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北师大版九年级上册数学同步练习卷
1.3 正方形的性质与判定
一、单选题
1．如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，有以下四个命题：①若SQ∥EF，则SQ=EF；②若SQ=EF，则SQ∥EF；③PR⊥EF，则PR=EF；④PR=EF，则PR⊥EF．其中真命题有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
2．在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水(如图)，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应（ ）
A．等边三角形 B．四边形 C．菱形 D．以上都不是
3．如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，CE，平分，过点B作于点F，若正方形的边长为4则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
5．如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．正方形的一条对角线长为2，则正方形的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
7．如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE=CO.则BE的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上，两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为 ．
10．在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则顶点的坐标为 ．
11．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 （只需添加一个即可）
12．正方形的面积为64，以为边做等边，连接，则的面积为 ．
13．如图，在正方形中，，延长至点E，使得，，．分别连接，M为的中点，则的长为 ．
14．在综合实践课上，小明用边长为的正方形硬纸板，制作了一副七巧板，并拼成了如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
15．如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在边的延长线上，交边于点连接、．
(1)填空：用，表示的面积______（写出化简后结果）；
(2)用，表示的面积，并化简；
(3)如图，若点是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）．
16．如图,四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形,点C、D、E在一条直线上,点B、C、G在一条直线上.
(1)写出表示阴影部分面积的表达式(结果要求化简)；
(2)当求阴影面积的面积
17．在平面中，对于点，，，若，且，则称点是点、点的“垂等点”．在平面直角坐标系中，
(1)已知点，则点，，中是点与点的“垂等点”的是 ；
(2)已知点，．
①若在第二象限内存在点，使点是点和点的“等垂点”，写出点的坐标（用含的式子表示），并说明理由．
②当时，点，点为线段，上动点，（点，点不与点重合）， 若点是点，的“等垂点”，求点的纵坐标的取值范围．
18．已知一副三角板ABE与ACD．
(1)将两个三角板如图(1)放置,连结BD,计算∠1+∠2= ．
(2)将图(1)中的三角板BAE绕点A顺时针旋转一个锐角α．
①当α= 时，AB∥CD，如图(2)并计算α+∠1+∠2= ．
② 当α= 45°时,如图(3)，计算α+∠1+∠2= ．
③ 在旋转的过程中,当B点在直线CD的上方时,如图(4), α、∠1、∠2间的数量关系是否会发生变化,为什么
④当B点运动到直线CD的下方时,如图(5),α(∠CAE)、∠1、∠2间的数量关系是否会发生变化,试说明你的结论
19．（1）计算：40372﹣4×2018×2019；
（2）将边长为1的一个正方形和一个底边为1的等腰三角形如图摆放，求△ABC的面积．
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1.3 正方形的性质与判定
一、单选题
1．如图，正方形ABCD中，EF≠AB，点P、Q、R、S分别是AB，BC，CD，DA上的点，有以下四个命题：①若SQ∥EF，则SQ=EF；②若SQ=EF，则SQ∥EF；③PR⊥EF，则PR=EF；④PR=EF，则PR⊥EF．其中真命题有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【详解】解：①若SQ∥EF，则SQ＝EF，是真命题．
理由：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴SE∥QF，
∵SQ∥EF，
∴四边形EFQS是平行四边形，
∴SQ＝EF．
②若SQ＝EF，则SQ∥EF，是假命题．
理由：如图1中，S′Q′＝EF，但是四边形EFQ′S′是等腰梯形，EF与S′Q′不平行．
③若PR⊥EF，则PR＝EF，是真命题．
理由：如图2中，过点R作RM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝CD，
∵RM⊥AB，
∴∠RMB＝90°，
∴四边形BCRM是矩形，
∴RM＝BC，
同法可证EN＝CD，
∴RM＝EN，
∵EF⊥PR，∠B＝90°，
∴∠RPM＋∠EFB＝180°，
∵∠EFB＋∠EFN＝180°，
∴∠RPM＝∠EFN，
在△RMP和△ENF中，
，
∴△RMP≌△ENF（AAS），
∴RP＝EF．
④若PR＝EF，则PR⊥EF，是假命题．
理由：如图2中，R′P′＝EF，显然R′P′与EF不垂直．
2．在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水(如图)，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应（ ）
A．等边三角形 B．四边形 C．菱形 D．以上都不是
【答案】C
【详解】被墨迹遮盖了的文字应是菱形．
3．如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，CE，平分，过点B作于点F，若正方形的边长为4则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：延长交于G，过B作于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
