浙江省温州市2024年九年级数学八校联考学生素养检测中考模拟试卷
1．（2024·温州模拟）某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是其中最低气温是（ ）
A．5℃ B．0℃ C．-22℃ D．-10℃
2．（2024·温州模拟）据报道，温州市图书馆每年的暑期月人流量大约可达391000人次，数据391000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
3．（2024·温州模拟）三个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·温州模拟）一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·温州模拟）一个不透明的袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同。现从中随机摸出一球，记下颜色后不放回搅匀，如此继续.根据表，小明在摸完两次后，第三次摸到红色的概率是（ ）
次数 第一次摸球 第二次摸球 第三次摸球
颜色 红色 红色 ？
A． B． C． D．
6．（2024·温州模拟）如图，已知点A(-1，0)，B(0，2)，A与A'关于y轴对称，连结A'B，现将线段A'B以A'点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B'的坐标为( )
A．(3，1) B．(2，1) C．(4，1) D．(3，2)
7．（2024·温州模拟）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD。立5尺长的木CE于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少 （其中1尺寸）”根据译文信息，则井深AD为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸
8．（2024·温州模拟）如图，AB，DE是的直径，弦直径AB，连结BC，BE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·温州模拟）如图，在中，AG平分分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记或的面积分别为，若，的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·温州模拟）已知，二次函数y=mx2-（2m+3）x+m+5与x轴有两个交点，且m为正整数，当t≤x≤4时，对应函数值y的取值范围是7-4t≤y≤2，则满足条件的t的值是（ ）
A．2 B． C． D．
11．（2024·温州模拟）因式分解： .
12．（2024·温州模拟）若分式的值为0，则的值为 .
13．（2024·温州模拟）已知一次函数与是常数，且的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是则分式方程的解是 ； .
14．（2024·温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁.如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米.
15．（2024·温州模拟）如图，在Rt中，，垂足为，现将沿着AB方向平移1cm得到，且此时，则CD的长度为 厘米.
16．（2024·温州模拟）如图，在等腰Rt中，，若点是边AB上一点，是CD的中点，关于直线BE对称的点为交AB于点.
（1）若，则 度（用含的代数式表示）.
（2）若，则 .
17．（2024·温州模拟）
（1）计算：.
（2）化简：.
18．（2024·温州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线AC，BD交于点G，BD平分，点是对角线BD上一点.
（1）求证：.
（2）若，求四边形ABCE的面积.
19．（2024·温州模拟）如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.
（1）在图甲中，画出的BC边上的中线AD.
（2）在图乙中，找一点，连结线段BP，使得BP平分.
20．（2024·温州模拟）某校举行“知礼·明理”知识问答竞赛，班、班各派出5名选手组成代表队参加比赛.两班派出选手的比赛成绩如图所示.
根据上图中信息，整理分析数据得到如下表格，
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 85 85 85
B校 85 a b
（1） ； ；
（2）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定.
（3）请你从平均数、众数、中位数、众数等数据分析，推选一个班级去参加区级比赛.
21．（2024·温州模拟）已知，点在二次函数的图象上.
（1）当时，求此时二次函数的表达式.
（2）若时，求的取值范围.
22．（2024·温州模拟）如图，AB为直径，弦平分，分别交和AB于E，F的两点，连结EB，ED交AB于点.
（1）求证：.
（2）若，求的值.
23．（2024·温州模拟）【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣。当人们在泉边喊叫时，泉口便全涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长。
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度。如图1，当第一次大喊时，水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°.已知测角仪直立于地面，其高AD为1.65米，DB=5.5米.
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度BC的值。
(参考数据：)
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度与响度(分贝)之间恰好满足正比例函数关系。
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到关于的函数关系式为 ▲
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间(秒) 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度(分贝) 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度与时间之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，求出关于的函数关系式.
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米.
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间（精确到0.1秒）.
24．（2024·温州模拟）如图，已知四边形内接于，且，点是弦的中点，连结，延长相交于点，连结，与相交于点，与相交于点.
（1）求证：.
（2）若点是的中点，，求的值.
（3）连结，探究与之间的等量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-22℃<-10℃<0℃<5℃，
这四个城市的最低气温是-22℃.
故答案为：C.
【分析】先比较有理数的大小，再作出判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 391000=3.91×105.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法表示较大的正数时， 一般形式为a×10n，其中，n为正整数，正确数出移动的小数点的位数即可解答.
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为
故答案为：C.
【分析】根据从上面看得到的图形是这个几何体的俯视图判断即可.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： ，
去括号得：2x+2≤4，
移项得：2x≤4-2，
x≤1，
一元一次不等式的解集在数轴上表示为
.
故答案为：A.
【分析】先解不等式，再根据解集找出正确的选项即可.
