22.1.4 二次函数y=ax?＋bx＋c的图象和性质 人教版九年级上册数学同步练习卷（原卷版+解析版）

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人教版九年级上册数学同步练习卷
22.1.4 二次函数y=ax ＋bx＋c的图象和性质
一、单选题
1．对于二次函数，“当时，随的增大而增大”是一个必然会发生的事件，则满足条件的的范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数的对称轴为：直线
∴当时，随的增大而增大
∵“当时，随的增大而增大”是一个必然会发生的事件
∴即
∵包含在内
2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值．
【详解】∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设，当取得最大值时，S也取得最大值
∵
∴当a=3时，取得最大值4
∴S的最大值为
3．已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．当时，函数有最大值，最大值是
C．当时，随的增大而减小
D．对称轴是直线
【答案】D
【详解】解：A.把代入得：，
∴函数图象经过点，不经过点，故A错误；
B. ，
∴当时，函数有最大值，最大值是，故B错误；
C.∵，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故C错误；
D.抛物线的对称轴为直线，故D正确．
4．抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（　　）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，
∴.
∵开口方向相反，
∴两个函数的二次项系数互为相反数，即.
5．如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：
①； ②； ③； ④．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向下，则a＜0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，则c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与ｘ轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，则，即2a=-b，
∴2a+b=0，故③错误；
∵抛物线经过点（3,0），且对称轴为直线，
∴抛物线经过点（-1,0），则，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个，
6．如图，抛物线与x轴交于，B两点，下列判断正确的是（ ）

A． B．当时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为 D．
【答案】C
【详解】解：A、抛物线开口向下，，选项错误，不符合题意；
B、，对称轴为，当时，y随x的增大而减小，选项错误，不符合题意；
C、∵抛物线与x轴交于，对称轴为，
∴点B的坐标为，选项正确，符合题意；
D、∵抛物线与x轴交于，
∴，
∴，
∴，故选项D错误，不符合题意；
7．已知抛物线（是常数，）经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵抛物线过点和点，
∴，，
即，
∵顶点在第三象限，经过点和点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∵，
∴
∴，
∴．
8．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x= -1 C．直线x=2 D．直线x= -2
【答案】A
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），
∴这条抛物线的对称轴是：x=，即x=1；
9．已知两点A(x1，y1)、B(x2，y2)均在抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+c上（a≠0），若|x1+2|≤|x2+2|，并且当x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1≥y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2
【答案】A
【详解】∵抛物线解析式为y＝﹣ax2﹣4ax+c，
∴对称轴为直线x==-2，
∵x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，
∴，
解得：，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近纵坐标越大，
∵|x1+2|≤|x2+2|，点A(x1，y1)、B(x2，y2)均在抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+c上，
∴点A离对称轴的距离不比点B离对称轴远，
∴y1≥y2，
10．二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为(　　)
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x= D．x=
【答案】D
【详解】y＝3x2+2x
x=-=-=
11．已知二次函数（为常数，且），下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则时，随的增大而增大
B．若，则时，随的增大而减小
C．若，则时，随的增大而增大
D．若，则时，随的增大而减小
【答案】C
