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北师大版八年级上册数学同步练习卷
1.2 一定是直角三角形吗
一、单选题
1．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图所示，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则中间小正方形与大正方形的面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
2．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是196，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是 ( )
A．x+y=14 B．x－y=2 C．xy=48 D．x2＋y2=144．
3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．7 m B．7.5 m C．8 m D．9 m
4．现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点分别沿正东和正南方向爬行，蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离为（ ）
A．300厘米 B．250厘米 C．200厘米 D．150厘米
5．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形，，都是正方形，若正方形的面积等于100，面积等于，且已知，则的面积等于（ ）
A． B．39 C． D．52
6．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①；②；③；④．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
7．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直角三角形三边向形外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形A的面积是（ ）
A．360 B．164 C．400 D．60
10．我国古代的数学家曾写下了许多数学名著，这些数学著作是了解古代数学成就的丰富宝库，其中有不少成就在世界范围内处于遥遥领先的地位.下列数学名著与其内容搭配不正确的一项是（ ）
A．《周髀算经》 勾股定理 B．《九章算术》 负数的概念和正负数的运算
C．《海岛算经》 三斜求积术 D．《孙子算经》 鸡兔同笼
11．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边边长是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
二、填空题
13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1所示）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 .
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若小正方形的面积为则大正方形的面积为 ．
15．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为 ．
16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
17．如图，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 m．
18．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形．
19．勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 ．
20．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN的长为 ．
三、解答题
21．八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度．
22．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？
23．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要 cm？
（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．（直接填空）
24．（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
① 在直角中，，三边分别为a、b、c，，，求c的值：
② 如图3,五边形中，线段，，四边形为长方形，在直角中，，，其周长为n，当n为何值时，长方形的面积为定值，并说明理由．
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1.2 一定是直角三角形吗
一、单选题
1．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图所示，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，则中间小正方形与大正方形的面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，
小正方形的边长为2，
根据勾股定理得：大正方形的边长，
中间小正方形与大正方形的面积的比值是：．
2．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是196，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是 ( )
A．x+y=14 B．x－y=2 C．xy=48 D．x2＋y2=144．
【答案】D
【详解】试题分析：根据图形和题目中的数据可以分别判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
解：由题意可得，196 4=4xy，得xy=48，故选项C正确，
(x+y)2=196，得x+y=14，故选项A正确，
(x y)2=4，得x y=2，故选项B正确，
∴x2 2xy+y2=4，
∴x2+y2=4+2xy=4+2×48=100，故选项D错误.
3．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开4 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A．7 m B．7.5 m C．8 m D．9 m
【答案】B
【详解】如图所示：
设旗杆AB=x米，则AC=（x+1）米，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+1）2=x2+42，
解得：x=7.5．
4．现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点分别沿正东和正南方向爬行，蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离为（ ）
A．300厘米 B．250厘米 C．200厘米 D．150厘米
【答案】B
【详解】如图所示，
∵蜗牛的速度为14厘米/分钟，乌龟的速度为48厘米/分钟，
∴OA=14×5=70（厘米），OB=48×5=240（厘米），
∴AB=（厘米）．
所以蜗牛和乌龟的直线距离为250厘米.
5．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形，，都是正方形，若正方形的面积等于100，面积等于，且已知，则的面积等于（ ）
A． B．39 C． D．52
【答案】A
【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，正方形的面积等于100，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
解得舍去，
∴，
∵面积等于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
6．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①；②；③；④．其中说法正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【详解】解：大正方形面积为49，
大正方形边长为7，
在直角三角形中，
，故说法①正确；
小正方形面积为4，
小正方形边长为2，
，故说法②正确；
大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，
，
，故说法④正确；
，
，
，
，
，
，故说法③错误；
7．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 故A不能构成直角三角形，
故B能构成直角三角形，
故C不能构成直角三角形，
故D不能构成直角三角形．
8．如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
∴点表示的数为．
9．如图，直角三角形三边向形外作了三个正方形，其中数字表示该正方形的面积，那么正方形A的面积是（ ）
A．360 B．164 C．400 D．60
【答案】A
【详解】求正方形A的面积，则要知它的边长，而A正方形的边长是直角三角形的一直角边，利用另外两正方形的面积可求得该直角三角形的斜边和另一直角边，再用勾股定理可得：图中直角三角形的面积是1000-640=360.