5．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题可知， 袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球， 共有6个除颜色外其余均相同球，
由表格可知，第一次、第二次摸出的都是红球，
袋子内剩余6-2=4（个），袋子内红球剩余3-2=1（个），
第三次摸到红色的概率是.
故答案为：B.
【分析】先根据表格求出袋子内剩余小球的个数和红球剩余的个数，再根据概率公式计算即可.
6．【答案】A
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点B'作B'C⊥于x轴，
点A(-1，0)，A与A'关于y轴对称，
A'（1，0），即OA'=1，
点B(0，2)，
OB=2，
线段A'B以A'点为中心顺时针旋转90°得A'B'，
A'B=A'B'，
∠BA'O+∠B'A'C=90°，∠BA'O+∠A'BO=90°，
∠B'A'C=∠A'BO，
又∠A'OB=∠B'CA'=90°，
，
A'C=OB=2，CB'=OA'=1，
OC=OA'+A'C=1+2=3，
点B'的坐标为 (3，1) .
故答案为：A.
【分析】过点B'作B'C⊥于x轴，先根据题意得出OA'=1，OB=2，再利用AAS证明，得到A'C=OB=2，CB'=OA'=1，进而可得点B'的坐标.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可得，CD=CE=5尺=50寸，CF=4寸，AD∥CE，
DF=CD-CF=50-4=46寸，
AD∥CE，
，
，
即，
AD= 575寸 .
故答案为：D.
【分析】由题可得，CD=CE=5尺=50寸，CF=4寸，AD∥CE，证明，利用相似三角形的对应边成比例得出，再代入数据计算即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，∠BCD=α，
∠BED=∠BCD=α，
OB=OE，
∠OBE=∠BED=α，
∠BOD是的一个外角，
∠BOD=∠OEB+∠OBE=2α，
CD∥AB，
∠CDE=∠BOD=2α.
故答案为：A.
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到∠BED=∠BCD=α，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得到∠BOD=2α，最后利用平行线的性质求解即可.
9．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∠DAF=∠AGB，
AG平分 ，
∠DAF=∠BAG，
∠AGB=∠BAG，
BA=BG，
，
设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，
CD=BC-BG=x，
AB∥CD，
，
，
即，
AD∥BC，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，则∠DAF=∠AGB，再根据角平分线的定义得∠DAF=∠BAG，则BA=BG，进而可得BG=AB，设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，CD=BC-BG=x，证，根据相似三角形的性质得出，再证，根据相似三角形的性质得出再由，得出进而可得，据此即可得到答案.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： 二次函数y=mx2-（2m+3）x+m+5与x轴有两个交点，
m≠0且，
解得：且m≠0，
m为正整数，
m=1，
二次函数的表达式为y=x2-5x+6，
其对称轴，
当x=4时，y=2，当时，，
当t≤x≤4时， 对应函数值y的取值范围是7-4t≤y≤2，
当时，y随x的增大而增大，
当x=t时，y=7-4t，即t2-5t+6=7-4t，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，在处，取到最小值，
即，
解得：，
则满足条件的t的值是.
故答案为：B.
【分析】先根据二次函数与x轴有两个交点， 且m为正整数，得出m=1，从而得到函数表达式为y=x2-5x+6，则对称轴，再结合二次函数的性质分两种情况讨论，当时；当时，分别列式计算即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式的值为0，
x-1=0，且x-3≠0，
解得：x=1.
故答案为：1.
【分析】根据分式的值为零，则分子为零且分母不为零，列式求解即可.
13．【答案】1；-2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：两个函数的交点坐标分别是，
x1=1，x2=-2.
故答案为：1；-2.
【分析】直接根据两个函数的交点坐标分别是解答即可.
14．【答案】20
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：由题可知，CD⊥AB，
圆心O在CD的延长线上，
如图所示，确定石拱桥的圆心O，连接AO，
设半径AO=r米，则OD=（r-4）米，
OC⊥AB， 跨度AB为24米，
AD=BD=12米，
在中，由勾股定理可得122+（r-4）2=r2，
解得：r=20，
这个弧形石拱桥设计的半径为20米.
故答案为：20.
【分析】先确定石拱桥的圆心O，连接AO，设半径AO=r米，则OD=（r-4）米，利用垂径定理得到AD=BD=12米，再利用勾股定理建立方程求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，设BC交EF于点H，
∠ACB=90°，
∠A+∠B=90°，
CD⊥AB，
∠A+∠ACD=90°，
∠B=∠ACD，
由平移的性质可知，DF=CE=1cm，DF∥CE，CD∥EF，GF=AD，
四边形CDFE是矩形，
∠BFH=∠CDA=90°，
BF=CD，∠B=∠ACD，
，
HF=AD，
设HF=AD=GF=xcm，
则BF=CD=EF=AB-DF-x=（1-x）cm，
EH=EF-HF=1-x-x=（1-2x）cm，
DF∥CE，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
.
