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人教版九年级上册数学同步练习卷
22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；⑤，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
【答案】B
【详解】解：①由图象可得，
∵
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线
∴即，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
故③正确；
④∵图象过点对称轴为直线，
∴抛物线与x轴另一个交点为，
由图可知：时，x的取值范围是，
故④正确；
⑤∵当时，，
∴，即
故⑤错误；
∴正确的有①③④，
2．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【详解】试题分析：由图可得抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），即得结果.
由图可得抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）
则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）
所以，的取值范围是
3．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．图象的对称轴为直线 D．图象与轴没有交点
【答案】C
【详解】解：∵二次函数，
∴，函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
顶点坐标是，故选项B不符合题意；
对称轴是直线，故选项C符合题意；
当时，则，
∴，
∴方程有解，
∴图象与轴有交点，故选项D不符合题意；
4．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：令x=0，得：y=1，则抛物线y=x2﹣3x+1与y轴的交点坐标是（0，1）．
5．抛物线y=x2﹣2x﹣1，则图象与x轴交点是（ ）
A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．不能确定
【答案】A
【详解】∵b 4ac=( 2) +4×1×1=8>0，
∴抛物线y=x -2x-1与x轴交点的个数为：2．
6．已知二次函数y=mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B． C．m且m≠0 D．m且m≠0
【答案】C
【详解】解：根据题意得，
解不等式①得，m≠0，
解不等式②得，m，
不等式组的解集为：m且m≠0，
7．二次函数的图象如图所示，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵抛物线y=x2-2x-3与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∴方程x2-2x-3=0的两个根为x1=-1，x2=3．
8．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的一元二次方程的两根为，则
D．点，在抛物线上，当时
【答案】C
【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意；
B．抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为，当时，，故选项错误，不符合题意；
C．抛物线的对称轴为直线，若点A的坐标为，可得点，即关于x的一元二次方程的两根，，故选项正确；
D．∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意；
9．关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上；
B．抛物线的对称轴是直线；
C．当时，y随x的增大而减小；
D．抛物线与y轴的交点坐标为．
【答案】D
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的开口向下，抛物线的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，故选项A、B、C不符合题意；
∵当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项D符合题意．
10．若二次函数的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程——有一个解，则另一个解（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由所给图象可知，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点为，
由二次函数的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：，
因此关于x的一元二次方程——除外的另一个解为．
11．如图，二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，经过点．以下结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若，抛物线上两点，则．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤
【答案】B
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线
∴①正确，
由图像可得抛物线与x轴有两个交点，
∴，②不正确．
∵抛物线开口向下，
∴，
∵
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，③正确．
∵抛物线经过，抛物线对称轴为直线，
∴抛物线经过，
∴，④不正确．
由图像可得为抛物线顶点，
∴为函数最大值，
∴，⑤正确．
12．如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：
①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②⑤
【答案】B
【详解】解：观察图象得：抛物线的对称轴为，
∴，即，故①正确；
∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a>0，c>0，
∴，
∴，故②错误；
∵当x=0时，y=2，抛物线的对称轴为，
当x=3时，y=2，
∵抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x=5时，，故③正确；
∴当x=-1时，，
∴，故⑤错误；
∵抛物线与x轴没有交点，
∴，故④错误；
∴正确的有①③．
二、填空题
13．以x为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：二次函数的图象不经过第三象限，且，
抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，
①当抛物线在x轴的上方时，此时抛物线与轴无交点或只有一个交点，
，
解得：；
②当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限，此时抛物线与轴有两个交点，且对称轴在轴正半轴，与轴交于正半轴，
，，，
解不等式得：；
解不等式得：；
解不等式得：或，
此时无解，
这种情况存在，
综上可知，实数b的取值范围是，
14．如图，抛物线的顶点和抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是直线，有下列四个结论：①；②已知抛物线与轴一个交点的横坐标的取值范围是，则抛物线与轴另一个交点的横坐标的取值范围是；③；④当时，．其中正确的结论是 ．
【答案】②③④
【详解】解：抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
，，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，即，故②正确，符合题意；
在中，当时，，
一次函数与轴的交点为，
将代入得：，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
在中，当时，，
抛物线的顶点为，
将代入一次函数得：，
，故③正确，符合题意；
由图象可得：当时，，即，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有③④，
15．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：根据题意得且，
所以且．
故答案为且．
16．如图，二次函数y=x（x-2）（0≤x≤2）的图象，记为C1，它与x轴交于O、A1两点；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C2016．若P(4031，m)在第2016段图象C2016上，则m= ．
【答案】1．
【详解】试题分析：求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线C14平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C14的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
试题解析：令y=0，则x（x-2）=0，
解得x1=0，x2=2，
∴A1（2，0），
由图可知，抛物线C2016在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移4×1006=4024个单位得到C2015，再将C2015绕点A2015旋转180°得C2016，
∴抛物线C2016的解析式为y=-（x-4030）（x-4032）=-（x-4030）（x-4032），
∵P（4031，m）在第2016段图象C2016上，
∴m=-（4031-4030）（4031-4032）=1．
考点：二次函数图象与几何变换．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x ＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是 ．
【答案】②③⑤
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∴c＝3，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，
∴②正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过点（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x ＝3，③正确．
由图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴④错误．
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向下，
∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
∴⑤正确．
18．定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ．
【答案】 6
【详解】解：由“优点”定义可知，，
解得或6．
由题意可知，．
∴．
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴直线上的点都是“优点”．
对于直线，当时，；当时，．
设，．
由题意可知，抛物线上至少存在一个“优点”，即转化为抛物线与直线至少有一个交点．
如图1，当抛物线与有且只有一个交点时，联立，
整理，得．
∴．
解得，
此时取得最小值．
如图2，当抛物线过点A时，．
解得，
此时取得最大值．
∴的取值范围为．
故答案为6，．
．
19．如图，抛物线和都经过轴上的、两点，两条抛物线的顶点分别为、．当四边形的面积为时，的值为 ．
【答案】/0.1875
【详解】解：∵抛物线和都经过轴上的、两点，
∴点、两点的坐标分别是：，，，
∵抛物线和的顶点分别为、，
∴点、的坐标分别是：，，
∴，，
∵，
∵四边形的面积为，
∴，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴的值为．
20．若二次函数的图象与轴有两个不相同的交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有两个不相同的交点，
∴b2-4ac＞0，22-4×a×1＞0，
解得，a＜1
三、解答题
21．如图，抛物线与双曲线相交于点A、B．已知点B的坐标为，点A在第一象限内，且点A的横坐标为1． 过点A作直线轴，交抛物线于另一点C．
(1)求双曲线和抛物线的解析式；
(2)计算的面积；
(3)在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积，若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
【答案】(1)双曲线的解析式为；抛物线的解析式为
(2)
(3)存在，符合条件的点D的坐标为或或.
