广西名校联合2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·广西期末）已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B.
【分析】根据已知条件结合函数在导数的定义与函数的极限的关系，从而变形求解.
2．（2024高二下·广西期末）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了名男教师和名女教师去支援新疆教育，要求这名教师被分派到个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排名教师，其中名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：2名女老师分派到同一个学校的种数有3种，3各男教师则有2种情况，①3名男教师分别分派到3个学校，则有=6种；②2各男教师分派到一个学校，1名分派到另一个学校，则有种；故一共有3(+)=36种；
答案：B.
【分析】先安排2名女教师，再分派男教师，分两种情况即3名男教师分派到3个学校或2名男教师分派到一个学校，另一名男教师分派至另一个学校.
3．（2024高二下·广西期末）已知函数，则下列说法正确的是( )
A．的极小值为 B．的极大值为
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1)=0，则x1=，x2=1，
当x<时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当
1时，f’(x)>0，f(x)单调递增；C、D错误；
当x=1时，f极小=f(1)=-1，A错误；
故当x=时，f极大=f()=，B正确；
故答案为：B.
【分析】求导后可得极值点和单调区间，直接一一判断即可.
4．（2024高二下·广西期末）在的展开式中，含项的系数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：=，其中中不含 的项，中，=，故其系数为-20
故答案为：A.
【分析】先将原式化为 ，其中不含，中的求出即可.
5．（2024高二下·广西期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
【分析】本题考查曲线的切线方程.设切点为，求出导函数，根据导数的几何意义可求出切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程，再根切线过点A，据此可列出一元二次方程．根据切线有2条，可知，据此可列出不等式，解不等式可求出实数a的取值范围.
6．（2024高二下·广西期末）已知函数在处有极值，则等于( )
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意知f(-1)=8，即有-1+a-b+a2=8，求导得，f‘(-1)=0，即有3-2a+b=0，由此可得a=-2或3，
当a=-2时，b=-7，f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1)，f(x)在(-∞，-1)单调递增，在(-1，)上单调递减，故当x=-1时，取极大值；故此时，得f(1)=1-2-7+4=-4；
当a=3时，b=3，，f(x)单调递增，x=-1处无极值，不符合题意；
综上所述：f(1)=-4
故答案为：A.
【分析】由题意知f(-1)=8，f'(-1)=0，求出a和b的值，再分别回头验证x=-1是否是极值即可得结果.
7．（2024高二下·广西期末）已知函数，则关于
不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由知得，故f(x)为奇函数，
而，当x>0时，ex>1，而cosx≤1，故f'(x)<0，f(x)为减函数；
由得即，故x2-4>-3x，
解得x<-4或x>1
故答案为：C.
【分析】观察发现f(x)为奇函数，求导得函数的单调性，对不等式变形可得解集.
8．（2024高二下·广西期末）已知，，，则有( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，，，构造函数f(x)=(x>0)，故f'(x)=，
令g(x)=lnx-，g'(x)=>0，故g(x)为单调增函数，g(1)=0-1<0，g(2)=ln2-=，
故使g(x0)=0，故当，f(x)单调递减，当时，f(x)单调递增，
f(e)故答案为：C.
【分析】观察a，b，c的结构，构造函数f(x)=，求导求出其单调性，即可得a，b，c的大小关系.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·广西期末）下列求函数的导数正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，故A错误；
，B正确；
，C正确；
，D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据基本初等函数的求导规则和复合函数的求导规则依次求导即可.
10．（2024高二下·广西期末）已知的展开式共有项，则下列说法中正确的有( )
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第项
D．有理项共项
【答案】A,C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由展开式有13项，故n=12，，二项式系数之和为212，奇数项与偶数项的二项式系数的和分别都为211，故A正确；
令x=1，则=312，故所有项的系数之和为312，故B错误；
n=12，故二次式系数最大的项为第7项，故C正确；
Tr+1=，当r=0，3，6，9，12时，展开式为有理项，共5项，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】通过展开式有13项确定n的值，再由二项式系数与系数的特点进行赋值即可.
