1.1空间向量及其运算同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.1空间向量及其运算同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．平行六面体中，化简（ ）
A． B． C． D．
2．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲 乙两人相距（ ）

A． B． C． D．
4．在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ）
A． B． C． D．
5．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
6．若，，三点共线，则（ ）
A．4 B． C．1 D．0
7．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与，的夹角都等于若是的中点，（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量，共面．
B．在三个向量的数量积运算中．
C．对于非零向量，由数量积，则．
D．若，，，是空间任意四点，则有．
11．三棱锥中，两两垂直，且，下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C．和的夹角为 D．三棱锥的体积为
三、填空题
12．已知，则 ．
13．如图，单位正方体中，，则点E的坐标是 ，点E的位置在 ．

14．如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为 .

四、解答题
15．如图，在空间四边形OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且，试用向量，，表示向量．
16．如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成角的大小.
17．如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
18．如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且.
(1)用，，表示；
(2)若，求；
(3)若，求证：平面.
19．如图，建立空间直角坐标系.单位正方体顶点A位于坐标原点，其中点，点，点.
(1)若点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，则分别求出向量，，.的坐标；
(2)在（1）的条件下，分别求出；的值.
参考答案：
1．A
【分析】利用三角形法则化简即可.
【详解】为平行六面体，如图所示：

．
故选：A
2．C
【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可.
【详解】A选项：，所以A错；
B选项：，所以B错；
C选项：原式可整理为，所以C正确；
D选项：原式可整理为，，故D错.
故选：C.
3．D
【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，
则，
又，，且库底与水坝所成的二面角为，
则，
所以，
即.
故选：D
4．D
【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.
【详解】由F为BE 的中点，得
又
所以，由
得
即所以
故选：D

5．B
【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案.
【详解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故选：B.
6．A
【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.
【详解】因为，，所以，
解得．故．
故选：A.
7．A
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解.
【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
可得，，，
因为点在线段上运动，设，且，
所以，可得，
又因为，所以，即.
故选：A．

8．A
【分析】利用两边平方化简可得答案.
【详解】，，，
是的中点，，
，，
，
所以.
故选：A.
9．BC
【分析】根据正方体的几何特征，利用空间向量的运算求解判断.
【详解】如图所示：
由图形知：因为 ，所以，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为平面，所以，所以，故C正确；
因为四边形是矩形，所以与不垂直，则，故D错误.
故选：BC
10．AD
【分析】由向量共面的条件判断A，由数量积的性质判断B，由向量垂直判断C，由向量的加法法则判断D
【详解】对于A：空间中任意两个非零向量，可以构成一个平面，故A正确；
对于B：向量的数量积不满足结合律，故B错误；
对于C：当互相垂直时，C错误；
对于D：根据向量的加法法则可知：，
故,故D正确；
故选：AD
11．ABC
【分析】根据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一判断即可.
【详解】A：，
因为两两垂直，所以，
而，所以，本命题是真命题；
B：，
因为两两垂直，所以，
因此，本命题是真命题；
C：，
因为两两垂直，所以，
所以，
，
因为互相垂直，所以，而，
所以，
，
因为互相垂直，所以，而，
所以，设和的夹角为，
因为，所以
因此本命题是真命题；
D：，
因为两两垂直，所以，
所以，
，
因为互相垂直，所以，而，所以，
，
因为两两垂直，且，
所以三棱锥的体积为：，
因此本命题是假命题，
故选：ABC
12．
【分析】直接根据向量的夹角公式求解.
【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故
故答案为：
13． BD的中点
【分析】结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】如图所示，可得，
设，因为，可得，
解得，即点，
又由，可得的中点坐标为，所以为的中点.
故答案为：；为的中点.
14．1
【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可.
【详解】由题可得, ，,
所以,且,
因为,
所以
，
所以，
故答案为:1.
15．
【分析】利用向量加减法的三角形法则，以及数乘运算进行计算即可，
【详解】
，
即
16．(1)
(2)
【分析】(1)设，，然后表示出，然后结合已知条件，利用数量积求解即可；(2)利用，，表示出，，然后利用数量积求得即可证明.
【详解】（1）设，，，
则，，，，，
∵，
∴
∴线段的长为.
（2）∵，，
∴，
∴，
故异面直线与所成的角为90°.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；
（2）计算的值即可得，再计算的值，由空间向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为，，，
所以.
（2）因为空间四边形的各边及对角线长为，
所以四面体是正四面体，，且，，间的夹角为，
所以，
，
，
所以，所以，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）不妨取，根据及空间向量数量积的运算律得到方程，解得即可；
（3）过点作，交于点，连接，即可得到、，即可得到平面平面，从而得证；
【详解】（1）解：
即
（2）解：因为，不妨取，
．
．
（3）解：过点作，交于点，连接，则，
平面，平面，所以平面，
因为，令，则，，，所以，所以，所以，又，，所以，所以，平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，平面，所以平面；
19．(1)；；
(2)；
【分析】（1）根据图像得到各点坐标，再计算向量得到答案.
（2）根据向量的数量积公式和模长公式计算得到答案.
【详解】（1）因为点E是棱的中点，点F是棱的中点，点G是侧面的中心，
可得，
所以；；；
（2）可得；
又由，所以.
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