1.2空间向量基本定理同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.2空间向量基本定理同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（ ）
A．a B．a C．a D．a
3．在正四面体中，记，，，为棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（ ）

A． B．1 C． D．2
5．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在三棱锥中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
7．体积为的圆锥底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足（其中），则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
8．已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．若三个非零空间向量满足，则有
B．若空间四个点，，则三点共线．
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角．
10．已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ．
13．如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．

14．已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值．
16．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
17．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
18．在正方体中，设，，，，分别是，的中点．
(1)用向量，，表示，；
(2)若，求实数，，的值．
19．如图，在三棱锥中，，，点M，N分别是，的中点
(1)求的值；
(2)求异面直线，所成角的余弦值.
参考答案：
1．B
【分析】由空间向量基本定理建立方程组求解即可.
【详解】依题意可知，
设向量在基底下的坐标为，
即，
则，
由空间向量基本定理得，
，解得，
故选：B．
2．A
【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题.
【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底.
，
故，所以MN＝a.
故选：A
3．B
【分析】根据空间向量的线性运算即可求解．
【详解】因为为棱的中点，
所以．

故选：B．
4．B
【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.
【详解】正方体中，点为上底面的中心，
所以，
故，
因为，所以，.
故选：B.
5．D
【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案.
【详解】依题意构成空间的一个基底，
A选项，由于，所以，，共面，故A错误；
B选项，由于，所以共面，故B错误；
C选项，因为，所以共面，故C错误.
D选项，假设存在实数使得，
则有，无实数解，则假设不成立，则不共面.
故选：D.
6．D
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】设，
则
，
所以,解得．
故选：D

7．A
【分析】由向量共面的推论判断N的位置，进而得到最小时N的位置，设圆锥MO底面圆的半径为r，结合已知及圆锥体积公式求半径，即可得结果.
【详解】因为N满足（其中），即N在圆O所在的平面内．
所以的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高．
设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥的轴截面为正三角形，
所以圆锥MO的高为，则圆锥的体积为，解得．
所以的最小值为.
故选：A
8．D
【分析】
根据空间四点共面及二次函数的最值求解.
【详解】因为，且四点共面，
由空间四点共面的性质可知，即，
所以，
所以当时，有最小值.
故选：D
9．BC
【分析】
根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；
对于B中，因为，则，即，
又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确；
对于C中，由是空间的一组基底，且，
令，可得，此时方程组无解，所以不共面，
所以可以作为一个空间基底，所以C正确；
对于D中，若为钝角，则，且与不共线，
由，解得，当时与平行时，由，解得，
当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误.
故选：BC
10．BCD
【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D.
【详解】设正三棱柱的棱长为2，
以，，为基底向量，则，
，，
可得
，
若，则，
则，
即，
所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误；
又，故，，，在同一平面内，
连接、、，依题意，，，平面，
所以平面，要使，所以需在上，
由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确.
故选：BCD．
11．ABD
【分析】A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到.
【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心，
故，
又，故
，A正确；
B选项，，故
，
故，B正确；
C选项，，
又，
设，即，无解，故与不平行，C错误；
D选项，
，
故，D正确.
故选：ABD
12．
【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】取中点N，连接，
又
，.
故答案为：.
13．
【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.
【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，

所以
，
所以.
故答案为：.
14．8
【分析】利用空间向量的线性运算、数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可.
【详解】设正方体内切球的球心为G，正方体内的体对角线长为，
则，,
因为MN是正方体内切球的一条直径，所以，，
所以．又点P在正方体表面上运动，
所以当P为正方体顶点时，最大，且最大值为，
所以，所以最大值为8．
故答案为：8.
15．/
【分析】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围.
【详解】设，
则
，
又，
，
，
设，则，
所以，即．
由题设可得，故且，
故，
解得，故．
当且仅当，时等号成立．
故的最大值为．
16．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案；
（2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】（1）由题意得，
所以
；
（2），
所以
，
，,
，
故，
由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，
所以直线与AC所成角的余弦值为.
18．(1)，
(2)，，．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；
（2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可．
【详解】（1）连接，则交于点，
，
．
（2）连接，
，
又，所以，，．
19．(1)-14
(2)
【分析】（1）由余弦定理求出，，利用表达出，从而求出；
（2）方法一：在（1）的基础上，求出，利用求出答案；
方法二：作出辅助线，找到异面直线，所成角为或其补角，求出各边，利用余弦定理求出答案.
【详解】（1）选取一个基底，
由题意得，，
，
，
因为，
所以
.
（2）方法一：由（1）知，，
所以
所以
，
所以.
即异面直线，所成角的余弦值为.
方法二：取的中点E，连接，，如图，
因为点M是的中点，所以，且，
故异面直线，所成的角为或其补角.
因为，，点M，N分别是，的中点，
所以，⊥，⊥，⊥，
由勾股定理得，
所以，，
由勾股定理得，
在中，，
即异面直线，所成角的余弦值为.
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