11．（2024高二下·广西期末） 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、6个人全排列有种方法，全排列有种方法，
则从左到右按高到矮的排列有种方法，故A正确；
B、先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列形成5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，
则共有种方法，故B正确；
C、将捆绑且A在C、D中间的排法有2种，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，故C错误；
D、6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
12．（2024高二下·广西期末） 已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有两个零点
C．直线是的切线
D．点是的对称中心
【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，则，
A、令，解得，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以有两个极值点，故A错误；
B、令，解得或，
则函数有两个零点，故B正确；
C、因为，所以直线不可能是的切线，故C错误；
D、因为，所以点是的对称中心，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由极值点不是点即可判断A；令即可判断B；由即可判断C；由求解即可判断D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高二下·广西期末）的展开式中的系数为 用数字作答．
【答案】80
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，故系数为80.
故答案为：80.
【分析】直接求出展开式中x3的项，即可得系数.
14．（2024高二下·广西期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
【分析】利用分步计数原理进行计算可得答案.
15．（2024高二下·广西期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导，函数有三个单调区间，则有两个不同的零点，即，36+12a>0，得a>-3，同时a≠0，故a>-3且a≠0；
故答案为：
【分析】由题意知导函数有两个不同的零点，导函数为二次函数且满足题意，即可得结果.
16．（2024高二下·广西期末）已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是
【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：x≤0时，f'(x)=-3x2+2x=0，x1=0，x2=，函数在(-∞，0]单调递减，f(0)=0；
x>0时，f'(x)=，x=e，f(x)在(0，e)单调递增，x→0+时，f(x)→-∞，
在(e，+∞)单调递减，且，f(e)=；
f(x)-m=0只有一个实根，故m<0或m>
故答案为：
【分析】在x≤0和x>0分别对函数求导，得到函数的单调性与极值、零点，从而得到m的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024高二下·广西期末）s已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的最值．
【答案】（1）将代入函数解析式得，
函数．
，所以，
由直线方程的点斜式得
所以函数在处的切线方程为；
（2）令，
解得或，
又因为
当时，当时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
因为，，所以．
因为，，所以．
故在上的最小值为，最大值为．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导后求出x=1处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程；
(2)利用导数求出函数的单调区间，求出端点值与极值，比较大小即可知最大值与最小值.
18．（2024高二下·广西期末）若，且．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
【答案】（1）依题意，，因此，解得，
所以实数的值是．
（2）由知，，当时，，
当时，，
因此，
所以．
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】(1)由a4=-560，直接求展开式，即可得a的值；
(2)令x=0得a0的值；再令x=即可求出代数式的值.
19．（2024高二下·广西期末）若的展开式中，第二三四项的二项式系数成等差数列．
（1）求的值；
（2）此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）由题意得：，
，
化简得：，
解得：或舍去，所以．
（2）不存在，理由如下：
且，
时，解得，
所以展开式中不存在常数项．
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【分析】(1)由题意知，直接求出对应的方程即可得n的值；
(2)利用展开式的通项，直接令指数为0，求出r的值，即可判断.
20．（2024高二下·广西期末）已知，，，，，，共个数字．
（1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？
（2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
（3）可以组成多少个没有重复数字且能被整除的四位数？结果用数字作答
【答案】（1）先排最高位有种方法，其余的个位置没有限制，任意排，有种方法．
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为；
（2）尾是，则有个；末尾不是，则末尾是，，，有个，共有个．
（3）的倍数末尾是，则有个；末尾是，有个．
共有．
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】(1)分步优先安排最高位，再安排其余各数位即可得结果；
(2)先安排个数，分个位为0和个位不为0进行讨论即可；
(3)个位为0和5分别进行讨论求解即可.
