浙江省2024-2025学年高二上学期期中专题复习 圆锥曲线解答题部分（含解析）

浙江省高二上学期期中专题复习
圆锥曲线部分
本资料以2023年浙江省各大市区期中考试题目汇编而成，旨在为学生期中复习理清方向！
1．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点M（），
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值.
2．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（、在轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，．
（i）求的值；
（ii）若，求面积的取值范围．
3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线的左右顶点分别为点，其中，且双曲线过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线分别交的左、右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交线段于点，点满足．证明：直线过定点，并求出该定点．
4．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线C的渐近线方程是，点在双曲线C上.
(1)求双曲线C的离心率e的值；
(2)若动直线l：与双曲线C交于A，B两点，问直线MA，MB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
5．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的倍．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过焦点F的直线l与椭圆C交于A、B两点，是椭圆的另一个焦点，若内切圆的半径，求直线l的方程．
6．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.
7．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆，、为椭圆的左右焦点，、为椭圆的左、右顶点，直线与椭圆交于、两点.
(1)若，求；
(2)设直线和直线的斜率分别为、，且直线与线段交于点，求的取值范围.
8．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，点分别是椭圆的左 右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点（在之间），直线交于点，记的面积分别为，求的取值范围.
9．（23-24高二上·浙江温州·期中）如图，已知椭圆的焦点为，，离心率为，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴，点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判定（为坐标原点）与的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
10．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知双曲线过点，它的渐近线方程是．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线交于两点，直线的倾斜角互补，求直线的斜率．
11．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知点，，平面内一动点满足直线与的斜率乘积为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线交轨迹于两点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，求坐标原点到直线的距离的取值范围．
12．（23-24高二上·浙江衢州·期中）若双曲线E：的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若，点C是双曲线上一点，且，求k，m的值．
13．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，且焦距为，动弦MN平行于x轴，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
14．（23-24高二上·浙江·期中）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.
15．（23-24高二上·浙江·期中）已知双曲线，斜率为k的直线l过点M.
(1)若，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；
(2)已知点，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m的值.
16．（23-24高二上·浙江·期中）已知椭圆的离心率为，左焦点F与原点O的距离为1，正方形PQMN的边PQ，MN与x轴平行，边PN，QM与y轴平行，，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中垂线为l.已知直线AB的斜率为k，且.
(1)若直线l过点P，求k的值;
(2)若直线l与正方形PQMN的交点在边PN，QM上，l在正方形PQMN内的线段长度为s，求的取值范围.
17．（23-24高二上·浙江·期中）已知是椭圆C：的一个焦点，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线与椭圆C分别相交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围
参考答案：
1．(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线的方程为,
代入,,得,解得,
所以双曲线的方程为．
（2）由,得,
设,,,,
则中点坐标为,,
由韦达定理可得,
所以,
所以中点坐标为,
因为点在圆上，
所以,解得．
2．(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）由于椭圆的离心率为，故，
又，所以，，，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆Ｃ于、两点（、在轴的两侧），
故直线的的斜率不为，直线的方程为，
联立，则，
则，
设，，则，，
又，，
故，
同理 ．
（ii）因为，则，．
又直线交与轴不垂直可得，所以，即．
所以，，
于是，
，
整理得，解得或，
因为、在轴的两侧，所以，，
又时，直线与椭圆有两个不同交点，
因此，直线恒过点，
此时，，
，
设，由直线交与轴不垂直可得，
故，
因为在上为减函数，
所以面积的取值范围为.
3．(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）由，则，
又，则，
所以，
故双曲线的方程为：.
（2）如图，

由，则方程为，
显然直线DE的斜率存在，设直线方程为：，
则，则，
由，则，
则，
，
联立，
则，
则
所以，
故，
故过定点.
4．(1)2
(2)是，3
【详解】（1）由双曲线C的渐近线方程是，故设C：，
因为在双曲线C上，所以，所以：，
所以，，所以，所以；
（2）设，，联立得，
则得且，，，
又，
，
所以
.
即直线MA，MB的斜率之和是3.
5．(1)
(2)
【详解】（1）由题可得，焦点在x轴上，，，
，解得，，
所以椭圆：.
（2）设，，设直线的方程为，
的根为，，
，，且，
又∵，，
∴，
所以直线的方程为：.