故答案为：.
【分析】设BC交EF于点H，先证∠B=∠ACD，再证四边形CDFE是矩形，进而可证明，则HF=AD，设HF=AD=GF=xcm，则BF=CD=EF=AB-DF-x=（1-x）cm，然后利用DF∥CE，证明，得出，即，解分式方程并作出取舍即可解答.
16．【答案】（1）45-α
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰直角三角形；三角形的综合；求正切值
【解析】【解答】解：（1），，
∠BCF=90°-α，
关于直线BE对称的点为C'，
∠BC'C=∠BCF=90°-α，
∠BC'F=180°-∠BC'C=180°-（90°-α）=90°+α，
是等腰直角三角形，
∠A=45°，
∠BFC'=∠A+∠ACF=45°+α，
∠FBC'=180°-∠BC'F-∠BFC'=180°-（90°+α）-（45°+α）=45°-2α，
故答案为：45-α.
（2）设， 如图所示，作Rt，使∠C=90°，∠A=α，在AC上去点D，使得DA=DB，过点D作DE⊥AB，
DA=DB，
∠DBA=∠A=α，
∠BDC=∠DBA+∠A=2α，
设DE=x，则AE=3x，AB=2AE=6x，
由勾股定理可得
设BC=y，则AC=3y，
BC2+AC2=AB2，
10y2=36x2，
，
，
，
；
如图2所示，延长BC'交AC于点H，过点H作HG⊥AB于点G，
由（1）知∠FBC'=45°-2α，
∠CBH=45°-∠FBC'=45°-（45°-2α）=2α，
，
可设AC=BC=4t，则CH=3t，AH=4t-3t=t，，
∠A=45°，HG⊥AB，
易得，
故答案为：.
【分析】（1）先由，，可得∠BCF=90°-α，根据对称的性质可得∠BC'C=∠BCF=90°-α，则∠BC'F=90°+α，再根据三角形的外角性质得45°+α，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）设， 根据 ，如图1构造含2α的直角三角形可求得，在图2中延长BC'交AC于点H，过点H作HG⊥AB于点G，先证∠CBH=2α，则可设AC=BC=4t，得出CH=3t，AH=4t-3t=t，，然后用含t的式子表示出HG和BG的长，即可得到的值.
17．【答案】（1）解：原式=
（2）解：
【知识点】分式的约分；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数混合运算法则（含乘方）；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，特殊三角函数值，再计算加减即可；
（2）根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，得，再因式分解，约分即可.
18．【答案】（1）证明： BD平分，
∠ABD=∠CBD，
AB=BC， BD=BD，
（SAS）.
（2）解：由（1）有，
CD=AD=，
∠ADC=90°，
，
AB=BC，BD平分，
BD⊥AC，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积；角平分线的应用
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，再利用SAS证求证即可；
（2）由（1）有，则CD=AD=，根据勾股定理计算出AC的长，再证BD⊥AC，然后计算四边形ABCE的面积即可.
19．【答案】（1）解：如图所示，作平行四边形ABEC，连接AE交BC于点D，线段AD即为所求.
（2）解：由图可知，，
如图所示，作AP∥BC，且AP=AB=5，
AP=AB，
∠ABP=∠P，
AP∥BC，
∠CBP=∠P，
∠ABP=∠CBP，
线段BP即为所求.
【知识点】数学思想；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）构造平行四边形即可解决问题；
（2）作AP∥BC，且AP=AB=5，即可解决问题.
20．【答案】（1）80；100
（2）解：由表可知，A班的平均分为85，B班的平均分为85，
A班的方差，
B班的方差，
，
A班派出的代表队选手成绩较为稳定.
（3）两个班级的平均分相同，从中位数和方差来看，A班成绩较好，可推选A班.（答案不唯一，合理即可）
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）将B班5名选手的成绩按从小到大排列为：70、75、80、100、100，最中间的数是80，中位数a=80.故答案为：80.
100出现的次数最多，众数b=100.故答案为：100.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差计算公式计算出两个班级的方差，再根据方差越小，成绩越稳定判断即可；
（3）从中位数和方差来看，A班成绩较好，可推选A班.（答案不唯一，合理即可）
21．【答案】（1）解： 点在二次函数的图象上 ，
当时，（-2）2-2m-3=12+m-3，
解得：m=1，
二次函数的表达式为y=x2+x-3.
（2）解：把点 代入 ，
得p=4-2m-3=1-2m，q=1+m-3=m-2，
，
1-2m解得：m>1，
若时，的取值范围为m>1.