21．（2024高二下·广西期末）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有一个零点，求的取值范围．
【答案】（1）函数的定义域为，可得
当时，恒成立，函数在上单调递减；
当时，令，可得，令，可得，
故函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）函数在有一个零点，等价于方程在有一个根，即方程在有一个根，
即直线与函数在上有一个交点，
令，可得，
令，即，解得；令，即为，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，又因为，
当时，，且时，，当时，，
所以当或时，函数有一个零点，即的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求导后对a的值，a≤0，a>0进行分类讨论，即可得函数的单调区间；
(2)分离参数后，构造函数，求导得函数的单调区间，求出函数的最值，即可得a的取值范围；
22．（2024高二下·广西期末）已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，证明：；
（2）设，若对，均有，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：因为，所以切线的斜率．
又因为切线与直线平行，所以，解得，
所以．
，
由得，则函数的单调递增区间为；
由得，则函数的单调递减区间为，
所以在处取极大值，也为最大值，
且所以；
（2）证明：由得，
整理得．
设，则在上恒成立，
当时，，在上单调递增，依题意得满足题意；
当时，
由得，则函数在上单调递减，
由得，则函数在上单调递增，
所以在处取极小值，也为最小值．
．
依题意得可得，解得．
综上可得实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)由题意求导后令导数为2，可得a的值，可求得函数f(x)的单调区间求出最值即可证明不等关系；
(2)转化问题为，构造函数，利用函数的导数讨论a的值，求得函数的单调区间与单调性，即可得函数的最小值，可得a的取值范围.
1 / 1广西名校联合2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·广西期末）已知函数在处的导数为3，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．（2024高二下·广西期末）为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了名男教师和名女教师去支援新疆教育，要求这名教师被分派到个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排名教师，其中名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
3．（2024高二下·广西期末）已知函数，则下列说法正确的是( )
A．的极小值为 B．的极大值为
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
4．（2024高二下·广西期末）在的展开式中，含项的系数为( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·广西期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·广西期末）已知函数在处有极值，则等于( )
A． B． C．或 D．或
7．（2024高二下·广西期末）已知函数，则关于
不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·广西期末）已知，，，则有( )
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·广西期末）下列求函数的导数正确的是( )
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·广西期末）已知的展开式共有项，则下列说法中正确的有( )
A．所有奇数项的二项式系数和为
B．所有项的系数和为
C．二项式系数最大的项为第项
D．有理项共项
11．（2024高二下·广西期末） 身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ）
A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B．A与同学不相邻，共有种站法
C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
12．（2024高二下·广西期末） 已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有两个零点
C．直线是的切线
D．点是的对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2024高二下·广西期末）的展开式中的系数为 用数字作答．
14．（2024高二下·广西期末）如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
15．（2024高二下·广西期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是 ．
16．（2024高二下·广西期末）已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024高二下·广西期末）s已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的最值．
18．（2024高二下·广西期末）若，且．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
19．（2024高二下·广西期末）若的展开式中，第二三四项的二项式系数成等差数列．
（1）求的值；
（2）此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
20．（2024高二下·广西期末）已知，，，，，，共个数字．
（1）可以组成多少个没有重复数字的四位数？
（2）可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
（3）可以组成多少个没有重复数字且能被整除的四位数？结果用数字作答
21．（2024高二下·广西期末）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有一个零点，求的取值范围．
22．（2024高二下·广西期末）已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，证明：；
（2）设，若对，均有，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B.
【分析】根据已知条件结合函数在导数的定义与函数的极限的关系，从而变形求解.
2．【答案】B
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：2名女老师分派到同一个学校的种数有3种，3各男教师则有2种情况，①3名男教师分别分派到3个学校，则有=6种；②2各男教师分派到一个学校，1名分派到另一个学校，则有种；故一共有3(+)=36种；
答案：B.
【分析】先安排2名女教师，再分派男教师，分两种情况即3名男教师分派到3个学校或2名男教师分派到一个学校，另一名男教师分派至另一个学校.
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1)=0，则x1=，x2=1，
当x<时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当1时，f’(x)>0，f(x)单调递增；C、D错误；
当x=1时，f极小=f(1)=-1，A错误；
故当x=时，f极大=f()=，B正确；
故答案为：B.
