广东省韶关市乐昌市第二中学2024届高三下学期保温测试（5月模拟）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三下·乐昌月考）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设幂函数的解析式为，
由于函数过点，故，解得，
所以，该幂函数的解析式为.
故选：B.
【分析】利用已知条件结合待定系数法设出幂函数解析式，再结合点代入法得出参数的值，从而得出幂函数的解析式.
2．（2024高三下·乐昌月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为函数在定义域上单调递增，
充分性：由推得出，故充分性成立；
必要性：由推得出，故必要性成立，
综上所述，“”是“”的充要条件.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而找出正确的选项.
3．（2024高三下·乐昌月考）已知，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由，且，
可得，解得.
故选：C.
【分析】根据题意结合二项式定理求出二项式的展开式的通项，从而由组合数公式得出实数a的值.
4．（2024高三下·乐昌月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；余弦函数的性质
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c，并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.
5．（2024高三下·乐昌月考）已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ）
A． B． C．1 D．9
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列各项均为正数，首项，则，
又因为数列是以为公差的等差数列，
则，故.
故选：A.
【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式和指数式与对数式的互化公式，进而得出数列的第三项的值.
6．（2024高三下·乐昌月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，
解得，所以，圆台的侧面积.
故选：B.
【分析】根据给定条件和扇形的弧长公式、圆的周长公式，进而建立方程组得出圆台的母线长和扇环所在的小圆的半径，再利用圆台侧面积公式计算得解.
7．（2024高三下·乐昌月考）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是偶函数，
所以的图象关于直线对称，
即，
即，
所以，，
所以，函数关于点中心对称，
又因为是定义域为的偶函数，
所以，
所以，
即，
所以，函数的周期为4，
所以，，
所以，.
故选：D.
【分析】根据偶函数的图象的对称性和图象的平移变换，从而得到函数的对称轴，即，再结合和函数为偶函数，可得到周期函数，从而得出的值，进而得出的值.
8．（2024高三下·乐昌月考）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；抛物线的定义
【解析】【解答】解：设、、，如图所示：
由抛物线可得，
由，为的中点，
则有，即，
即，故，
，
又因为，故，此时点在原点.
故选：B.
【分析】利用抛物线的焦点位置和抛物线的方程得出焦点坐标，再结合共线向量和中点的性质，再根据平面向量基本定理和抛物线的定义，从而由几何法求最值的方法得出的最大值.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三下·乐昌月考）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，选项A正确；因为，所以，选项B正确；
因为，
则，所以，选项C正确；
因为，所以，选项D错误.
故选：ABC.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而判断出选项A；利用向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，进而判断出选项B；利用数量积求向量夹角公式判断出选项C；利用向量共线的坐标表示，进而判断出选项D，从而找出正确的结论.
10．（2024高三下·乐昌月考）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）
A．与相互独立 B．与互斥
C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A，依题意，，，
所以，事件与事件相互独立，故选项A正确；
对于B，由题意可知，事件与事件有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，故选项B错误；
对于C、D，，
因为，所以，
所以，故选项C正确，选项D错误．
故选：AC．
【分析】根据独立事件的定义，从而判断选项A；根据互斥事件的定义判断选项B，根据独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式以及条件概率的概率公式判断选项C和选项D，从而找出判断正确的选项.