【详解】解：二次函数与x轴的交点坐标为（1，0），（a，0），
当1＞a＞0时，抛物线开口向上，点（a，0）在点（1，0）的左侧，所以x＜a时，y随x增大而减小，故A错误；
当a＞0且a＞1时，抛物线开口向上，点（a，0）在点（1，0）的右侧，对称轴为x=，所以当时，y随x增大而增大，故B错误；
当a＜0时，抛物线开口向下，点（a，0）在点（1，0）的左侧，对称轴为x=，因为，所以当时，y随x增大而增大，故C正确，D错误；
12．下列抛物线中，其顶点在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1
【答案】A
【详解】解：∵y＝，
∴k＝xy＝12，
A、y＝（x﹣4）2+3的顶点为（4，3），4×3＝12，故y＝（x﹣4）2+3的顶点在反比例函数y＝的图象上，
B、y＝（x﹣4）2﹣3的顶点为（4，﹣3），4×（﹣3）＝﹣12≠12，故y＝（x﹣4）2﹣3的顶点不在反比例函数y＝的图象上，
C、y＝（x+2）2+1的顶点为（﹣2，1），﹣2×1＝﹣2≠12，故y＝（x+2）2+1的顶点不在反比例函数y＝的图象上，
D、y＝（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1），﹣2×（﹣1）＝2≠12，故y＝（x+2）2﹣1的顶点不在反比例函数y＝的图象上，
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点F作x轴的平行直线，交抛物线于点E，交y轴于点C，将直线EF向下平移，分别交抛物线于A，B两点，当是等边三角形时，线段的长是 ．
【答案】
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴，得：，
即：该二次函数的表达式为：，
∴该函数的对称轴为轴，
∴点与点关于轴对称，
取与轴交点为，
设，则，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，且点与点关于轴对称，
∴，，
则，
∴，
解得：（舍去），
∴．
14．二次函数的图象的开口方向是向 ．
【答案】上
【详解】解：∵二次函数，a＝＞0，
∴该函数图象的开口方向向上，
15．如图，抛物线，直线与抛物线、轴分别相交于点、．
（1）当时，点的坐标为 ；
（2）当时，在拋物线与轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，此时“可点”的个数为 ．
【答案】 8个
（2）将代入抛物线解析式求抛物线与x轴的交点，再根据“可点”的定义判断“可点”的个数即可；
【详解】（1）解：当时，抛物线，直线
将代入中，
解得：
∴
故答案为：
（2）当时，抛物线，
将代入中，
解得：
∴在抛物线上“可点”有5个：、、、、
在拋物线与轴所围成的封闭图形的边界x轴上也有5个“可点”：、、、、，
16．如图，直角坐标系中，点A(1，4)，点B(1，0)，点C(0，3)，点M(m，0)是x轴上y一动点，点N是线段AB上一个动点，若，则m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：如图，
∵点A(1，4)，点B(1，0)，
∴AB⊥x轴，
∵点N是线段AB上一个动点，
∴可设点N（1，n），其中，
∵点C(0，3)，点M(m，0)，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
设，则，
∴当时，y有最小值，此时，
∵，
∴当时，y随n的增大而增大，当时，y随n的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
17．抛物线的对称轴是
【答案】直线x=2
【详解】∵y=-x2+x-4，
∴对称轴为x=-，
18．已知抛物线C1：y＝a（x﹣3）2，点在该抛物线上．
（1）a的值为 ．
（2）将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，若点M（m，y1），N（2，y2）都在抛物线C2上，且y1＞y2，则m的取值范围是 ．
【答案】 m＜0或m＞2
【详解】解：（1）将点代入该抛抛物线解析式C1：y＝a（x﹣3）2，
∴a（1﹣3）2，
解得a．
（2）将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2：y（x﹣3+2）2（x﹣1）2，
∴抛物线C2的对称轴为直线x＝1，
若点M（m，y1），N（2，y2）都在抛物线C2上，且y1＞y2，
则|m﹣1|＞|2﹣1|，解得m＜0或m＞2．
19．若二次函数y＝（a+1）过点（3，18），则a＝ ．
【答案】1
【详解】解：将点（3，18）代入二次函数y＝（a＋1）得：18＝（a＋1）×，
∴a＋1＝2，
∴a＝1．
20．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的是 （只填序号）.
【答案】①③④
【详解】①因为二次函数图象与x轴有两个交点，所以b2 4ac>0，4ac b2<0正确，
②因为二次函数对称轴为x= 1，由图可得左交点的横坐标一定小于 2，所以4a 2b+c>0，故此项不正确，
③因为二次函数对称轴为x= 1，即 = 1，2a b=0，代入b2 4ac得出a+c<0，
由x=1时，a+b+c<0，得出2a+2b+2c<0，即2b+2c<0，
又b<0，3b+2c<0所以正确．
④∵抛物线的对称轴是直线x= 1，
∴y=a b+c的值最大，
即把x=m(m≠-1)代入得：y=am2+bm+c∴am2+bm正确的结论个数为3．
三、解答题
21．抛物线分别交x轴于点A（－1,0），C（3，0），交y轴于点B，抛物线的对称轴与x轴相交于点D. 点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PE⊥AB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）计算的值；
（3）请直接写出的最小值为 .
