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北师大版九年级上册数学同步练习卷
1.2 矩形的性质与判定
一、单选题
1．如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．依据图所标数据，则四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形
3．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
5．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．无法确定
6．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点的位置，若平分，则的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
7．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
8．如图，在平行四边行ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（ ）
①；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点，沿直线EF折叠使点D的对应点D′落在BC上，连接AD′，DD′，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 ．
10．广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD= .
13．在中，，，，为上一动点，连接，过作于点，连接，则的最小值是 ．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是AD的中点，点F是AB上一动点将AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处在EF上任取一点G，连接GC，，，则的周长的最小值为 ．
三、解答题
15．【课本呈现】下图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容：
思考
如图18．2-3，矩形的对角线，相交于点．我们观察，在中是斜边上的中线，与有什么关系？
根据矩形的性质，我们得到结论：．
（1）由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为：
【结论再探】
（2）数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路．以下是他不完整的证明过程，请补充完整．
已知：如图1，中，，是斜边上的中线．
求证：．
证明：延长到点，使，连接．
又为的中点，
（依据是 ）．
，
垂直平分．
．
．
【结论应用】
（3）如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，其到四边形四个顶点的距离均为，求的值．
16．如图①为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图②的几何图形，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角为.由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平桌面所形成的夹角、分别为和.
（1）若书EF与光线OB平行放置且书底端点F离光线OB端点B的距离为63cm，求书EF的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）若该书与水平桌面的夹角为，当眼睛所在位置点P在EF的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm时，称点P为“最佳视点”.请通过计算说明最佳视点P是否在灯光照射范围内？（参考数据：，，.）
17．在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如，教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
(1)①计算出______°；
②继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则______°；
(2)拓展延伸：如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接交ST于点O，连接AT．
求证：四边形是菱形；
(3)解决问题；如图④，矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______．
18．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、．
(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
19．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程．
（3）求代数式的最小值．
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北师大版九年级上册数学同步练习卷
1.2 矩形的性质与判定
一、单选题
1．如图，在矩形中， 将其折叠使落在对角线上，得到折痕那么的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在矩形中，，
∴∠B=90°，
∴，
由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF，
∴CF=53=2，
在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE=，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴．
2．依据图所标数据，则四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形
【答案】B
【详解】解： ∵线段、相等且平分，
∴四边形为矩形．
3．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】A
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=10，
∴AE=CE=10，
∵AD=2，
∴DE=8，
∵CD为AB边上的高， 在Rt△CDE中，
CD=，
4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】B
【详解】解：A、矩形、平行四边形的对边都是平行相等的，故本选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；
C. 矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；
D、矩形、平行四边形的对角线对角线不一定互相垂直．，故本选项不符合；
5．对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
6．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点的位置，若平分，则的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【详解】解：∵把一张长方形纸片ABCD沿BD折叠
∴
∵平分
∴
∴=∠ABC=30°
7．如图，四边形中，，是边的中点，如果平分，那么下列结论中不一定成立的是（ ）
A．平分 B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：延长交延长线于，
∵，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，，
，
，，
；平分；
∴，
故A，B选项正确，
取中点，连接，
，分别是，的中点，
是梯形是中位线
，
，
，
，故D选项正确，
当时，，故C选项不一定成立
8．如图，在平行四边行ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（ ）
①；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】D
【详解】①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∵ADBC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故结论①正确，
延长EF，交CD的延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴ ∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中
∴，
∴FE=FM，∠AEF=∠M，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF, ∠ECD=90°，
∴EF=CF，故②正确，
③∵EF=FM,
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC>BE，
∴S△ECM>S△BEC，
∵S△ECM =S△EFC +S△CFM ，S△EFC=S△CFM，
∴S△BEC<2S△EFC
故③错误
④设∠FEC=x,则∠FCE=x
∴∠DCF=∠DFC=90°- x
∴∠EFC=180°-2x
∴∠EFD=90°- x +180°-2 x =270°-3 x
∵∠AEF=90°- x
∴∠DFE=3∠AEF，故结论④正确
综上可知，一定成立的是①②④
二、填空题
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点，沿直线EF折叠使点D的对应点D′落在BC上，连接AD′，DD′，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 ．
【答案】或．
【详解】设DE＝x，则CE＝4﹣x，
由折叠的性质得：D'E＝DE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，∠C＝90°，
分两种情况：
①当DD'＝AD＝5时，
由勾股定理得：CD'＝＝＝3，
在Rt△CD'E再，由勾股定理得：32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即DE＝；
②当DD'＝AD'时，作D'G⊥AD于G，如图所示：
则CD'＝DG＝AG＝AD＝，
在Rt△CD'E再，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即DE＝；
综上所述，当△ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 或；
10．广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线．
【答案】
【详解】解：第一条对角线用了21盆花，还需要运来盆花，
第一条对角线用了21盆花，中间一盆为对角线交点，
故还需要盆；
如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来24盆花；
第一条对角线用了24盆花，矩形的对角线互相平分且相等，
故还需要运来24盆花．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点N的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：在中，令得，
令，则，得，
，，
，，
，
当与重合时，，如图：
此时的坐标为；
当在轴上时，如图：
设，则，，
∴由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴
∴向右平移3个单位，再向下平移个单位可得，
∴由平移性质可得，
当在轴上时，，如图：
设，则，，
∴由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴由点B向左平移3个单位，向下平移得点A，
∴由平移的性质得到
综上所述，的坐标为，
12．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD= .