11．（2024高三下·乐昌月考）已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆的半径为，则
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由对称性可知点的横坐标为，
设的最小正周期为，则，解得，所以，选项A正确；
对于B，因为，所以，点在图象上，即点在图象上，
将其代入函数解析式得，
又因为，故，解得，
故，
当时，，
又因为，在上不单调，
故函数在上不单调递减，所以，选项B错误；
对于C，函数的图象向左平移个单位后得到，
其中，故关于直线对称，所以，选项C正确；
对于D，若圆的半径为，即，
又因为，故，解得，
所以，将代入中得，，解得，
则，所以，选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用图形的对称性求出点C的横坐标，进而求出正弦型函数的最小正周期，从而判断出选项A；利用三角型函数的最小正周期公式求出的值，再利用特殊点代入法和正弦函数的五点对应法得到的值，从而得到函数解析式，再利用整体法得到在的单调性，从而判断出选项B；利用正弦型函数的图象变换和代入检验法判断出选项C；由和勾股定理得到的值，再代入求出A的值，从而得到函数解析式，进而判断出选项D，即得出真命题的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三下·乐昌月考）设为虚数单位．若集合，，且，则 ．
【答案】1
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由集合，和，
当时，此时，方程组无解；
当时，此时，解得，
综上可得，实数的值为.
故填：.
【分析】根据题意结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法和解方程组的方法，进而得出实数m的值.
13．（2024高三下·乐昌月考）已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，
设切点为，，则，消去并整理，
得，则，
．
故填：．
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，从而由点斜式得出切线方程，进而得出实数a的值．
14．（2024高三下·乐昌月考）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 圆的方程可化为 ，其圆心为，半径为， 要使直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则圆心到直线距离，化简得， 的最小值为。
故答案为：
【分析】将问题转化为圆心到直线距离小于等于4，求出 的范围得出最小值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三下·乐昌月考）的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且．
（1）求角；
（2）若，，求．
【答案】（1）
（2）
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：（1）由分别以为边长的正三角形的面积依次为，
则，可得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）设（其中为锐角），在和中，
由正弦定理可得且，
于是，
又因为，所以，
化简得，
根据同角三角函数的基本关系式，可得，
因为，联立方程组，解得，即.
【分析】（1）根据题意结合三角形的面积公式，化简得到，再利用余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）设，利用正弦定理化简得到，再结合同角三角函数基本关系式，从而联立方程组和，进而得出的值.
16．（2024高三下·乐昌月考）如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.
（1）证明：；
（2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为.
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：（1）过作，垂足为，如图所示：
由题意知：为矩形，
可得，
由，
则三角形为等边三角形，且F为线段BC的中点，则，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
可得平面ABCD，且平面，
所以，.
（2）由（1）可知：平面ABCD，
取线段的中点，连接，则∥，，
又因为，可知，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为E为线段PF上一点，设，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可得：，
整理得，解得，
所以，当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为.
【分析】（1）过作，垂足为，再结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，再由等边三角形三线合一证出线线垂直，再根据面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而由线面垂直的定义证出线线垂直.
（2）取线段的中点，连接，从而建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示得出平面PAD的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而解一元二次方程得出a的值，进而得出满足直线BE与平面PAD夹角的正弦值为的EF的长.
17．（2024高三下·乐昌月考）某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；
（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据及公式：，，，．
【答案】（1），5.37 万元
（2）分布列见解析，期望为.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，，
，
，
故，
，故回归方程为，
又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元.
（2）由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年，故的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
0 1 2 3
故.
【分析】（1）利用已知条件结合表中数据和x与y的关系图，从而由最小二乘法得出y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程结合代入法，从而预测出2024年该市城镇居民人均可支配收入.
（2）利用已知条件得到随机变量 的可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望值.
18．（2024高三下·乐昌月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．
【答案】（1）
（2）
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：（1）由题可知，椭圆的左焦点为，
即①；
当时，，
又因为过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②，
由①②得：，
所以，椭圆的标准方程为：.
（2）已知如图所示：
当斜率存在时，设直线方程为，与联立，
消去并整理得：，
已知直线与椭圆相切，所以，
化简得：，又因为O到直线的距离为，
设P到直线的距离为，则，
则三角形的面积为，
令，
得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，当时，取得极大值也是最大值；
当斜率不存在时，可得，
此时，三角形的面积，
因为，所以，
综上所述：三角形的面积最大值为，
此时
故三角形的面积最大时直线的斜率为.
