点为,连接，易证四边形为平行四边形，即可得，由线面平行的判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，即可计算答案.
【详解】（1）如图所示：取中点为,连接，
在中，分别为的中点，
所以为的中位线，
所以,,
在正方形中，为中点，
所以,,
所以,
所以四边形为平行四边形，
所以,
又因为：平面，平面,
所以平面.

（2）有题意知：两两垂直，建立如图所示：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系,
不妨设，
则，
所以，
设平面的法向量为：
则
取，则，
易知平面的一个法向量为：
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）依题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）依题意，建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，
所以，则，
所以.
（2）因为，AN，又，平面，
所以⊥平面，所以是平面的一个法向量，
又，
所以，
所以直线AD与平面ANM夹角的正弦值为；
（3）因为平面的一个法向量是，平面ABCD一个法向量为，
所以，
所以平面 ANM 与平面ABCD夹角的余弦值为.
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