【答案】4
【详解】∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，（4）2+（6-x）2=（6+x）2，
解得x=4．
13．在中，，，，为上一动点，连接，过作于点，连接，则的最小值是 ．
【答案】5
【详解】解：作于H，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为的斜边上的中线，
∴，
∵（当且仅当B、E、H共线时取等号），
即，
∴BE的最小值为5．
14．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是AD的中点，点F是AB上一动点将AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处在EF上任取一点G，连接GC，，，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接AC交EF于G，连接A′G，连接EC，由折叠的性质可知A′G＝GA，
此时△A′GC的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝6，
∴AC2，
∴△A′CG的周长的最小值+CA′，
当CA′最小时，△CGA′的周长最小，
∵AE＝DE＝EA′＝2，
∴CE2，
∵CA′≥EC﹣EA′，
∴CA′≥2-2，
∴CA′的最小值为2-2，
∴△CGA′的周长的最小值为2-2，
三、解答题
15．【课本呈现】下图是人教版八年级下册数学课本53页部分内容：
思考
如图18．2-3，矩形的对角线，相交于点．我们观察，在中是斜边上的中线，与有什么关系？
根据矩形的性质，我们得到结论：．
（1）由此我们得到直角三角形的一个性质，请用文字语言阐述为：
【结论再探】
（2）数学兴趣小组的小亮在证明该结论时，有不同的证明思路．以下是他不完整的证明过程，请补充完整．
已知：如图1，中，，是斜边上的中线．
求证：．
证明：延长到点，使，连接．
又为的中点，
（依据是 ）．
，
垂直平分．
．
．
【结论应用】
（3）如图2，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，其到四边形四个顶点的距离均为，求的值．
【答案】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）；三角形的中位线定理；（3）
【详解】（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
故答案为：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
（2）证明：延长到点，使，连接．
又为的中点，
（依据是三角形的中位线定理）．
，
垂直平分．
．
．
故答案为：；三角形的中位线定理；；
（3）连接，，，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点A、P、C三点共线，
设，则，
∴由勾股定理可得：,，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
16．如图①为放置在水平桌面上的台灯，当人在此台灯下看书时，将其侧面抽象成如图②的几何图形，灯臂AO长为50cm，与水平桌面所形成的夹角为.由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平桌面所形成的夹角、分别为和.
（1）若书EF与光线OB平行放置且书底端点F离光线OB端点B的距离为63cm，求书EF的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）若该书与水平桌面的夹角为，当眼睛所在位置点P在EF的垂直平分线上，且到EF距离约为34cm时，称点P为“最佳视点”.请通过计算说明最佳视点P是否在灯光照射范围内？（参考数据：，，.）
【答案】（1）24.4cm；（2）最佳视点P在灯光照射范围内，理由见解析.
【详解】（1）在中，
在中，
点F离光线OB端点B的距离为63cm，即
答：书EF的长度约为；
（2）如图，设D为EF的中点，于点D，过点P作于点H，延长HP交OB于点N，过点D作于点G，作于点Q，则四边形DGHQ为矩形
由（1）及题意知，
，，
又
，即
最佳视点P在灯光照射范围内.
17．在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如，教材八年级下册的数学活动——折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
(1)①计算出______°；
②继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则______°；
(2)拓展延伸：如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接交ST于点O，连接AT．
求证：四边形是菱形；
(3)解决问题；如图④，矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片，使点A落在BC边上的点处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值______．
【答案】(1)①60；②15 (2)见解析 (3)7，9
【详解】（1）解：①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，AE=BE，∠NEA=90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM=∠BNM=90°，
∴AB=BN，
∴AB=AN=BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN=60°，
∴∠ENB=30°，
∴∠MNE=60°，
故答案为：60；
②∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG=∠HBG=45°，
∴∠GBN=∠ABN-∠ABG=15°，
故答案为：15；
（2）证明：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO=A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO=∠TA'O，∠ASO=∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS），
∴SO=TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴四边形SATA'是菱形；
（3）解：∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT=A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10-AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
18．如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为BC的中点，分别连接、、．
(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)11 (2)
【详解】（1）解：∵
∴，
∵M为的中点，，
∴，，
∵，
∴的周长，
∴的周长为11；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，M为BC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
19．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝4，DE＝2，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）观察图形，请问在什么情况下，AC+CE的值最小？最小值多少？写出计算过程．
（3）求代数式的最小值．
【答案】（1）；（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小为10，过程见解析；（3）5
【详解】解：（1）∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠BDF=90°，
在Rt△ABC中，BC=8-x，AB=4，
由勾股定理得：AC=，
同理可得：CE=，
∴AC+CE＝；
（2）由两点之间线段最短可知，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，
则∠F=∠BDF=90°，又∠B=90°，
∴四边形ABDF是矩形，
∴DF＝AB＝4，AF＝BD＝8，EF＝ED+DF＝2+4＝6，
∴由勾股定理得：，
∴AC+CE的最小值为10；
（3）构造图形作BD＝4，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝2，DE＝1，
C为线段BD上一动点，设BC＝x，
当A、C、E三点共线时，AE的长即为代数式的最小值．
过A点作AF平行于BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF．
则DF＝AB＝2，AF＝BD＝4，EF＝ED+DF＝1+2＝3，
∴由勾股定理得：，
则AC+CE的最小值为5．
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