4．如图，在正方形ABCD外侧作等边，则的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．20° D．10°
【答案】A
【详解】解：∵正方形ABCD外侧作等边，
∴，
，，
，
5．如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：当绕点A旋转到正方形的内部时，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
当绕点A旋转到正方形的外部时，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
，
综上，的度数为或，
6．正方形的一条对角线长为2，则正方形的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【详解】根据正方形的性质，连接对角线后的三角形为直角三角形，利用勾股定理，确定正方形边长，然后求周长即可．
【解答】解：因为正方形的一条对角线长为2，
设正方形的边长为，
根据勾股定理，得，
解得，
所以正方形的边长为，
则正方形的周长为．
7．如图，菱形的对角线、相交于点，那么下列条件中，能判断菱形是正方形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，，
，
，
四边形是菱形，
，故不能判断菱形是正方形；故A不符合题意；
B、四边形是菱形，
，，
故不能判断菱形是正方形；故B不符合题意；
C、四边形是菱形，
，，
，
故不能判断菱形是正方形；故C不符合题意；
D、四边形是菱形，
平行于，
，
，
，
菱形是正方形，故D符合题意．
8．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE=CO.则BE的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵正方形ABCD的边长为，
∴OB=OC=BC=×=1，OB⊥OC，
∵CE=OC，
∴OE=2，
在Rt△OBE中，BE=．
二、填空题
9．如图①，将三个边长为1的正方形并排放在直线l上，两侧正方形不动，把中间的正方形抽出并重新摆放，形成一个轴对称图形，如图②，则中间正方形的中心O到直线l的距离为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，过点O作于E，交于D，
∵图②是一个轴对称图形，
∴一定共线，且，
在中， ，
∴，
由正方形的性质可得，
∴，
又∵（平行线间间距相等），
∴，
∴中间正方形的中心O到直线l的距离为，
10．在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则顶点的坐标为 ．
【答案】（，1）或（，-1）
【详解】解：如图，过A作AD⊥x轴于D，过C作CE⊥x轴于E，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∵∠OAD+∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠COE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（，1），
同理可得：点C1的坐标为（，-1），
11．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是 （只需添加一个即可）
【答案】∠ABC=90°或AC=BD．
【详解】试题分析：此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．
解：条件为∠ABC=90°，
理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
12．正方形的面积为64，以为边做等边，连接，则的面积为 ．
【答案】或
【详解】解：∵正方形的面积为64，
∴正方形的边长为8，
如图所示，当在正方形内部时，
过点E作于F，过点E作分别交于M、N，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形都是平行四边形，
∴四边形都是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
同理可得，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当在正方形外部时，过点E作分别交于G、F，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
同理可证四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴；
13．如图，在正方形中，，延长至点E，使得，，．分别连接，M为的中点，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵M为的中点，
∴．
14．在综合实践课上，小明用边长为的正方形硬纸板，制作了一副七巧板，并拼成了如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为 ．
【答案】28
【分析】根据阴影部分面积=正方形面积-三个等腰直角三角形面积之和，①的面积为②的，求解即可．
【详解】如图，阴影部分面积=正方形面积-三个等腰直角三角形面积之和，
在正方形中，S②= S③，S①=S②，S②=S正方形，则S①+S②+S③=S正方形=，
则S阴影=，
三、解答题
15．如图，已知正方形的边长为，正方形的边长为，点在边上，点在边的延长线上，交边于点连接、．
(1)填空：用，表示的面积______（写出化简后结果）；
(2)用，表示的面积，并化简；
(3)如图，若点是线段的中点，连接、、，试比较的面积和的面积的大小（写出过程）．
【答案】(1) (2)， (3)
【详解】解：，
延长交延长线于，如图所示：
则四边形、四边形都为长方形，
正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
；
延长交延长线于，如图所示：
则四边形、四边形、四边形都为长方形，
正方形的边长为，正方形的边长为，
，，
，，
点是线段的中点，
，
四边形是正方形，
四边形是直角梯形，
；
，，
，
，
，
，
．
16．如图,四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形,点C、D、E在一条直线上,点B、C、G在一条直线上.
(1)写出表示阴影部分面积的表达式(结果要求化简)；
(2)当求阴影面积的面积
【答案】（1）a2 3a+18; （2）14．
【详解】（1）∵S□ABCD+S□ECGF=a2+62，S△ABD=×a2，S△BGF=×（a+6）×6=3（a+6）
∴S阴影= S□ABCD+S□ECGF S△ABD S△BGF=a2+36 3（a+6）=a2 3a+18;
（2）当a=4时，S阴影=a2 3a+18=×42 3×4+18=14.