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据，可知当x=-2，x=1时，对应的函数值相同，据此列式求解即可；
（2）把点 代入 中，得出p=1-2m，q=m-2，再根据，列出不等式求解即可.
22．【答案】（1）证明： CE平分，
∠ACE=∠ECD，
，
∠ACE=∠B，
∠ECD=∠B，
CD∥AB，
∠ECD=∠EFB，
∠B=∠EFB，
EF=EB.
（2）解：如图所示，连接BC，过点C作CH⊥AB于点H，
AB为直径，
∠ACB=90°，
，
BC=8，
∠ACE=∠ABE，∠AFC=∠BFE（对顶角相等），
，
AF=AC=6，
HF=AF-AH=，FB=AB-AF=4，
在中，由勾股定理可得，
又，
EC=EF+CF=，
CD∥AB，
，
.
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得∠ACE=∠ECD，再根据圆周角定理得∠ACE=∠B，则∠ECD=∠B，再根据平行线的性质得∠ECD=∠EFB，则∠B=∠EFB，最后根据等腰三角形的性质求证即可；
（2）连接BC，过点C作CH⊥AB于点H，先根据勾股定理求得BC=8，在根据锐角三角函数的定义得进而可得在证，则AF=AC=6，进而可得，再由求出EF，EC的长，最后利用，即可得到.
23．【答案】解：任务1：由题易得，四边形ADBE是矩形，
AE=DB=5.5米，BE=AD=1.65米，∠CEA=90°，
在A点测C点的仰角为75°，
∠CAE=75°，
在中，，
米，
BC=CE+BE=20.35+1.65=22米，
第一次大喊时泉水所能达到的高度BC的值为22米.
任务2：依题可设泉水高度与响度(分贝)之间函数关系式为h=kx（k≠0），
由（1）可知，当x=66时，h=22，
，
解得：，
泉水高度与响度(分贝)之间函数关系式为.
任务3： 大致图象如下图所示，
由图像可知，x与t大致满足二次函数关系，且函数图象经过原点，
设x与t的函数关系式为x=at2+bt，
把（1.5，36），（2，64）代入函数关系式得，
解得，
x与t的函数关系式为x=16t2.
任务4：由任务2，任务3可知，，x=16t2，
若该泉水从泉口喷射至50米，
则
解得：.
该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间为3.1秒.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：先根据条件判定四边形ADBE是矩形，则AE=DB=5.5米，BE=AD=1.65米，∠CEA=90°，再利用求出CE的长，然后利用BC=CE+BE，代入数据计算即可；
任务2：设h=kx（k≠0），把x=66，h=22，代入h=kx中，求出k的值即可得到函数表达式；
任务3：根据表格中数据描点，连线即可；结合所画图像，x与t的函数关系式为x=at2+bt，利用待定系数法求函数的表达式即可；
任务4：由，x=16t2，得再把h=50代入计算即可解答.
24．【答案】（1）证明：，
∠AFB=90°，
点是弦的中点，
，
∠AFE=∠A，
四边形内接于，
∠A+∠BCD=180°，
∠DCF+∠BCD=180°，
∠A=∠DCF，
∠AFE+∠CFE=90°，
∠DCF+∠CFE=90°，
∠FGC=90°，
.
（2）解：由（1）知∠AFE=∠A=∠DCF，
，
，，
，
如图所示，过点B作BP⊥EF于点P，
CD⊥EF，BP⊥EF，
CD∥BP，
点是的中点，
.
（3）解：，理由如下：
如图所示，连接AO并延长交 于点T，连接TD，TB，OE，
点O、E分别是AT、AB的中点，
，
AT是 的直径，
∠ADT=90°，
∠AFB=90°，
BF∥DT，
∠CBD=∠TDB，
，
CD=BT，
.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理得∠AFB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，则∠AFE=∠A，再根据圆内接四边形对角互补得∠A+∠BCD=180°，进而可得∠A=∠DCF，再利用∠AFE+∠CFE=90°，得出∠DCF+∠CFE=90°，即可得出结论；
（2）由∠AFE=∠A=∠DCF，，可得，，进而可得，过点B作BP⊥EF于点P，先证CD∥BP，进而可证根据相似三角形的性质可得再根据中点的性质得到进而可得；
（3），连接AO并延长交 于点T，连接TD，TB，OE，先根据中位线定理得，再根据圆周角定理得∠ADT=90°，进而可证BF∥DT，则∠CBD=∠TDB，据此可得CD=BT，由此即可得出结论.
1 / 1浙江省温州市2024年九年级数学八校联考学生素养检测中考模拟试卷
1．（2024·温州模拟）某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是其中最低气温是（ ）
A．5℃ B．0℃ C．-22℃ D．-10℃
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-22℃<-10℃<0℃<5℃，
这四个城市的最低气温是-22℃.
故答案为：C.