【详解】（1）把点代入，
得，
解得，
即双曲线的解析式为：，
当时，，
，
把A、B点的坐标代入，
得，
解得，
即抛物线的解析式为：；
（2）轴，
点C的纵坐标，
代入，得，
解得，（舍去），
点的坐标为，
，
；
（3）存在，符合条件的点D的坐标为或或．
理由如下：
设点D纵坐标为n，
的面积等于的面积，
，
解得或，
当时，，解得，，
点D坐标为或，
当时，，解得，，
点D坐标为，
符合条件的点D的坐标为或或．
22．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点A的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当轴时，求点的坐标；
(3)以为对角线作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大时，若此抛物线在矩形内（包括抛物线与矩形各边的交点）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求的值；
(4)过点作轴于点，连接、，若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段上有一点使．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)或
(4)或或
【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）经过点，
∴，
∴，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）∵点A的坐标为，点在抛物线上，且轴，
∴点在x轴上，
∵点在该抛物线上，横坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：点A和B关于直线对称，
当时，，，
当时，如下图所示，
可得，
解得，
当时，如下图所示，
可得，
解得，
当时，如下图所示，不符合题意，
∴或；
（4）解：当时，且，如下图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，如下图，
得，
设，
得，，
∴，
解得（舍去），
当时，如下图所示，
设，
∵B，E关于对称，
得，
∴，
∵，
∴底边边上的高为
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或或．
23．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，．
(1)化简： ．
(2)则此二次函数图象的对称轴为直线
(3)求函数值为时的自变量的值．
【答案】(1) (2) (3)或
【详解】（1）
；
故答案为：；
（2）∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，
∴，，
∴，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
故答案为：．
（3）∵，，，
∴二次函数为：，
由得：，
解得：或，
∴函数值为时的自变量的值为：或．
24．求二次函数与轴、轴的交点坐标.
【答案】、、
【详解】∵，
令，得，
解得，
∴二次函数与轴交点坐标为、；
令，得，
∴二次函数与轴交点坐标为.
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22.2 二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；⑤，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
2．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．图象的对称轴为直线 D．图象与轴没有交点
4．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y=x2﹣2x﹣1，则图象与x轴交点是（ ）
A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．不能确定
6．已知二次函数y=mx2+（2m+1）x+m﹣1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B． C．m且m≠0 D．m且m≠0
7．二次函数的图象如图所示，则方程的根是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若关于x的一元二次方程的两根为，则
D．点，在抛物线上，当时
9．关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向上；
B．抛物线的对称轴是直线；
C．当时，y随x的增大而减小；
D．抛物线与y轴的交点坐标为．
10．若二次函数的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程——有一个解，则另一个解（ ）
A． B． C． D．
11．如图，二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，经过点．以下结论：
①；
②；
③；
④；
⑤若，抛物线上两点，则．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．①④⑤
12．如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：
①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②⑤
二、填空题
13．以x为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是 ．
14．如图，抛物线的顶点和抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是直线，有下列四个结论：①；②已知抛物线与轴一个交点的横坐标的取值范围是，则抛物线与轴另一个交点的横坐标的取值范围是；③；④当时，．其中正确的结论是 ．
15．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
16．如图，二次函数y=x（x-2）（0≤x≤2）的图象，记为C1，它与x轴交于O、A1两点；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C2016．若P(4031，m)在第2016段图象C2016上，则m= ．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x ＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，其中正确的序号是 ．
18．定义：若x，y满足，（k为常数），且，则称点为“优点”．若是“优点”，则 ；若抛物线上至少存在一个“优点”，则的取值范围为 ．
19．如图，抛物线和都经过轴上的、两点，两条抛物线的顶点分别为、．当四边形的面积为时，的值为 ．
20．若二次函数的图象与轴有两个不相同的交点，则的取值范围是 ．
三、解答题
21．如图，抛物线与双曲线相交于点A、B．已知点B的坐标为，点A在第一象限内，且点A的横坐标为1． 过点A作直线轴，交抛物线于另一点C．
(1)求双曲线和抛物线的解析式；
(2)计算的面积；
(3)在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积，若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
22．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点A的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当轴时，求点的坐标；
(3)以为对角线作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随着的增大而增大时，若此抛物线在矩形内（包括抛物线与矩形各边的交点）的最高点与最低点的纵坐标的差为3时，求的值；
(4)过点作轴于点，连接、，若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段上有一点使．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的时，直接写出所有满足条件的的值．
23．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，．
(1)化简： ．
(2)则此二次函数图象的对称轴为直线
(3)求函数值为时的自变量的值．
24．求二次函数与轴、轴的交点坐标.
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