【分析】(1)由已知条件结合椭圆的焦点坐标得出c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆方程代入法以及通径公式，从而建立方程组得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
(2) 利用分类讨论的方法，设出直线方程，由直线与椭圆相切可得，用圆心到直线的距离表示三角形的面积，从而得到一个关于的函数，再结合求导的方法判断函数的单调性和比较法，进而得出函数的最大值，从而得出此时对应的d的值，即求出三角形的面积最大时的直线的斜率的值.
19．（2024高三下·乐昌月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）由题知，的定义域为，∴，
（对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性，
当时，在上恒成立，故在上是增函数；
当时，令得，
在上有；在上有，
∴在上是减函数，在上是增函数.
（2）当时，，即（*），
令，则，
①若，由（1）知，当时，在上是增函数，
故有，
即，得，故有，
（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题），
，
（当且仅当，即，且时取等号），
（根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论），
∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立；
②若，令，
则，当且仅当时等号成立，
∴函数在区间上单调递增，
∵，
，
∴，使得，
则当时，，即，
∴函数在区间上单调递减，
（构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性），
∴，即（*）式不恒成立，
综上所述，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f(x)的单调性.
（2）利用已知条件，将变形为，再利用对的值进行分类讨论结合求导的方法判断函数的单调性，从而由单调性得出实数的取值范围．
1 / 1广东省韶关市乐昌市第二中学2024届高三下学期保温测试（5月模拟）数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三下·乐昌月考）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三下·乐昌月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高三下·乐昌月考）已知，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024高三下·乐昌月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·乐昌月考）已知数列各项均为正数，首项，且数列是以为公差的等差数列，则（ ）
A． B． C．1 D．9
6．（2024高三下·乐昌月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三下·乐昌月考）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
8．（2024高三下·乐昌月考）已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，为的中点，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高三下·乐昌月考）已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高三下·乐昌月考）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件，“乙正面向上”为事件，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）
A．与相互独立 B．与互斥
C． D．
11．（2024高三下·乐昌月考）已知函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在上单调递减
C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称
D．若圆的半径为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三下·乐昌月考）设为虚数单位．若集合，，且，则 ．
13．（2024高三下·乐昌月考）已知轴为函数的图像的一条切线，则实数的值为 .
14．（2024高三下·乐昌月考）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三下·乐昌月考）的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且．
（1）求角；
（2）若，，求．
16．（2024高三下·乐昌月考）如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.
（1）证明：；
（2）当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为.
17．（2024高三下·乐昌月考）某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均可支配收入 3.65 3.89 4.08 4.30 4.65 4.90 5.12
（1）求y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；
（2）某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据及公式：，，，．
18．（2024高三下·乐昌月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆相切，与圆相交于两点，设为圆上任意一点，求的面积最大时直线的斜率．
19．（2024高三下·乐昌月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：设幂函数的解析式为，
由于函数过点，故，解得，
所以，该幂函数的解析式为.
故选：B.
【分析】利用已知条件结合待定系数法设出幂函数解析式，再结合点代入法得出参数的值，从而得出幂函数的解析式.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为函数在定义域上单调递增，
充分性：由推得出，故充分性成立；
必要性：由推得出，故必要性成立，
综上所述，“”是“”的充要条件.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而找出正确的选项.
3．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由，且，
可得，解得.
故选：C.
【分析】根据题意结合二项式定理求出二项式的展开式的通项，从而由组合数公式得出实数a的值.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；余弦函数的性质
【解析】【解答】因为，
所以，
故答案为：B.
【分析】根据指数函数性质可判断b的范围，利用三角函数诱导公式求得c，并利用对数函数的性质比较的大小，即得答案.
5．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列各项均为正数，首项，则，
又因为数列是以为公差的等差数列，
则，故.
故选：A.
【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式和指数式与对数式的互化公式，进而得出数列的第三项的值.
6．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：圆台的上底面圆半径，下底面圆半径，
设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为，依题意有：，
解得，所以，圆台的侧面积.
