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北师大版九年级上册数学同步练习卷
1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1．如图，用四张同样大小的正方形纸片围出一个菱形．一个小孩顺次在这四张纸片上轮流走动，每一步都踩在一张纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．如图，四边形ABCD是菱形，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D． +1
4．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）
A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB＝AC D．BF∥CE
5．下列说法中错误的是( )
A．四边相等的四边形是菱形 B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，将△AOB沿射线AD的方向平移，平移的距离为线段AD的长，平移后得△DEC，则四边形ACED的周长为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
7．如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的周长是（ ）
A．108 B．52 C．48 D．20
二、填空题
9．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是对角线上的动点，连接，，则的最小值 ．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为 ．
11．如图，在菱形中，连接，若，则 ．
12．如图，在菱形中，，则 ．
13．三个形状、大小相同的菱形按如图的方式摆放，已知△ABC为正三角形，若菱形的两条对角线长分别为3cm和cm，则△ABC的面积为 ．
14．如图，在中E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE交于点G，BF，CE交于点H．当满足 时，四边形EHFG是菱形．
三、解答题
15．完成下面各小题
(1)计算：
(2)已知，求x2y+xy2的值．
(3)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
②当AD=BC时， EFGH是 ；
③当AD⊥BC时， EFGH是 ．
16．（1）计算：；
（2）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且，求证：．
17．（1）计算：．
（2）如图，在中，，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
18．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=45°．
（1）试建立适当的平面直角坐标系表示该菱形并写出其各顶点的坐标．
（2）若要计算该菱形的面积，你有什么办法？
19．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，…依此类推，若第次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图，中，若，，则为1阶准菱形：中，若，，则为3阶准菱形．
（1）判断与推理：
邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形；
（2）操作、探究、计算：
①已知的边长分别为1，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在下方写出的值．
②已知的邻边长分别为，，满足，，请写出是______阶准菱形．
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北师大版九年级上册数学同步练习卷
1.1 菱形的性质与判定
一、单选题
1．如图，用四张同样大小的正方形纸片围出一个菱形．一个小孩顺次在这四张纸片上轮流走动，每一步都踩在一张纸片的中心，则这个小孩走的路线所围成的图形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【详解】解：如图，根据题意，顺次连接四个正方形的中心，所构成的图形是正方形，
2．如图，四边形ABCD是菱形，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【详解】解：设菱形对角线交于，如图所示：
，，
在中，， ，，
．
3．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． D． +1
【答案】B
【详解】解：
如图：过点C作CE⊥AB
∵菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°
∴∠ABC＝60°，BC＝2，BD平分∠ABD
∴BE＝，CE＝BE＝3
∵BD平分∠ABD
∴在AB上作点P关于BD的对称点P'
∴PK+QK＝P'K+KQ
∴当P'，K，Q三点共线且P'Q⊥AB时，PK+QK有最小值，
即最小值为平行线AB，CD的距离，则最小值为3
4．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF．在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是（ ）
A．EB⊥EC B．AB⊥AC C．AB＝AC D．BF∥CE
【答案】C
【详解】解：∵BD＝DC，DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
要使得四边形BECF是菱形，对角线必须垂直，
只有AB＝AC时，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴此时四边形BECF是菱形，
5．下列说法中错误的是( )
A．四边相等的四边形是菱形 B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】B
【详解】解：∵四边相等的四边形是菱形
∴A选项正确
∵菱形的对角线长度不一定等于边长，
∴B选项错误
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴C选项正确
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形
∴选项D正确
6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=6，BD=8，将△AOB沿射线AD的方向平移，平移的距离为线段AD的长，平移后得△DEC，则四边形ACED的周长为（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
【答案】B
【详解】试题分析：根据菱形的性质可得：AD=5，AC=6，DE=3，CE=4，则四边形ACED的周长为：6+4+3+5=18．
考点：菱形的性质．
7．如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】解：过点作，
∵四边形为菱形，周长为24，
∴，平分，
∴，
∴，
8．已知菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的周长是（ ）
A．108 B．52 C．48 D．20
【答案】B
【详解】如图,BD＝10,AC＝24，
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA＝AC＝12,OB＝BD＝5,AC⊥BD,
∴AB＝＝13,
∴菱形的周长＝4×13＝52,
二、填空题
9．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是对角线上的动点，连接，，则的最小值 ．
【答案】
【详解】解：连接AE．
∵四边形ABCD为菱形，
∴点C、A关于BD对称，
∴PC=AP，
∴PC+EP=AP+PE，
∴当P在AE与BD的交点时，
AP+PE最小，
∵E是BC边的中点，
∴BE=1，
∵AB=2，B=60°，
∴AE⊥BC，
此时AE最小，为，
最小值为.