【分析】先比较有理数的大小，再作出判断即可.
2．（2024·温州模拟）据报道，温州市图书馆每年的暑期月人流量大约可达391000人次，数据391000用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 391000=3.91×105.
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法表示较大的正数时， 一般形式为a×10n，其中，n为正整数，正确数出移动的小数点的位数即可解答.
3．（2024·温州模拟）三个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为
故答案为：C.
【分析】根据从上面看得到的图形是这个几何体的俯视图判断即可.
4．（2024·温州模拟）一元一次不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： ，
去括号得：2x+2≤4，
移项得：2x≤4-2，
x≤1，
一元一次不等式的解集在数轴上表示为
.
故答案为：A.
【分析】先解不等式，再根据解集找出正确的选项即可.
5．（2024·温州模拟）一个不透明的袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，它们除颜色外其余均相同。现从中随机摸出一球，记下颜色后不放回搅匀，如此继续.根据表，小明在摸完两次后，第三次摸到红色的概率是（ ）
次数 第一次摸球 第二次摸球 第三次摸球
颜色 红色 红色 ？
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题可知， 袋子内装有3个红球，2个黄球，1个蓝球， 共有6个除颜色外其余均相同球，
由表格可知，第一次、第二次摸出的都是红球，
袋子内剩余6-2=4（个），袋子内红球剩余3-2=1（个），
第三次摸到红色的概率是.
故答案为：B.
【分析】先根据表格求出袋子内剩余小球的个数和红球剩余的个数，再根据概率公式计算即可.
6．（2024·温州模拟）如图，已知点A(-1，0)，B(0，2)，A与A'关于y轴对称，连结A'B，现将线段A'B以A'点为中心顺时针旋转90°得A'B'，点B的对应点B'的坐标为( )
A．(3，1) B．(2，1) C．(4，1) D．(3，2)
【答案】A
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点B'作B'C⊥于x轴，
点A(-1，0)，A与A'关于y轴对称，
A'（1，0），即OA'=1，
点B(0，2)，
OB=2，
线段A'B以A'点为中心顺时针旋转90°得A'B'，
A'B=A'B'，
∠BA'O+∠B'A'C=90°，∠BA'O+∠A'BO=90°，
∠B'A'C=∠A'BO，
又∠A'OB=∠B'CA'=90°，
，
A'C=OB=2，CB'=OA'=1，
OC=OA'+A'C=1+2=3，
点B'的坐标为 (3，1) .
故答案为：A.
【分析】过点B'作B'C⊥于x轴，先根据题意得出OA'=1，OB=2，再利用AAS证明，得到A'C=OB=2，CB'=OA'=1，进而可得点B'的坐标.
7．（2024·温州模拟）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD为5尺，不知其深AD。立5尺长的木CE于井上，从木的末梢点观察井水水岸处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少 （其中1尺寸）”根据译文信息，则井深AD为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题可得，CD=CE=5尺=50寸，CF=4寸，AD∥CE，
DF=CD-CF=50-4=46寸，
AD∥CE，
，
，
即，
AD= 575寸 .
故答案为：D.
【分析】由题可得，CD=CE=5尺=50寸，CF=4寸，AD∥CE，证明，利用相似三角形的对应边成比例得出，再代入数据计算即可得到答案.
8．（2024·温州模拟）如图，AB，DE是的直径，弦直径AB，连结BC，BE，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，∠BCD=α，
∠BED=∠BCD=α，
OB=OE，
∠OBE=∠BED=α，
∠BOD是的一个外角，
∠BOD=∠OEB+∠OBE=2α，
CD∥AB，
∠CDE=∠BOD=2α.
故答案为：A.
【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到∠BED=∠BCD=α，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得到∠BOD=2α，最后利用平行线的性质求解即可.
9．（2024·温州模拟）如图，在中，AG平分分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记或的面积分别为，若，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，
∠DAF=∠AGB，
AG平分 ，
∠DAF=∠BAG，
∠AGB=∠BAG，
BA=BG，
，
设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，
CD=BC-BG=x，
AB∥CD，
，
，
即，
AD∥BC，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】先根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，则∠DAF=∠AGB，再根据角平分线的定义得∠DAF=∠BAG，则BA=BG，进而可得BG=AB，设AB=2x，则BC=AD=3x，CD=BG=AB=2x，CD=BC-BG=x，证，根据相似三角形的性质得出，再证，根据相似三角形的性质得出再由，得出进而可得，据此即可得到答案.