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】试题分析：（1）把点代入求解即可.
根据勾股定理求出AB=2 ，即可求出
当点在同一条直线上时，取得最小值.
试题解析：（1）∵抛物线经过点
∴，
解得，，
∴,
（2）∵
∴
∴AB=2 ，
∴
∴∠ABO=30°,
又∵PE⊥AB,
（3）知，
当点在同一条直线上时，取得最小值.
的最小值为：.
22．用配方法和公式法分别求出顶点坐标．
【答案】顶点坐标为，见解析
【详解】解：
∴顶点坐标为；
∵
∴，顶点坐标为
∴，
∴顶点坐标为；
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线过定点．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）抛物线的对称轴为直线
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）将定点代入抛物线解析式中，
得，
∴，即．
，，
，
．
24．如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)时的周长最小；
(3)当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
【详解】（1）∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ，
将，，代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，交抛物线对称轴点，如图所示，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小；
（3）∵，，
∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，
过点作轴，交直线于点，如图所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
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22.1.4 二次函数y=ax ＋bx＋c的图象和性质
一、单选题
1．对于二次函数，“当时，随的增大而增大”是一个必然会发生的事件，则满足条件的的范围可以是（ ）
A． B． C． D．
2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
3．已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点
B．当时，函数有最大值，最大值是
C．当时，随的增大而减小
D．对称轴是直线
4．抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（　　）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
5．如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：
①； ②； ③； ④．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，抛物线与x轴交于，B两点，下列判断正确的是（ ）

A． B．当时，y随x的增大而减小
C．点B的坐标为 D．
7．已知抛物线（是常数，）经过点和点，若该抛物线的顶点在第三象限，记，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x= -1 C．直线x=2 D．直线x= -2
9．已知两点A(x1，y1)、B(x2，y2)均在抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+c上（a≠0），若|x1+2|≤|x2+2|，并且当x取﹣1时对应的函数值大于x取0时对应的函数值，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1≥y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1＜y2
10．二次函数y＝3x2+2x的图象的对称轴为(　　)
A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x= D．x=
11．已知二次函数（为常数，且），下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则时，随的增大而增大
B．若，则时，随的增大而减小
C．若，则时，随的增大而增大
D．若，则时，随的增大而减小
12．下列抛物线中，其顶点在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．y＝（x﹣4）2+3 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣1
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点F作x轴的平行直线，交抛物线于点E，交y轴于点C，将直线EF向下平移，分别交抛物线于A，B两点，当是等边三角形时，线段的长是 ．
14．二次函数的图象的开口方向是向 ．
15．如图，抛物线，直线与抛物线、轴分别相交于点、．
（1）当时，点的坐标为 ；
（2）当时，在拋物线与轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，此时“可点”的个数为 ．
16．如图，直角坐标系中，点A(1，4)，点B(1，0)，点C(0，3)，点M(m，0)是x轴上y一动点，点N是线段AB上一个动点，若，则m的取值范围是 ．
17．抛物线的对称轴是
18．已知抛物线C1：y＝a（x﹣3）2，点在该抛物线上．
（1）a的值为 ．
（2）将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2，若点M（m，y1），N（2，y2）都在抛物线C2上，且y1＞y2，则m的取值范围是 ．
19．若二次函数y＝（a+1）过点（3，18），则a＝ ．
20．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的是 （只填序号）.
三、解答题
21．抛物线分别交x轴于点A（－1,0），C（3，0），交y轴于点B，抛物线的对称轴与x轴相交于点D. 点P为线段OB上的点，点E为线段AB上的点，且PE⊥AB．
（1）求抛物线的表达式；
（2）计算的值；
（3）请直接写出的最小值为 .
22．用配方法和公式法分别求出顶点坐标．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线过定点．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
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