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：连接AC、AE，AE交BD于P，连接CP，则此时PE+PC最小，
∵四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，AB=BC=1，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABE=∠BAC=60°，
又∵BE=CE=BC=，
∴AE⊥BC，
∴AE=．
11．如图，在菱形中，连接，若，则 ．
【答案】/35度
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
12．如图，在菱形中，，则 ．
【答案】/40度
【详解】解：∵四边形为菱形，，
∴，，
∴；
13．三个形状、大小相同的菱形按如图的方式摆放，已知△ABC为正三角形，若菱形的两条对角线长分别为3cm和cm，则△ABC的面积为 ．
【答案】
【详解】∵为正三角形，∴，
∵菱形的两条对角线长分别为3cm和cm，∴菱形的边长为3cm，
∴AB=BC=AC=3×3=9(cm)，
∴三角形的高(cm)，
∴，
14．如图，在中E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE交于点G，BF，CE交于点H．当满足 时，四边形EHFG是菱形．
【答案】（答案不唯一）
【详解】当平行四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．
∵四边形ABCD是矩形，，．
∵E是AB中点，F是CD中点，，
∴四边形AECF是平行四边形，，同理，
∴四边形EHFG是平行四边形．
在与中，，
，，，
，，∴平行四边形EHFG是菱形．
三、解答题
15．完成下面各小题
(1)计算：
(2)已知，求x2y+xy2的值．
(3)如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
②当AD=BC时， EFGH是 ；
③当AD⊥BC时， EFGH是 ．
【答案】(1)(2)(3)①见解析；②菱形；③矩形
【详解】（1）解：
=4+；
（2）解：∵，
∴，
，
∴x2y+xy2
=xy（x+y）
=1×2
=2；
（3）①证明：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
②解：∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH=BC，
∵AD=BC，
∴EH=EF，
∴ EFGH是菱形，
故答案为：菱形；
③解：∵AD⊥BC，
∴∠DAB+∠CBA=90°，
∵EF∥AD，
∴∠BEF=∠DAB，
同理可得：∠AEH=∠CBA，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴ EFGH是矩形，
16．（1）计算：；
（2）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且，求证：．
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【详解】（1）解：原式＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝DC，∠B＝∠D，
∵AE＝AF，
∴BE＝DF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴EC＝FC．
17．（1）计算：．
（2）如图，在中，，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
【答案】（1）；（2）见解析
（2）根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
【详解】解：（1）原式=
=；
（2）证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，，
DF∥CE，，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴四边形DFCE是菱形.
18．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=45°．
（1）试建立适当的平面直角坐标系表示该菱形并写出其各顶点的坐标．
（2）若要计算该菱形的面积，你有什么办法？
【答案】（1）平面直角坐标系见解析，，，，；（2）．
【详解】（1）以点为坐标原点，菱形的所在的直线为轴，所在直线的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，
过点A作于点，
菱形的边长为6，，
，
，
∴，，
∵，
∴，，，．
（2）∵，，，
∴．
19．邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第二次操作，…依此类推，若第次余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图，中，若，，则为1阶准菱形：中，若，，则为3阶准菱形．
（1）判断与推理：
邻边长分别为2和3的平行四边形是______阶准菱形；
（2）操作、探究、计算：
①已知的边长分别为1，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在下方写出的值．
②已知的邻边长分别为，，满足，，请写出是______阶准菱形．
【答案】（1）2；（2）①画图见解析；，，，；②6．
【详解】（1）邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；
故答案为2．
（2）①如图
a=4×1=4；
a=2×1+1÷2=
a=1+1÷3=
；
②6阶准萎形．如图所示：
故答案为6．
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