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北师大版八年级上册数学同步练习卷
1.1 探索勾股定理
一、单选题
1．下列数组中是勾股数的是（ ）
A．6， 8， 9 B．7， 15， 17 C．7， 24， 26 D．5， 12， 13
2．如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
3．下面四组线段能够组成直角三角形的是( )
A．2,3,4 B．3,4,5 C．6,7,8 D．7,8,9
4．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实：边长为1的正方形的对角线的长度是不可公度的，即不能表示成两个整数之比．这个发现是基于一个表述直角三角形三条边长之间关系的定理，请问这个定理被称为（ ）
A．勾股定理 B．韦达定理 C．费马大定理 D．阿基米德折弦定理
5．三角形的三个内角比为1∶2∶3，最小的边长为1，则最大的边长为
A．2 B．4 C．6 D．8
6．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．5
7．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．，，2 C．5，4， D．3，2，5
8．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，且，，，则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（ ）
A．2米 B．2.2米 C．2.5米 D．2.7米
11．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则AC的长是( )
A． B．2 C． D．5
12．下列各组数中是勾股数的为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ．
14．直角三角形的两条边长是3cm和4cm，则这个直角三角形的周长为 ．
15．如图，睿睿同学用圆规BOA画一个半径为8cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至处，此时测得∠＝120°，则BB′的长为 ．
16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ．
17．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为 ．
18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则 ．
19．如图，在四边形中，，连接，若，则 ．
20．已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是 ．（写出一个即可）
三、解答题
21．已知：如图，中，，，，
（1）求斜边的长；
（2）计算的面积．
22．如图，将放在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，点，点均落在格点上.
（1）计算的值等于______.
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为一边的矩形，使该矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明）.
23．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）．
24．大明宫视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的张林和王亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王亮身高为1.68米；
(1)求风筝的垂直高度；
(2)若王亮想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
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北师大版八年级上册数学同步练习卷
1.1 探索勾股定理
一、单选题
1．下列数组中是勾股数的是（ ）
A．6， 8， 9 B．7， 15， 17 C．7， 24， 26 D．5， 12， 13
【答案】D
【详解】A、，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
B、，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；
2．如图，长方形纸片，，，点在边上，将沿折叠，点落在处，，分别交于点，，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵长方形纸片，，，
∴，，，
∵将沿折叠，点C落在点E处，
∴，，．
在和中， ，
∴，
∴，． 设，则，，
又∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
3．下面四组线段能够组成直角三角形的是( )
A．2,3,4 B．3,4,5 C．6,7,8 D．7,8,9
【答案】B
【详解】A、22 +32 ≠42 ，故不是直角三角形，故本选项错误；
B、32 +42=52 ，故是直角三角形，故本选项正确；
C、62+72≠82 ，故不是直角三角形，故本选项错误；
D、72 +82≠92 ，故不是直角三角形，故本选项错误，
4．公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希帕索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实：边长为1的正方形的对角线的长度是不可公度的，即不能表示成两个整数之比．这个发现是基于一个表述直角三角形三条边长之间关系的定理，请问这个定理被称为（ ）
A．勾股定理 B．韦达定理 C．费马大定理 D．阿基米德折弦定理
【答案】A
【详解】根据题意得∶ 一个表述直角三角形三条边长之间关系的定理，这个定理被称为勾股定理．
5．三角形的三个内角比为1∶2∶3，最小的边长为1，则最大的边长为
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】设最小角为x,2x+x+3x=180°，解得x=30°，所以内角为30°，60°，90°，所以根据30°角所对边是斜边一半，得最长边是2.选A.
6．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【详解】解：点到原点的距离为．
7．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．，，2 C．5，4， D．3，2，5
【答案】A
【详解】A、92+402＝412，能构成直角三角形，且是正整数，此选项正确
B、不是整数，此选项错误
C、不是整数，此选项错误
D、22+32≠52，不能构成直角三角形，此选项错误；
8．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
∵在中，，，，
∴，
9．如图，，且，，，则线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
10．如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（ ）
A．2米 B．2.2米 C．2.5米 D．2.7米
【答案】A
【详解】
作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°
∴∠AOE=∠OBF
在△AOE和△DBF中，
∠OEA=∠BFO
∠AOE=∠OBF
OA=OB
∴△AOE≌△DBF（AAS），
∴OE=BF，AE=OF
即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）
∵EF=10-3=7
∴OE=5，OF=12
∴OM=OF+FM=15m
由勾股定理得ON=OA=13
∴MN=15-13=2（m）
11．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则AC的长是( )
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【详解】解：作AD⊥l于点D，作CE⊥l于点E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(AAS)，
∴BE=AD=2，DB=CE=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=．
12．下列各组数中是勾股数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、，这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，这组数是勾股数， 故本选项不符合题意；
二、填空题
13．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是，，，则的长为 ．
【答案】1
【详解】解：，
，
，
，
，
14．直角三角形的两条边长是3cm和4cm，则这个直角三角形的周长为 ．
【答案】12cm或
【详解】①直角边长是3cm和4cm时
斜边
周长
②当斜边是4cm时
直角边
周长
15．如图，睿睿同学用圆规BOA画一个半径为8cm的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至处，此时测得∠＝120°，则BB′的长为 ．
【答案】
【详解】解：作O′C⊥BA于点C．如图：
根据已知可得：BA=8cm．OB=OA．
∵∠O=90°．
cm,
∵∠=120°，=A．
∴∠C=30°．
∵＝OB＝cm
∴C=cm，
cm，
∴
16．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ．
【答案】13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
17．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，点C到AB边的距离为 ．
【答案】
再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离．
【详解】解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝，AB＝，
∴点C到AB边的距离＝．
18．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则 ．
【答案】41
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
19．如图，在四边形中，，连接，若，则 ．
【答案】
【详解】解：过点D作于点E，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
20．已知一个直角三角形的两边分别为3和4，则第三边的长可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（或5）
【详解】解：一个直角三角形的两边分别为3和4，
①当4为直角边长，则第三边为斜边，第三边的长为．
②当4为斜边长，则第三边为直角边，第三边的长为．
三、解答题
21．已知：如图，中，，，，
（1）求斜边的长；
（2）计算的面积．
【答案】（1）13；（2）30
（2）利用三角形的面积公式，两直角边长之积的一半．
【详解】解：（1）在中，，，，由勾股定理得
（2）
22．如图，将放在由边长为1的小正方形组成的网格中，点，点，点均落在格点上.
（1）计算的值等于______.
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为一边的矩形，使该矩形的面积等于，并简要说明画图方法（不要求证明）.
【答案】（1）11；（2）详见解析
【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；
（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．
【详解】解：（Ⅰ）AC2+BC2=（）2+32=11；
故答案为11；
（2）如图，分别以，，为一边作正方形，正方形，正方形．延长交于点，连接，平移至，位置，直线分别交，于点，点，则四边形即为所求．
23．如图，车床齿轮箱壳要钻两个圆孔，两孔中心的距离是，两孔中心的水平距离是．计算两孔中心的垂直距离（结果保留小数点后一位）．
【答案】
【详解】解：∵∠ACB＝90°，
∴AC＝＝ ≈109.7mm，
答：两孔中心的垂直距离为109.7mm．
24．大明宫视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的张林和王亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王亮身高为1.68米；
(1)求风筝的垂直高度；
(2)若王亮想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的垂直高度为16.68米 (2)他应该往回收线7米
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
由图和题意可知：，
∴（米），
答：风筝的垂直高度为16.68米；
（2）如图，风筝下降至点处．
由题意，得米，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
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