4.3.2等比数列的前n项和公式(1) 教学设计（表格式）高中数学2019人教A版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.3.2等比数列的前n项和公式(1) 教学设计（表格式）高中数学2019人教A版选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 503.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-14 08:41:20 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 4.3.2等比数列的前n项和公式(1)
教科书 书 名：高中数学2019人教A版选择性必修第二册 出版社：人民教育出版社
教材分析
本节课选自《高中数学2019人教A版选择性必修第二册》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的前n项和公式。 数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。 等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，对学生进一步学习数列知识和解决一类求和问题有很重要的作用。学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
教学目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2.会用错位相减法求数列的和． 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
学科素养
1.数学抽象：等比数列的前n项和公式 2.逻辑推理：等比数列的前n项和公式的推导 3.数学运算：等比数列的前n项和公式的运用 4.数学建模：等比数列的前n项和公式
教学内容
教学重点： 1.等比数列的前n项和的运用
教学难点： 1.等比数列的前n项和公式的推导（错位相减法）
教学过程
一、复习巩固 等比数列的定义和通项公式是什么？ （1）定义： （2）等比数列的通项公式：(,） 二、新知探究 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 【教学设计意图】以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望。 【核心素养目标】发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 问题1：国王一共应该给他多少颗麦粒？能否用式子列出来。 学生答： 问题2：如何计算=？ 我们一起来分析下，如果把各格所放麦粒看成一个数列，得到了等比数列，它的首项是1，公比是2，共64项，相当于求这个等比数列的前64项的和. 教师铺设问题，学生完成探究. 问题3：如何求一个等比数列的前n项和呢？ 追问1:回顾下等差数列的前n项和公式，能否类比等差数列的前n项和公式的求法推导出等比数列的前n项和？ 回顾：等差数列的前 项和公式的推导过程. 等差数列 , , 的前 项和是 根据等差数列的定义= ① ② ①+ ②得，)，所以，用倒序相加的方法进行求和 追问2：在等比数列中能否也用倒序相加法求和？ 但在等比数列中，所以). 对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的. 追问3：求和的根本目的是什么？ 回顾：等差数列的前 项和公式的推导过程得知实际是利用等差数列的定义= 中公差，消除项与项之间的差异，从而消除中间项。 对于等比数列，为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. 即 ① 追问4：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 追问5：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？ ① ② 发现②式与①式有很多中间项是相同的，可以作差进行化简. 我们一起来具体推导一下： 设等比数列 的首项为，公比为 ，则 的前项和是 根据等比数列的通项公式， ① ② ① ②得, = 即(1 =( 1) 追问6：要求出，是否可以把上式两边同时除以(1 ？ 当1 时，即 时， = = ； 当1 时，即 时，=. 上述求和方法为错位相减法. 追问7：公式推导时除了两边同乘以q外，还可以乘以什么？ 还可以两边同时乘以等都可以构造相同项，但尽可能相同项数越多越易消项. 追问8：还有别的方法推导公式吗？ ，化简得， 即(1 =，当 时，得 = . 三、公式形成 所以等比数列的前n项和公式为： 注意：等比数列求和时，考虑q=1和q≠1两种情况. 我们把这种数列求和公式的推导叫做“错位相减法”. 【教学设计意图】通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。 【核心素养目标】发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。增强应用意识。 问题2的解决： 式子相当于求首项是1，公比是2的等比数列的前64项的和. ∵ ∴= = 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此国王根本不可能实现他的诺言. 四、学以致用 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 解：（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即. 又由，得 .所以 . （3）把，，代入， 整理，得 ，解得. 追问：在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知几个量就可以确定其他量？ “知三求二”，这就是方程思想在数列中的应用. 【教学设计意图】通过典型例题，加深对等比数列求和公式的理解和运用，体会等差与等比数列的内在联系。 【核心素养目标】发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 五、课堂小结 （1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1； （2）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法； （3）数学思想方法的应用: ①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现； ②分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想. 【教学设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 六、课后作业 已知数列是等比数列. （1）若求； （2）若求； （3）若求q与； （4）若求； 2.设等比数列的前n项和为，已知求.