17．在平面中，对于点，，，若，且，则称点是点、点的“垂等点”．在平面直角坐标系中，
(1)已知点，则点，，中是点与点的“垂等点”的是 ；
(2)已知点，．
①若在第二象限内存在点，使点是点和点的“等垂点”，写出点的坐标（用含的式子表示），并说明理由．
②当时，点，点为线段，上动点，（点，点不与点重合）， 若点是点，的“等垂点”，求点的纵坐标的取值范围．
【答案】(1)， (2)①点的坐标是；②的取值范围是
【详解】（1）解：如下图，
∵，，
∴，且，
即。
∴点是点和点的“垂等点”，
同理，点是点和点的“垂等点”．
故答案为：，；
（2）①点的坐标是，理由如下：
如下图，过点作轴于点，
∵在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点”，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点，（），
∴，，
∴，
∴点的坐标是；
②当点在第二象限时，如图1，图2，
设，，，过点作轴，轴于点、，
∵点是点和点的“垂等点”，
∴，，
∵轴，轴，轴轴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，此时，
∴，
∴点在第二象限的角平分线上，即点在直线上，
∴，
如图3，当点在第三象限时，
设，，，过点作轴，轴于点、，同理可证为正方形，点在第三象限的角平分线上，即点在直线上，
∴，
∴，此时，
∴，
∴；
如图4，当点在第一象限时，
设，，，过点作轴，轴于点、，
同理可证四边形是正方形，点在第一象限的角平分线上，即点在直线上，
∴，
∴，此时，
∴，
∴．
18．已知一副三角板ABE与ACD．
(1)将两个三角板如图(1)放置,连结BD,计算∠1+∠2= ．
(2)将图(1)中的三角板BAE绕点A顺时针旋转一个锐角α．
①当α= 时，AB∥CD，如图(2)并计算α+∠1+∠2= ．
② 当α= 45°时,如图(3)，计算α+∠1+∠2= ．
③ 在旋转的过程中,当B点在直线CD的上方时,如图(4), α、∠1、∠2间的数量关系是否会发生变化,为什么
④当B点运动到直线CD的下方时,如图(5),α(∠CAE)、∠1、∠2间的数量关系是否会发生变化,试说明你的结论
【答案】 (1)105°；(2)见解析.
【详解】(1)直角三角板一般有两种 ，一种是30°，60°，90° ，另一种是45°，45°，90°.
∴∠BCD=45°+30°=75°
∴∠1+∠2=180°－75°=105°
(2)①连接CE，
若AB∥DC，则∠1+∠2=∠ABE=90°，∴∠BOD=90°
∴∠OCE+∠CEO=180°－∠COE=90°
∴∠ACE+∠AEC=30°+45°+90°=165°
在三角形ACE中，α=180°－165°=15°, α+∠1+∠2=105°
②连接CE
∠EAD+∠ADC=45°+60°=105°, ∴∠DCE+∠AEC=105°
∴∠DCE+∠CEB=105°－45°=60°
∴∠CFE=180°－60°=120°
∴ α+∠1+∠2=180°－120°+45°=105°
③设AC与BE交于点N,BE与CD交于点F
（∠1+∠2）+（∠α+∠C）+∠E=180°，
∠1+∠2+∠α+30°+45°=180°，
∴α+∠1+∠2=105°；
④变化,同上,设AB与DC相交于点F
∠1+（∠α+∠C－∠2）+∠E=180°，
∠1+∠α+30°-∠2+45°=180°，
∴∠α+∠1－∠2=105°．
19．（1）计算：40372﹣4×2018×2019；
（2）将边长为1的一个正方形和一个底边为1的等腰三角形如图摆放，求△ABC的面积．
【答案】（1）1；（2）．
【详解】（1）40372﹣4×2018×2019
＝（2019+2018）2﹣4×2018×2019
=20192+2×2019×2018+20182-4×2018×2019
=20192-2×2019×2018+20182
＝（2019﹣2018）2
＝12
＝1．
（2）如图，过点C作CD⊥BF于D，CE⊥AB，交AB延长线于E，
∵△BCF是等腰三角形，
∴DB＝BF，
∵四边形ABFG是正方形，
∴∠FBE=90°，
∴四边形BECD是矩形，
∵BF=1，
∴CE=BD=BF，
∴△ABC的面积＝AB CE＝×1×＝．
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