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北师大版八年级上册数学同步练习卷
1.3 勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为3，如果用一根无弹力的细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短的是( )
A．3
B．4
C．5
D．8
【答案】C
【详解】解：如图所示，
AB==5．
2．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是（ ）尺
A．3 B．4 C．5 D．4.5
【答案】B
【详解】解：根据题意，竹子折断后构成直角三角形，斜边长和折断处离地面的高度和为9尺，
设折断处离地面的高度是x尺，则斜边长是9-x，根据勾股定理，
解得，x=4
故折断处离地面的高度是4尺，答案为B.
3．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如下图所示：
该圆柱形杯子沿底面圆直径截得纵截面是一个长为，宽为的长方形．
连接，
长方形，
是直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
由题意得，，，
，
是长方形中最长的线段，
当把细木筷斜放进该杯内时，最多可放进，
即露在杯子外面的部分至少是．
4．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（ ）
A．8 B．10 C．8 D．12
【答案】B
【详解】如图，根据题意，，
作点Ａ关于直线的对称点Ｇ，连接，则为所求最小值，
则，
过点作，交的延长线于点Ｅ，
则四边形是矩形，
故，
故，
故，
5．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么这棵树折断之前的高度是（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．24米
【答案】D
【详解】解：如图，AB=9米，AC=12米，
根据勾股定理得BC==15（米），
于是折断前树的高度是15+9=24（米）．
6．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒
【答案】B
【详解】如图，
以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴ AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵ AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故
7．如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，
将长方体右边的表面翻折（展开），连接，显然两点之间线段最短，为点到点的最短距离，由勾股定理知：
，
∴，即绳子最短为，
8．如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
∴露出杯口外的长度为：，
9．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如下图：
根据题意：，，
∴，
∴树折断之前高为，
10．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据勾股定理，求得正方形的对角线的长度为为：，再以为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为：．
11．如图，垂直地面的旗杆在离地3m处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m，则旗杆折断前的高度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为，
所以旗杆折断之前高度为．
12．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（ ）
A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺
【答案】C
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10 x）尺，
根据勾股定理得：x2＋32＝（10 x）2，
解得：x＝4.55
二、填空题
13．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 ．
【答案】20 cm/20厘米
【详解】解∶如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．
根据勾股定理，得
．
14．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是 ．
【答案】20cm
【详解】解：如图展开后连接，求出的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，
过作于，
则，
，
在中，由勾股定理得：cm，
答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm，
15．圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
由题意得，
．
16．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．
【答案】25
【详解】解：连接如图，
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴，
在中，（海里），（海里），
根据勾股定理得（海里）．
17．如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 米．
【答案】9
【详解】解：设旗杆的高度为x米，
根据勾股定理，得，
解得：；
18．如图，一圆柱体的底面周长为，高为是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程是 ．
【答案】/50厘米
【详解】解：如图所示：
∵圆柱体的底面周长为，
∴．
又∵，
∴．
19．如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端5米处，小明由此推断出大树折断之前的高度为 ．
【答案】米
【详解】解：如图，
由题意得：，
由勾股定理得：，
∴大树折断之前的高度为米，
20．一个圆柱形的铁桶，底面直径为，高为，则桶内所能容下的木棒（不考虑粗细）最长可以为 ．
【答案】26
【详解】解：如图，为铁桶的高，为底面的直径，，
则，
三、解答题
21．燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米； (2)7米．
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）解：连接，由题意得，米，
，
（米），
（米），
他应该往回收线7米．
22．综合实践活动课上,老师让同学们在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形,
即“梯形ABCD，AD∥BC，AD=2分米，AB=分米，CD=分米，梯形的高是
2分米”．请你计算裁得的梯形ＡＢＣＤ中BC边的长度．
【答案】5分，3分米，1分米
【详解】如图AE和DF为梯形ABCD的高，EF＝AD＝2分米
应分以下三种情况
（1）如图1，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2
∴BC＝BE＋EF＋FC＝5分
（2）如图2，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2
∴BC＝EF－BE＋FC＝3分米
（3）如图3，利用勾股定理可求出BE＝1，CF＝2，可得到C与E重合
∴BC＝1分米
23．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【答案】没有危险，不需要暂时封锁
【详解】解：公路AB段没有危险，不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
因为BC=1200米，AC=500米，
所以，根据勾股定理有AB==1300米，
因为S△ABC=AB CD=BC AC，
所以CD===米，
由于400米＜米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
24．如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号）
【答案】m
【详解】解：在中，，m，m，
m，
此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
m，
m，
m．
答：船向岸边移动了m．
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北师大版八年级上册数学同步练习卷
1.3 勾股定理的应用
一、单选题
1．如图，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为3，如果用一根无弹力的细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短的是( )
A．3
B．4
C．5
D．8
2．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是（ ）尺
A．3 B．4 C．5 D．4.5
3．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有（ ）
A． B． C． D．
4．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为（ ）
A．8 B．10 C．8 D．12
5．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面9米处折断，树的顶端落在离树杆底部12米处，那么这棵树折断之前的高度是（ ）
A．9米 B．12米 C．15米 D．24米
6．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．秒 B．16秒 C．秒 D．24秒
7．如图是一个长方体包装盒，高为，底面是正方形，边长为，现需用绳子装饰，绳子从出发，沿长方体表面绕到处，则绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面处折断，树顶端落在离树底部处，则树折断之前高（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，垂直地面的旗杆在离地3m处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m，则旗杆折断前的高度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（ ）
A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺
二、填空题
13．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 ．
14．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是 ．
15．圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为 ．
16．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．
17．如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为 米．
18．如图，一圆柱体的底面周长为，高为是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程是 ．
19．如图，一竖直的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在地面离大树底端5米处，小明由此推断出大树折断之前的高度为 ．
20．一个圆柱形的铁桶，底面直径为，高为，则桶内所能容下的木棒（不考虑粗细）最长可以为 ．
三、解答题
21．燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高米；
(1)求风筝的垂直高度．
(2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
22．综合实践活动课上,老师让同学们在一张足够大的纸板上裁出符合如下要求的梯形,
即“梯形ABCD，AD∥BC，AD=2分米，AB=分米，CD=分米，梯形的高是
2分米”．请你计算裁得的梯形ＡＢＣＤ中BC边的长度．
23．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
24．如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号）
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