10．（2024·温州模拟）已知，二次函数y=mx2-（2m+3）x+m+5与x轴有两个交点，且m为正整数，当t≤x≤4时，对应函数值y的取值范围是7-4t≤y≤2，则满足条件的t的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解： 二次函数y=mx2-（2m+3）x+m+5与x轴有两个交点，
m≠0且，
解得：且m≠0，
m为正整数，
m=1，
二次函数的表达式为y=x2-5x+6，
其对称轴，
当x=4时，y=2，当时，，
当t≤x≤4时， 对应函数值y的取值范围是7-4t≤y≤2，
当时，y随x的增大而增大，
当x=t时，y=7-4t，即t2-5t+6=7-4t，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，在处，取到最小值，
即，
解得：，
则满足条件的t的值是.
故答案为：B.
【分析】先根据二次函数与x轴有两个交点， 且m为正整数，得出m=1，从而得到函数表达式为y=x2-5x+6，则对称轴，再结合二次函数的性质分两种情况讨论，当时；当时，分别列式计算即可.
11．（2024·温州模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式= .
故答案为：a ( a 2 )
【分析】观察此多项式有公因式a，因此提取公因式，即可解答。
12．（2024·温州模拟）若分式的值为0，则的值为 .
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解： 分式的值为0，
x-1=0，且x-3≠0，
解得：x=1.
故答案为：1.
【分析】根据分式的值为零，则分子为零且分母不为零，列式求解即可.
13．（2024·温州模拟）已知一次函数与是常数，且的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是则分式方程的解是 ； .
【答案】1；-2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：两个函数的交点坐标分别是，
x1=1，x2=-2.
故答案为：1；-2.
【分析】直接根据两个函数的交点坐标分别是解答即可.
14．（2024·温州模拟）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁.如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米.
【答案】20
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理
【解析】【解答】解：由题可知，CD⊥AB，
圆心O在CD的延长线上，
如图所示，确定石拱桥的圆心O，连接AO，
设半径AO=r米，则OD=（r-4）米，
OC⊥AB， 跨度AB为24米，
AD=BD=12米，
在中，由勾股定理可得122+（r-4）2=r2，
解得：r=20，
这个弧形石拱桥设计的半径为20米.
故答案为：20.
【分析】先确定石拱桥的圆心O，连接AO，设半径AO=r米，则OD=（r-4）米，利用垂径定理得到AD=BD=12米，再利用勾股定理建立方程求解即可.
15．（2024·温州模拟）如图，在Rt中，，垂足为，现将沿着AB方向平移1cm得到，且此时，则CD的长度为 厘米.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，设BC交EF于点H，
∠ACB=90°，
∠A+∠B=90°，
CD⊥AB，
∠A+∠ACD=90°，
∠B=∠ACD，
由平移的性质可知，DF=CE=1cm，DF∥CE，CD∥EF，GF=AD，
四边形CDFE是矩形，
∠BFH=∠CDA=90°，
BF=CD，∠B=∠ACD，
，
HF=AD，
设HF=AD=GF=xcm，
则BF=CD=EF=AB-DF-x=（1-x）cm，
EH=EF-HF=1-x-x=（1-2x）cm，
DF∥CE，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
.
故答案为：.
【分析】设BC交EF于点H，先证∠B=∠ACD，再证四边形CDFE是矩形，进而可证明，则HF=AD，设HF=AD=GF=xcm，则BF=CD=EF=AB-DF-x=（1-x）cm，然后利用DF∥CE，证明，得出，即，解分式方程并作出取舍即可解答.
16．（2024·温州模拟）如图，在等腰Rt中，，若点是边AB上一点，是CD的中点，关于直线BE对称的点为交AB于点.
（1）若，则 度（用含的代数式表示）.
（2）若，则 .
【答案】（1）45-α
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰直角三角形；三角形的综合；求正切值
【解析】【解答】解：（1），，
∠BCF=90°-α，
关于直线BE对称的点为C'，
∠BC'C=∠BCF=90°-α，
∠BC'F=180°-∠BC'C=180°-（90°-α）=90°+α，
是等腰直角三角形，
∠A=45°，
∠BFC'=∠A+∠ACF=45°+α，
∠FBC'=180°-∠BC'F-∠BFC'=180°-（90°+α）-（45°+α）=45°-2α，
故答案为：45-α.
（2）设， 如图所示，作Rt，使∠C=90°，∠A=α，在AC上去点D，使得DA=DB，过点D作DE⊥AB，
DA=DB，
∠DBA=∠A=α，
∠BDC=∠DBA+∠A=2α，
设DE=x，则AE=3x，AB=2AE=6x，
由勾股定理可得
设BC=y，则AC=3y，
BC2+AC2=AB2，
10y2=36x2，
，
，
，
；
如图2所示，延长BC'交AC于点H，过点H作HG⊥AB于点G，
由（1）知∠FBC'=45°-2α，
∠CBH=45°-∠FBC'=45°-（45°-2α）=2α，
，
可设AC=BC=4t，则CH=3t，AH=4t-3t=t，，
∠A=45°，HG⊥AB，
易得，
故答案为：.