故选：B.
【分析】根据给定条件和扇形的弧长公式、圆的周长公式，进而建立方程组得出圆台的母线长和扇环所在的小圆的半径，再利用圆台侧面积公式计算得解.
7．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：因为是偶函数，
所以的图象关于直线对称，
即，
即，
所以，，
所以，函数关于点中心对称，
又因为是定义域为的偶函数，
所以，
所以，
即，
所以，函数的周期为4，
所以，，
所以，.
故选：D.
【分析】根据偶函数的图象的对称性和图象的平移变换，从而得到函数的对称轴，即，再结合和函数为偶函数，可得到周期函数，从而得出的值，进而得出的值.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；抛物线的定义
【解析】【解答】解：设、、，如图所示：
由抛物线可得，
由，为的中点，
则有，即，
即，故，
，
又因为，故，此时点在原点.
故选：B.
【分析】利用抛物线的焦点位置和抛物线的方程得出焦点坐标，再结合共线向量和中点的性质，再根据平面向量基本定理和抛物线的定义，从而由几何法求最值的方法得出的最大值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，选项A正确；因为，所以，选项B正确；
因为，
则，所以，选项C正确；
因为，所以，选项D错误.
故选：ABC.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而判断出选项A；利用向量的坐标运算和向量的模的坐标表示，进而判断出选项B；利用数量积求向量夹角公式判断出选项C；利用向量共线的坐标表示，进而判断出选项D，从而找出正确的结论.
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：对于A，依题意，，，
所以，事件与事件相互独立，故选项A正确；
对于B，由题意可知，事件与事件有可能同时发生，
例如“甲正面向上且乙正面向上”，故事件与事件不是互斥事件，故选项B错误；
对于C、D，，
因为，所以，
所以，故选项C正确，选项D错误．
故选：AC．
【分析】根据独立事件的定义，从而判断选项A；根据互斥事件的定义判断选项B，根据独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式以及条件概率的概率公式判断选项C和选项D，从而找出判断正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，由对称性可知点的横坐标为，
设的最小正周期为，则，解得，所以，选项A正确；
对于B，因为，所以，点在图象上，即点在图象上，
将其代入函数解析式得，
又因为，故，解得，
故，
当时，，
又因为，在上不单调，
故函数在上不单调递减，所以，选项B错误；
对于C，函数的图象向左平移个单位后得到，
其中，故关于直线对称，所以，选项C正确；
对于D，若圆的半径为，即，
又因为，故，解得，
所以，将代入中得，，解得，
则，所以，选项D正确.
故选：ACD.
【分析】利用图形的对称性求出点C的横坐标，进而求出正弦型函数的最小正周期，从而判断出选项A；利用三角型函数的最小正周期公式求出的值，再利用特殊点代入法和正弦函数的五点对应法得到的值，从而得到函数解析式，再利用整体法得到在的单调性，从而判断出选项B；利用正弦型函数的图象变换和代入检验法判断出选项C；由和勾股定理得到的值，再代入求出A的值，从而得到函数解析式，进而判断出选项D，即得出真命题的选项.
12．【答案】1
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：由集合，和，
当时，此时，方程组无解；
当时，此时，解得，
综上可得，实数的值为.
故填：.
【分析】根据题意结合集合间的包含关系，再结合分类讨论的方法和解方程组的方法，进而得出实数m的值.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，
设切点为，，则，消去并整理，
得，则，
．
故填：．
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，从而由点斜式得出切线方程，进而得出实数a的值．
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】 圆的方程可化为 ，其圆心为，半径为， 要使直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆有公共点，则圆心到直线距离，化简得， 的最小值为。
故答案为：
【分析】将问题转化为圆心到直线距离小于等于4，求出 的范围得出最小值。
15．【答案】（1）
（2）
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：（1）由分别以为边长的正三角形的面积依次为，
则，可得，
由余弦定理得，
因为，所以.