10．我国古代的数学家曾写下了许多数学名著，这些数学著作是了解古代数学成就的丰富宝库，其中有不少成就在世界范围内处于遥遥领先的地位.下列数学名著与其内容搭配不正确的一项是（ ）
A．《周髀算经》 勾股定理 B．《九章算术》 负数的概念和正负数的运算
C．《海岛算经》 三斜求积术 D．《孙子算经》 鸡兔同笼
【答案】C
【详解】∵《周髀算经》 勾股定理是正确的，
∴A不符合题意；
∵《九章算术》 负数的概念和正负数的运算是正确的，
∴B不符合题意；
∵三斜求积术是宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出来的，
∴C符合题意；
∵《孙子算经》 鸡兔同笼是正确的，
∴D不符合题意；
11．下列各组数据中，能构成直角三角形的三边边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由 故A不符合题意；
由 故B不符合题意；
由 故不C符合题意；
由 故D符合题意；
12．如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【详解】解：（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝大正方形的面积＋四个直角三角形的面积和＝13＋（13 2）＝24．
二、填空题
13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1所示）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 .
【答案】
【详解】八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
，，
，
，
，
，
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若小正方形的面积为则大正方形的面积为 ．
【答案】25
【详解】解：∵每一个直角三角形的面积=，
∴大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积=4×4+9=25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意确定大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积是解本题的关键．
15．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为 ．
【答案】2．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b，
∵每一个直角三角形的面积为:ab=×4=2,
∴4ab+ =16，
∴=16-8=8，
∴a-b=2，
16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．
【答案】①③
【详解】解：由题意得：，，故①正确；
∴，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故④错误；
17．如图，一棵9m高的树被风刮断了，树顶落在离树根6m处，则折断处的高度AB为 m．
【答案】2.5/
【详解】解：如图：
∵BC＝6米，AC+AB＝9米，∠B＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
设AB＝x米，则AC＝（9﹣x）米，
即x2+62＝（9﹣x）2，
解得：x＝2.5，
∴AB＝2.5米，
∴折断处的高度AB为2.5米．
18．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形．
【答案】3或2或．
【详解】解：作BF⊥AD于F，
则四边形DEBF为矩形，
∴BF=DE=4，DF=BE=1，
∴AF=AD-DF=3，
由勾股定理得，
当△ABC为直角三角形时，
即
解得，CD=3，
如图2，作BH⊥AD于H，
仿照上述作法，当∠ACB=90°时，
由勾股定理得，
由得：
解得：
同理可得：当∠ABC=90°时，
综上：的长为：3或2或．
19．勾股定理是初中数学最重要的定理之一，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在最大正方形内．记四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，设图1中大正方形的面积为，中正方形的面积为，小正方形的面积为，四边形的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，如图2所示，连接，即为正方形的对角线，
∵四边形，四边形，四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴是正方形的对角线，即点在同一条线直线上，
∴图2中，，，
∵由图1可知，，
∴，
∴，
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出的面积，
20．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN的长为 ．
【答案】4或
【详解】（1）当MN是最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN== =4，
（2）（1）当BN是最大线段时，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴BN== =，
三、解答题
21．八年级的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图所示风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线米；
③牵线放风筝的小明身高1.6米．
求风筝的高度．
【答案】13.6
【详解】解：在中，由勾股定理得 (米)．
∴ (米)．
答：风筝的高度为13.6米．
22．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？
【答案】
【详解】解：设OB＝OA＝x（尺），
∵四边形BECD是矩形，
∴BD＝EC＝5（尺），
在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x 4，BE＝10，
∴x2＝102＋（x 4）2，
∴x＝．
∴OA的长度为（尺）．
23．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．
（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要 cm？
（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．（直接填空）
【答案】（1）5；（2）3
（2）绕3圈后相当于两直角边为3×4=12和3，利用勾股定理即可求出；
【详解】解：（1）如图是长方体的侧面展开图，则点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，最短路径是线段AB==5；
（2）点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，在Rt△ABC中，AC=12，BC=3，AB==3 ；
24．（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：________
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
① 在直角中，，三边分别为a、b、c，，，求c的值：
② 如图3,五边形中，线段，，四边形为长方形，在直角中，，，其周长为n，当n为何值时，长方形的面积为定值，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②当时，长方形的面积为定值．
【详解】解：（1）依题意得图1中阴影部分的面积为：
或，
，
故答案为：；
（2）依题意得图2中梯形的面积为：
或，
，
整理得：；
（3）①由（1）得
，
在直角中，，由（2）得，
，
；
②由（2）得，
，
因为直角中周长为n，
，
，
，
整理得：，
，
长方形的面积为：
，
当，
解得，
即当时，长方形的面积为定值．
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