河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试卷(含答案)

河南省洛阳市第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学摸底考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为( )
A.或 B.或 C. D.
2．已知函数满足：，，则下列说法正确的有( )
A.是周期函数 B.
C. D.图象的一个对称中心为
3．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( )
A. B. C. D.
4．若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是( )
A. B. C. D.
5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则( )
A. B. C. D.
6．在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心150km.以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据：( )
A.2 B.4.5 C.9.5 D.10
7．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8．若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的可能取值为( )
A. B. C.3 D.
10．如图，直线与半径为1的圆C相切于D点，射线绕着D点逆时针方向旋转到，在旋转过程中射线交圆C于E点，设，，且恒满足，射线扫过圆C内部（阴影部分）的面积为，则下列正确的是( )
A. B.的单调递增区间为
C.点为的对称中心 D.在瞬时变化率最大
11．已知函数，则( )
A.在上的最大值为 B.为偶函数
C.为奇函数 D.在上单调递减
三、填空题
12．若函数，存在使得，则实数a的值为________.
13．2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，A、B、C三点在同一水平面上的投影、、，满足，、，.由C点测得B点的仰角为，由B点测得A点的仰角为，则的高度为________.
14．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）当时，求在上的最值；
（2）设函数，若存在最小值，求实数a的值.
16．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）点D是上的一点，，且，求周长的最小值.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点E，F分别为棱PD，BC的中点，点G在线段AF上.
（1）证明：平面；
（2）求点F到平面的距离；
（3）设直线与平面，平面，平面所成的角分别为，，，求的最大值.
19．设函数.
（1）设，在处取得最大值，求；
（2）关于x的方程在区间上恰有12个不同的实数解，求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，，
令，则，
令，则，
令，，且，则，
整理得，
因为，则，可得，
所以，即，
可知在定义域在R上单调递增，
又因为，即，
可得，即，
结合在定义域在R上单调递增，可得，解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：B.
2．答案：A
解析：对于A，由于，故.
从而，这就得到，所以，即.
所以是周期函数，故A正确；
对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误；
故选：A.
3．答案：B
解析：由得，，
由得，由得.
在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，
由图象知，，.
故选：B
4．答案：C
解析：一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况，
其中点数之和为8的情况如下：，，，，，
点数之和为9的情况如下：，，，，
点数之和为10的情况如下：，，，
点数之和为11的情况如下：，，
点数之和为12的情况如下：，
故点数之和不小于8的情况共有种，
则点数之和不小于8的概率为.
故选：C
5．答案：B
解析：在中，由，得，
整理得，而，
解得，而，所以.
故选：B
6．答案：B
解析：
如图，当台风中心向西北方向移动到达点C时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响，
设t小时后该城市所在地开始受到影响，台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km，
又台风中心向西北方向移动，所以，
由余弦定理可得，
解得或（舍），
则开始受到影响在之后.
故选：B.
7．答案：D
解析：由题意可得：
，
由可得，
因为，，则，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
8．答案：B
解析：
如图，由题意知内切圆和外接圆同圆心，即的内心与外心重合，则为正三角形，
因为内切球表面积为，设内切圆的半径为r，则，所以内切圆的半径为1，
所以的边长为，
所以圆锥的底面半径为，又高为，
故圆锥体积，
故选：B.
9．答案：AB
解析：函数，
则，
所以，，或，，
因为，所以，，
因为使得集合恰有五个元素，
则，，，
，，或，，
所以，解得.
故选：AB
10．答案：ACD
解析：A：，，，所以本选项正确；
B：因为，故的单增区间为，因此本选项错误；
C：因为，
所以点为的对称中心，因此本选项正确；
D：因为，故在瞬时变化率最大，因此本选项正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：
，
对于A，，所以，所以，则在上的值域为，函数的最大值为，故A错误；
对于B，设，则，所以为偶函数，故B正确；
对于C，设，则，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，，，令，设，则时，单调递减，所以原函数在上单调递减，故D正确；
故选：BD
12．答案：
解析：由余弦函数的性质，可得，所以的值域为，
当时，，，显然不成立；
同理，当时，不成立；
所以，存在使得，先满足，即，
当时，，，
所以，
所以集合与集合的交集不为空集，
即或，亦即，所以，
所以实数a的值为0.
故答案为：0.
13．答案：
解析：因为，
，
分别过B，C做，，垂足分别为E，D，
在中，则，
由正弦定理，
可得，，
在，，，
则，
在中，，
则，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：设复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，
因为且，所对应的向量，满足，即，
不妨令，，则，，
又，设，即
则，
所以
，
所以当时取得最大值，即.
故答案为：
15．答案：（1）最小值为，最大值为0；
（2）6
解析：（1）当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以
所以在上的最小值为，最大值为0.
（2）
，
设，当且仅当，即时取得等号，
所以，，对称轴，
当，即时，，在单调递增，
则，解得，不满足题意；
当，即时，在单调递减，单调递增，
所以，解得或（舍去），
综上，实数a的值为6.
16．答案：（1），；
（2），最小值为0.02.
解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以，
所以，解得：，
.
（2）当时，
；
当时，
，
故，
所以在区间的最小值为0.02.
17．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）由二倍角公式得，
故由正弦定理得，，而，，
故，
则；
（2）设，，设，则，
在中，，即，
在中，，即，
周长.
令，则
，，.
即周长最小值为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）连接，取的中点O，连接，因为底面为菱形，且，
所以、为等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，，
又，，，所以，
所以，
又，所以，
设点F到平面的距离为d，则，即，
解得，即点F到平面的距离.
（3）连接，，则且，
又平面，所以平面，则为直线与平面所成的角，即，所以，
取的中点M，连接，则且，
又F为中点，所以，又，所以，
由平面，平面，所以，，
又，平面，所以平面，则平面，
又，平面，所以平面，
连接，，则为直线与平面所成的角，即，
所以，
为直线与平面所成的角，即，
所以，
所以，
又，设，，
所以，
所以，
令，则，
所以，
因为，所以，
所以当时取得最大值，且最大值为，
所以.
19．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，
所以函数关于直线对称，
因为当时，，其中，，
所以存在，使得为函数在区间上的最大值，由对称性可知也为在区间上的最大值，
所以，
所以，，
，
由对称性可知还存在，使得为函数在区间上的最大值，
所以，，
综上，；
（2）因为，
所以函数为周期函数，周期为，
所以原问题等价于关于x的方程在区间上恰有4个不同的实数解，
又由对称性可知关于x的方程在区间上恰有2个不同的实数解，
当时，，，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以k的取值范围为.