【分析】（1）先由，，可得∠BCF=90°-α，根据对称的性质可得∠BC'C=∠BCF=90°-α，则∠BC'F=90°+α，再根据三角形的外角性质得45°+α，然后利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）设， 根据 ，如图1构造含2α的直角三角形可求得，在图2中延长BC'交AC于点H，过点H作HG⊥AB于点G，先证∠CBH=2α，则可设AC=BC=4t，得出CH=3t，AH=4t-3t=t，，然后用含t的式子表示出HG和BG的长，即可得到的值.
17．（2024·温州模拟）
（1）计算：.
（2）化简：.
【答案】（1）解：原式=
（2）解：
【知识点】分式的约分；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数混合运算法则（含乘方）；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，特殊三角函数值，再计算加减即可；
（2）根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，得，再因式分解，约分即可.
18．（2024·温州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线AC，BD交于点G，BD平分，点是对角线BD上一点.
（1）求证：.
（2）若，求四边形ABCE的面积.
【答案】（1）证明： BD平分，
∠ABD=∠CBD，
AB=BC， BD=BD，
（SAS）.
（2）解：由（1）有，
CD=AD=，
∠ADC=90°，
，
AB=BC，BD平分，
BD⊥AC，
.
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积；角平分线的应用
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得∠ABD=∠CBD，再利用SAS证求证即可；
（2）由（1）有，则CD=AD=，根据勾股定理计算出AC的长，再证BD⊥AC，然后计算四边形ABCE的面积即可.
19．（2024·温州模拟）如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.
（1）在图甲中，画出的BC边上的中线AD.
（2）在图乙中，找一点，连结线段BP，使得BP平分.
【答案】（1）解：如图所示，作平行四边形ABEC，连接AE交BC于点D，线段AD即为所求.
（2）解：由图可知，，
如图所示，作AP∥BC，且AP=AB=5，
AP=AB，
∠ABP=∠P，
AP∥BC，
∠CBP=∠P，
∠ABP=∠CBP，
线段BP即为所求.
【知识点】数学思想；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-中线
【解析】【分析】（1）构造平行四边形即可解决问题；
（2）作AP∥BC，且AP=AB=5，即可解决问题.
20．（2024·温州模拟）某校举行“知礼·明理”知识问答竞赛，班、班各派出5名选手组成代表队参加比赛.两班派出选手的比赛成绩如图所示.
根据上图中信息，整理分析数据得到如下表格，
平均数/分 中位数/分 众数/分
A校 85 85 85
B校 85 a b
（1） ； ；
（2）计算两校比赛成绩的方差，并判断哪个学校派出的代表队选手成绩较为稳定.
（3）请你从平均数、众数、中位数、众数等数据分析，推选一个班级去参加区级比赛.
【答案】（1）80；100
（2）解：由表可知，A班的平均分为85，B班的平均分为85，
A班的方差，
B班的方差，
，
A班派出的代表队选手成绩较为稳定.
（3）两个班级的平均分相同，从中位数和方差来看，A班成绩较好，可推选A班.（答案不唯一，合理即可）
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】（1）将B班5名选手的成绩按从小到大排列为：70、75、80、100、100，最中间的数是80，中位数a=80.故答案为：80.
100出现的次数最多，众数b=100.故答案为：100.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据方差计算公式计算出两个班级的方差，再根据方差越小，成绩越稳定判断即可；
（3）从中位数和方差来看，A班成绩较好，可推选A班.（答案不唯一，合理即可）
21．（2024·温州模拟）已知，点在二次函数的图象上.
（1）当时，求此时二次函数的表达式.
（2）若时，求的取值范围.
【答案】（1）解： 点在二次函数的图象上 ，
当时，（-2）2-2m-3=12+m-3，
解得：m=1，
二次函数的表达式为y=x2+x-3.
（2）解：把点 代入 ，
得p=4-2m-3=1-2m，q=1+m-3=m-2，
，
1-2m解得：m>1，
若时，的取值范围为m>1.
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据，可知当x=-2，x=1时，对应的函数值相同，据此列式求解即可；
（2）把点 代入 中，得出p=1-2m，q=m-2，再根据，列出不等式求解即可.
22．（2024·温州模拟）如图，AB为直径，弦平分，分别交和AB于E，F的两点，连结EB，ED交AB于点.
（1）求证：.
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明： CE平分，
∠ACE=∠ECD，
，
∠ACE=∠B，
∠ECD=∠B，
CD∥AB，
∠ECD=∠EFB，
∠B=∠EFB，
EF=EB.