【分析】求导后可得极值点和单调区间，直接一一判断即可.
4．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：=，其中中不含 的项，中，=，故其系数为-20
故答案为：A.
【分析】先将原式化为 ，其中不含，中的求出即可.
5．【答案】D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，由已知得，则切线斜率，
切线方程为．
∵直线过点，∴，
化简得．∵切线有2条，
∴，则的取值范围是，
故选：D
【分析】本题考查曲线的切线方程.设切点为，求出导函数，根据导数的几何意义可求出切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程，再根切线过点A，据此可列出一元二次方程．根据切线有2条，可知，据此可列出不等式，解不等式可求出实数a的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意知f(-1)=8，即有-1+a-b+a2=8，求导得，f‘(-1)=0，即有3-2a+b=0，由此可得a=-2或3，
当a=-2时，b=-7，f'(x)=3x2-4x-7=(3x-7)(x+1)，f(x)在(-∞，-1)单调递增，在(-1，)上单调递减，故当x=-1时，取极大值；故此时，得f(1)=1-2-7+4=-4；
当a=3时，b=3，，f(x)单调递增，x=-1处无极值，不符合题意；
综上所述：f(1)=-4
故答案为：A.
【分析】由题意知f(-1)=8，f'(-1)=0，求出a和b的值，再分别回头验证x=-1是否是极值即可得结果.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由知得，故f(x)为奇函数，
而，当x>0时，ex>1，而cosx≤1，故f'(x)<0，f(x)为减函数；
由得即，故x2-4>-3x，
解得x<-4或x>1
故答案为：C.
【分析】观察发现f(x)为奇函数，求导得函数的单调性，对不等式变形可得解集.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，，，构造函数f(x)=(x>0)，故f'(x)=，
令g(x)=lnx-，g'(x)=>0，故g(x)为单调增函数，g(1)=0-1<0，g(2)=ln2-=，
故使g(x0)=0，故当，f(x)单调递减，当时，f(x)单调递增，
f(e)故答案为：C.
【分析】观察a，b，c的结构，构造函数f(x)=，求导求出其单调性，即可得a，b，c的大小关系.
9．【答案】B,C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：，故A错误；
，B正确；
，C正确；
，D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据基本初等函数的求导规则和复合函数的求导规则依次求导即可.
10．【答案】A,C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：由展开式有13项，故n=12，，二项式系数之和为212，奇数项与偶数项的二项式系数的和分别都为211，故A正确；
令x=1，则=312，故所有项的系数之和为312，故B错误；
n=12，故二次式系数最大的项为第7项，故C正确；
Tr+1=，当r=0，3，6，9，12时，展开式为有理项，共5项，故D错误；
故答案为：AC.
【分析】通过展开式有13项确定n的值，再由二项式系数与系数的特点进行赋值即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、6个人全排列有种方法，全排列有种方法，
则从左到右按高到矮的排列有种方法，故A正确；
B、先排列除A与C外的4个人，有种方法，4个人排列形成5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有种方法，
则共有种方法，故B正确；
C、将捆绑且A在C、D中间的排法有2种，与其余3人全排列，有种方法，则共有种方法，故C错误；
D、6个人全排列有种方法，当A在排头时，有种方法，当B在排尾时，有种方法，
当A在排头且B在排尾时，有种方法，则A不在排头，B不在排尾的情况共有种，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据全排列和定序即可判断A；利用插空法即可判断B；利用捆绑法即可判断C；利用间接法即可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，则，
A、令，解得，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以有两个极值点，故A错误；
B、令，解得或，
则函数有两个零点，故B正确；
C、因为，所以直线不可能是的切线，故C错误；
D、因为，所以点是的对称中心，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由极值点不是点即可判断A；令即可判断B；由即可判断C；由求解即可判断D.
13．【答案】80
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：，故系数为80.
故答案为：80.
【分析】直接求出展开式中x3的项，即可得系数.