6．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由离心率可得，
将点代入椭圆方程可得，又；
解得，
所以椭圆C的方程为
（2）设点，，则，直线的方程为，
直线与椭圆联立，消去，得，
则可得，，
易知，得
由题意，直线的方程为，
令，所以点的横坐标，
所以直线与轴交于定点
7．(1)
(2)
【详解】（1）解：设、，
当时，直线的方程为，
联立直线与椭圆方程，可得，
，由韦达定理可得，，
所以，.
（2）解：联立直线与椭圆方程，消去，得，
则，解得，
设、，由韦达定理可得，，

因为
，
易知，直线交线段于点，则，可得，
所以，.
8．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知离心率为，
将点代入椭圆方程可得，又，
解得；
所以椭圆方程为
（2）易知，
设直线的方程为，，且，
联立直线和椭圆方程，整理可得，
，可得，
且
可得直线的方程为，
直线的方程为，
解得
点到直线的距离为
所以的面积为
的面积为；
所以，
又可得，
即可得的取值范围是.
9．(1)
(2)面积和为定值，定值为
【详解】（1）
设椭圆方程为，焦距为，则，，
所以，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意得，，直线：，
设点，，，则①，
直线：，令，则，
所以，
直线：，令，则，
所以，
，
由①得，所以.
10．(1)
(2)
【详解】（1）若双曲线焦点在轴上，设方程为，
则有，解得，所以双曲线方程为；
若双曲线焦点在轴上，设方程为，
则有，无解；
综上双曲线方程为.
（2）易知，直线的斜率一定存在，设方程为，
联立，消去可得，，
，可得，
由韦达定理可得，，
，
，
因为直线的倾斜角互补，
所以,
即，
即
，
整理得，，解得或，
时，直线为过定点，不满足题意，
所以.
11．(1)
(2)
【详解】（1）设，则且
化简得.
（2）如图，设，
若，则关于轴对称，有，不合题意
故，同理可知，故
由化简整理可得
所以，且
由可知，故即
于是解得，满足
坐标原点到直线的距离.
12．（1）．（2）
【详解】(1)由得 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得 (1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
因为直线与双曲线右支交于A,B两点,所以.
即,即,即k的取值范围是．
(2)由①得,
所以.
整理得,所以或,又,所以,
所以x1＋x2＝,y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3,y3),由得(x3,y3)＝m(x1＋x2,y1＋y2)＝,因为点C是双曲线上一点,所以80m2－64m2＝1,
得,故.
13．(1)
(2)存在，3
【详解】（1）因为焦距为，所以，由椭圆的对称性得．
又因为，所以．则，．
所以椭圆E的方程为.

（2）设，又，则，
故直线AP的方程为：，代入方程并整理得：．
由韦达定理：即，∴
同理可解得：，，∴
故直线CD的方程为，即，
化简可得：，
直线CD恒过定点．
∴，
因为，，
所以

14．(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）
由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，
所以曲线C的方程为.
（2）设，联立，得，
且，则，故，所以，
所以，又，即，不满足，
所以不存在满足要求的直线l.

15．(1)或；
(2).
【详解】（1）
由题设，设直线，联立双曲线，得，
所以，
当，即时，直线与双曲线只有一个交点，
当，交点为；当，交点为；
当，此时，则，
当，切点为；当，切点为；
综上，或.

（2）由题设直线，
联立双曲线方程，得，则，
故，所以①，
设，则，，
由
又，，
为定值，
所以，此时为定值.

16．(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，
由题意可得：，解得，所以椭圆.
因为，则直线，，
联立方程，消去y得，
则，
可得，
则，，
即线段AB的中点为，
所以直线，即，
若直线l过点，则，整理得，
对于，则，即无解，
由，解得.
（2）由（1）可知：直线，
令，可得，即直线l与PN的交点坐标为，
令，可得，即直线l与QM的交点坐标为，
由题意可得：，解得，
可得，
，
则，
可得，
令，则，
可得，
因为在内单调递增，且，可得，
则，可得，
即，可得.
所以的取值范围.
17．（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为，
即，所以，
又因为，可得，
所以椭圆C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意．
故设直线l的方程为，
联立方程组，可得，
则，
所以，
因为，可得，所以，
又由，可得，所以，解得或，
综上可得，直线的斜率的取值范围是.