（2）解：如图所示，连接BC，过点C作CH⊥AB于点H，
AB为直径，
∠ACB=90°，
，
BC=8，
∠ACE=∠ABE，∠AFC=∠BFE（对顶角相等），
，
AF=AC=6，
HF=AF-AH=，FB=AB-AF=4，
在中，由勾股定理可得，
又，
EC=EF+CF=，
CD∥AB，
，
.
【知识点】圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定与性质；角平分线的概念；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得∠ACE=∠ECD，再根据圆周角定理得∠ACE=∠B，则∠ECD=∠B，再根据平行线的性质得∠ECD=∠EFB，则∠B=∠EFB，最后根据等腰三角形的性质求证即可；
（2）连接BC，过点C作CH⊥AB于点H，先根据勾股定理求得BC=8，在根据锐角三角函数的定义得进而可得在证，则AF=AC=6，进而可得，再由求出EF，EC的长，最后利用，即可得到.
23．（2024·温州模拟）【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣。当人们在泉边喊叫时，泉口便全涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长。
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度。如图1，当第一次大喊时，水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°.已知测角仪直立于地面，其高AD为1.65米，DB=5.5米.
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度BC的值。
(参考数据：)
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度与响度(分贝)之间恰好满足正比例函数关系。
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到关于的函数关系式为 ▲
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间(秒) 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度(分贝) 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度与时间之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，求出关于的函数关系式.
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米.
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间（精确到0.1秒）.
【答案】解：任务1：由题易得，四边形ADBE是矩形，
AE=DB=5.5米，BE=AD=1.65米，∠CEA=90°，
在A点测C点的仰角为75°，
∠CAE=75°，
在中，，
米，
BC=CE+BE=20.35+1.65=22米，
第一次大喊时泉水所能达到的高度BC的值为22米.
任务2：依题可设泉水高度与响度(分贝)之间函数关系式为h=kx（k≠0），
由（1）可知，当x=66时，h=22，
，
解得：，
泉水高度与响度(分贝)之间函数关系式为.
任务3： 大致图象如下图所示，
由图像可知，x与t大致满足二次函数关系，且函数图象经过原点，
设x与t的函数关系式为x=at2+bt，
把（1.5，36），（2，64）代入函数关系式得，
解得，
x与t的函数关系式为x=16t2.
任务4：由任务2，任务3可知，，x=16t2，
若该泉水从泉口喷射至50米，
则
解得：.
该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间为3.1秒.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：先根据条件判定四边形ADBE是矩形，则AE=DB=5.5米，BE=AD=1.65米，∠CEA=90°，再利用求出CE的长，然后利用BC=CE+BE，代入数据计算即可；
任务2：设h=kx（k≠0），把x=66，h=22，代入h=kx中，求出k的值即可得到函数表达式；
任务3：根据表格中数据描点，连线即可；结合所画图像，x与t的函数关系式为x=at2+bt，利用待定系数法求函数的表达式即可；
任务4：由，x=16t2，得再把h=50代入计算即可解答.
24．（2024·温州模拟）如图，已知四边形内接于，且，点是弦的中点，连结，延长相交于点，连结，与相交于点，与相交于点.
（1）求证：.
（2）若点是的中点，，求的值.
（3）连结，探究与之间的等量关系，并证明.
【答案】（1）证明：，
∠AFB=90°，
点是弦的中点，
，
∠AFE=∠A，
四边形内接于，
∠A+∠BCD=180°，
∠DCF+∠BCD=180°，
∠A=∠DCF，
∠AFE+∠CFE=90°，
∠DCF+∠CFE=90°，
∠FGC=90°，
.
（2）解：由（1）知∠AFE=∠A=∠DCF，
，
，，
，
如图所示，过点B作BP⊥EF于点P，
CD⊥EF，BP⊥EF，
CD∥BP，
点是的中点，
.
（3）解：，理由如下：
如图所示，连接AO并延长交 于点T，连接TD，TB，OE，
点O、E分别是AT、AB的中点，
，
AT是 的直径，
∠ADT=90°，
∠AFB=90°，
BF∥DT，
∠CBD=∠TDB，
，
CD=BT，
.
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理得∠AFB=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，则∠AFE=∠A，再根据圆内接四边形对角互补得∠A+∠BCD=180°，进而可得∠A=∠DCF，再利用∠AFE+∠CFE=90°，得出∠DCF+∠CFE=90°，即可得出结论；
（2）由∠AFE=∠A=∠DCF，，可得，，进而可得，过点B作BP⊥EF于点P，先证CD∥BP，进而可证根据相似三角形的性质可得再根据中点的性质得到进而可得；
（3），连接AO并延长交 于点T，连接TD，TB，OE，先根据中位线定理得，再根据圆周角定理得∠ADT=90°，进而可证BF∥DT，则∠CBD=∠TDB，据此可得CD=BT，由此即可得出结论.
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