14．【答案】48
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】按照分步计数原理，
第一步：涂区域1，有4种方法；
第二步：涂区域2，有3种方法；
第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；
所以不同的涂色种数有种．
故答案为：48
【分析】利用分步计数原理进行计算可得答案.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：求导，函数有三个单调区间，则有两个不同的零点，即，36+12a>0，得a>-3，同时a≠0，故a>-3且a≠0；
故答案为：
【分析】由题意知导函数有两个不同的零点，导函数为二次函数且满足题意，即可得结果.
16．【答案】
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：x≤0时，f'(x)=-3x2+2x=0，x1=0，x2=，函数在(-∞，0]单调递减，f(0)=0；
x>0时，f'(x)=，x=e，f(x)在(0，e)单调递增，x→0+时，f(x)→-∞，
在(e，+∞)单调递减，且，f(e)=；
f(x)-m=0只有一个实根，故m<0或m>
故答案为：
【分析】在x≤0和x>0分别对函数求导，得到函数的单调性与极值、零点，从而得到m的取值范围.
17．【答案】（1）将代入函数解析式得，
函数．
，所以，
由直线方程的点斜式得
所以函数在处的切线方程为；
（2）令，
解得或，
又因为
当时，当时，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
因为，，所以．
因为，，所以．
故在上的最小值为，最大值为．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求导后求出x=1处的导数值即为切线斜率，即可求出切线方程；
(2)利用导数求出函数的单调区间，求出端点值与极值，比较大小即可知最大值与最小值.
18．【答案】（1）依题意，，因此，解得，
所以实数的值是．
（2）由知，，当时，，
当时，，
因此，
所以．
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】(1)由a4=-560，直接求展开式，即可得a的值；
(2)令x=0得a0的值；再令x=即可求出代数式的值.
19．【答案】（1）由题意得：，
，
化简得：，
解得：或舍去，所以．
（2）不存在，理由如下：
且，
时，解得，
所以展开式中不存在常数项．
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【分析】(1)由题意知，直接求出对应的方程即可得n的值；
(2)利用展开式的通项，直接令指数为0，求出r的值，即可判断.
20．【答案】（1）先排最高位有种方法，其余的个位置没有限制，任意排，有种方法．
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为；
（2）尾是，则有个；末尾不是，则末尾是，，，有个，共有个．
（3）的倍数末尾是，则有个；末尾是，有个．
共有．
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【分析】(1)分步优先安排最高位，再安排其余各数位即可得结果；
(2)先安排个数，分个位为0和个位不为0进行讨论即可；
(3)个位为0和5分别进行讨论求解即可.
21．【答案】（1）函数的定义域为，可得
当时，恒成立，函数在上单调递减；
当时，令，可得，令，可得，
故函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）函数在有一个零点，等价于方程在有一个根，即方程在有一个根，
即直线与函数在上有一个交点，
令，可得，
令，即，解得；令，即为，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，又因为，
当时，，且时，，当时，，
所以当或时，函数有一个零点，即的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)求导后对a的值，a≤0，a>0进行分类讨论，即可得函数的单调区间；
(2)分离参数后，构造函数，求导得函数的单调区间，求出函数的最值，即可得a的取值范围；
22．【答案】（1）证明：因为，所以切线的斜率．
又因为切线与直线平行，所以，解得，
所以．
，
由得，则函数的单调递增区间为；
由得，则函数的单调递减区间为，
所以在处取极大值，也为最大值，
且所以；
（2）证明：由得，
整理得．
设，则在上恒成立，
当时，，在上单调递增，依题意得满足题意；
当时，
由得，则函数在上单调递减，
由得，则函数在上单调递增，
所以在处取极小值，也为最小值．
．
依题意得可得，解得．
综上可得实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)由题意求导后令导数为2，可得a的值，可求得函数f(x)的单调区间求出最值即可证明不等关系；
(2)转化问题为，构造函数，利用函数的导数讨论a的值，求得函数的单调区间与单调性，即可得函数的最小值，可得a的取值范围.
1 / 1