（2）设（其中为锐角），在和中，
由正弦定理可得且，
于是，
又因为，所以，
化简得，
根据同角三角函数的基本关系式，可得，
因为，联立方程组，解得，即.
【分析】（1）根据题意结合三角形的面积公式，化简得到，再利用余弦定理和三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）设，利用正弦定理化简得到，再结合同角三角函数基本关系式，从而联立方程组和，进而得出的值.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）2
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：（1）过作，垂足为，如图所示：
由题意知：为矩形，
可得，
由，
则三角形为等边三角形，且F为线段BC的中点，则，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面，
可得平面ABCD，且平面，
所以，.
（2）由（1）可知：平面ABCD，
取线段的中点，连接，则∥，，
又因为，可知，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
因为E为线段PF上一点，设，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可得：，
整理得，解得，
所以，当，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为.
【分析】（1）过作，垂足为，再结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，再由等边三角形三线合一证出线线垂直，再根据面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而由线面垂直的定义证出线线垂直.
（2）取线段的中点，连接，从而建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示得出平面PAD的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和已知条件，从而解一元二次方程得出a的值，进而得出满足直线BE与平面PAD夹角的正弦值为的EF的长.
17．【答案】（1），5.37 万元
（2）分布列见解析，期望为.
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，，
，
，
故，
，故回归方程为，
又因为2024年的年份编号为8，将代入，解得，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入为5.37万元.
（2）由图表知，人均可支配收入超过4.5万的年份有3年，故的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
故随机变量的分布列为：
0 1 2 3
故.
【分析】（1）利用已知条件结合表中数据和x与y的关系图，从而由最小二乘法得出y关于x的线性回归方程，并根据所求回归方程结合代入法，从而预测出2024年该市城镇居民人均可支配收入.
（2）利用已知条件得到随机变量 的可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望值.
18．【答案】（1）
（2）
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：（1）由题可知，椭圆的左焦点为，
即①；
当时，，
又因为过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以②，
由①②得：，
所以，椭圆的标准方程为：.
（2）已知如图所示：
当斜率存在时，设直线方程为，与联立，
消去并整理得：，
已知直线与椭圆相切，所以，
化简得：，又因为O到直线的距离为，
设P到直线的距离为，则，
则三角形的面积为，
令，
得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，当时，取得极大值也是最大值；
当斜率不存在时，可得，
此时，三角形的面积，
因为，所以，
综上所述：三角形的面积最大值为，
此时
故三角形的面积最大时直线的斜率为.
【分析】(1)由已知条件结合椭圆的焦点坐标得出c的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆方程代入法以及通径公式，从而建立方程组得出a，b的值，进而得出椭圆C的标准方程.
(2) 利用分类讨论的方法，设出直线方程，由直线与椭圆相切可得，用圆心到直线的距离表示三角形的面积，从而得到一个关于的函数，再结合求导的方法判断函数的单调性和比较法，进而得出函数的最大值，从而得出此时对应的d的值，即求出三角形的面积最大时的直线的斜率的值.
19．【答案】解：（1）由题知，的定义域为，∴，
（对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性，
当时，在上恒成立，故在上是增函数；
当时，令得，
在上有；在上有，
∴在上是减函数，在上是增函数.
（2）当时，，即（*），
令，则，
①若，由（1）知，当时，在上是增函数，
故有，
即，得，故有，
（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题），
，
（当且仅当，即，且时取等号），
（根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论），
∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立；
②若，令，
则，当且仅当时等号成立，
∴函数在区间上单调递增，
∵，
，
∴，使得，
则当时，，即，
∴函数在区间上单调递减，
（构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性），
∴，即（*）式不恒成立，
综上所述，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数f(x)的单调性.
（2）利用已知条件，将变形为，再利用对的值进行分类讨论结合求导的方法判断函数的单调性，从而由单调性得出实数的取值范围．
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