教学反思
通过创设教学情境，激活了学生思维。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的，有趣的和富有挑战性的。并且以问题为导向设计教学情境。本节数学课主要以问题为导向，环环相扣，进展学生的数学观看能力和语言表达能力，培育学生思维的发散性和严谨性。 由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
课程基本信息
学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季
课题 4.3.2等比数列的前n项和公式(1)
教科书 书 名：高中数学2019人教A版选择性必修第二册 出版社：人民教育出版社
教材分析
本节课选自《高中数学2019人教A版选择性必修第二册》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的前n项和公式。 数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。 等比数列的前n项和是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，对学生进一步学习数列知识和解决一类求和问题有很重要的作用。学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
教学目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2.会用错位相减法求数列的和． 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
学科素养
1.数学抽象：等比数列的前n项和公式 2.逻辑推理：等比数列的前n项和公式的推导 3.数学运算：等比数列的前n项和公式的运用 4.数学建模：等比数列的前n项和公式
教学内容
教学重点： 1.等比数列的前n项和的运用
教学难点： 1.等比数列的前n项和公式的推导（错位相减法）
教学过程
一、复习巩固 等比数列的定义和通项公式是什么？ （1）定义： （2）等比数列的通项公式：(,） 二、新知探究 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 【教学设计意图】以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望。 【核心素养目标】发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 问题1：国王一共应该给他多少颗麦粒？能否用式子列出来。 学生答： 问题2：如何计算=？ 我们一起来分析下，如果把各格所放麦粒看成一个数列，得到了等比数列，它的首项是1，公比是2，共64项，相当于求这个等比数列的前64项的和. 教师铺设问题，学生完成探究. 问题3：如何求一个等比数列的前n项和呢？ 追问1:回顾下等差数列的前n项和公式，能否类比等差数列的前n项和公式的求法推导出等比数列的前n项和？ 回顾：等差数列的前 项和公式的推导过程. 等差数列 , , 的前 项和是 根据等差数列的定义= ① ② ①+ ②得，)，所以，用倒序相加的方法进行求和 追问2：在等比数列中能否也用倒序相加法求和？ 但在等比数列中，所以). 对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的. 追问3：求和的根本目的是什么？ 回顾：等差数列的前 项和公式的推导过程得知实际是利用等差数列的定义= 中公差，消除项与项之间的差异，从而消除中间项。 对于等比数列，为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示. 即 ① 追问4：观察①式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？ 追问5：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？ ① ② 发现②式与①式有很多中间项是相同的，可以作差进行化简. 我们一起来具体推导一下： 设等比数列 的首项为，公比为 ，则 的前项和是 根据等比数列的通项公式， ① ② ① ②得, = 即(1 =( 1) 追问6：要求出，是否可以把上式两边同时除以(1 ？ 当1 时，即 时， = = ； 当1 时，即 时，=. 上述求和方法为错位相减法. 追问7：公式推导时除了两边同乘以q外，还可以乘以什么？ 还可以两边同时乘以等都可以构造相同项，但尽可能相同项数越多越易消项. 追问8：还有别的方法推导公式吗？ ，化简得， 即(1 =，当 时，得 = . 三、公式形成 所以等比数列的前n项和公式为： 注意：等比数列求和时，考虑q=1和q≠1两种情况. 我们把这种数列求和公式的推导叫做“错位相减法”. 【教学设计意图】通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题。 【核心素养目标】发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。增强应用意识。 问题2的解决： 式子相当于求首项是1，公比是2的等比数列的前64项的和. ∵ ∴= = 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此国王根本不可能实现他的诺言. 四、学以致用 已知数列是等比数列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 解：（1）因为，，所以. （2）由，，可得，即. 又由，得 .所以 . （3）把，，代入， 整理，得 ，解得. 追问：在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知几个量就可以确定其他量？ “知三求二”，这就是方程思想在数列中的应用. 【教学设计意图】通过典型例题，加深对等比数列求和公式的理解和运用，体会等差与等比数列的内在联系。 【核心素养目标】发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 五、课堂小结 （1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1； （2）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法； （3）数学思想方法的应用: ①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现； ②分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想. 【教学设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 六、课后作业 已知数列是等比数列. （1）若求； （2）若求； （3）若求q与； （4）若求； 2.设等比数列的前n项和为，已知求.
教学反思
通过创设教学情境，激活了学生思维。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的，有趣的和富有挑战性的。并且以问题为导向设计教学情境。本节数学课主要以问题为导向，环环相扣，进展学生的数学观看能力和语言表达能力，培育学生思维的发散性和严谨性。 由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。