八一中学2023—2024学年第二学期高一年级期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.65
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）＝（ ）
A．﹣1+i B．1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i
A． B． C． D．
3．在△ABC中，已知，则sinA＝（ ）
A． B．± C． D．
4．若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝30°，则A＝（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90°
6．如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
8．已知则（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部是
B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是
D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
10．如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，
，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ）
A．有7个面 B．有13条棱
C．有7个顶点 D．直线BD直线EF
11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数图象关于直线对称
C．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象
D．在上恰有3个零点，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，则y＝ ．
13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，
且，，，则该平面图形的高为 ．
14．如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴正方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y），向量的斜坐标为（x，y）．给出以下结论：
①若θ＝60°，P（2，﹣1），则||＝；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2），则；
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③若P（x，y），λ∈R，则λ；
④若，，则；
其中所有正确的结论的序号是___________
四、本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
16.（本小题满分15分）
已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）当时，求函数f（x）的最小值及相应的x的值．
17.（本小题满分15分）
在中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a=6，，且．
(1)求c的值；
(2)求b的值；
(3)求的值．
18.（本小题满分17分）
如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点.
(1)若，求；
(2)设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当时，求四边形的面积.
19.（本小题满分17分）
的内角，，C的对边分别为，，，已知，，．
（1）求角和边长；
（2）设D为BC边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．2024年05月15日高中数学卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知i为虚数单位，计算i（1+i）＝（ ）
A．﹣1+i B．1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i
【解答】解：i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，
故选：A．
A． B． C． D．
【详解】已知向量，，则，因此，.
故选：B.
3．在△ABC中，已知，则sinA＝（ ）
A． B．± C． D．
【解答】解：∵△ABC中，cosA＝，∴sinA＝＝，
故选：D．
4．若均为单位向量，且满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设向量的夹角为θ，θ∈[0，π]，
，则，
∵均为单位向量，
∴1+2×1×1×cosθ＝0，解得cos，解得．
故选：B．
5．在△ABC中，已知AC＝1，BC＝，B＝30°，则A＝（ ）
A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或90°
【解答】解：∵AC＝1，BC＝，B＝30°，
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∴由正弦定理，可得：sinA＝＝＝，
∵A∈（30°，180°），
∴A＝60°，或120°．
故选：C．
6．如图，在中，为边的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】为的中点，，
．
故选：D.
7．将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A． B．π C． D．
【详解】将函数的图象向左平移m个单位，
得的图象，
因为的图象关于原点对称，
所以，即，
当时，得，
使，，的整数不存在.
故选：D
8．已知，′，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：，
∴cosαcos+sinαsin+sinα＝，
即cosα+sinα＝，
∴（cosα+sinα）＝，
∴cos（α﹣）＝，
∴cos（α﹣）＝；
又，
∴＝cos[（α﹣）+π]＝﹣cos（α﹣）＝﹣．
故选：A．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）
A．复数z的虚部是
B．|z|＝1
C．复数z的共轭复数是＝i
D．复数z的共轭复数对应的点位于第四象限
【解答】解：复数＝＝，
复数z的虚部为，故A错误，
|z|＝，故B错误，
，故C正确，
复数z的共轭复数对应的点（），位于第四象限，故D正确．
故选：CD．
10．如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则（ ）
A．有7个面 B．有13条棱
C．有7个顶点 D．直线BD直线EF
【详解】对于A，由图可知，有面，面，面，面，面，
面，面共7个，故A正确；
对于C，有顶点共8个，故C错误；
对于B，有棱，共13条棱，故B正确；
对于D，取中点，连接，，则可得，，
因为，则为中点，且为中点，
则，，
所以直线EF直线BD，故D正确；
故选：ABD
（多选）11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数图象关于直线对称
C．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象
D．在上恰有3个零点，则实数的取值范围是
【详解】由图可得，，则，
有，即，
由，故，即，
对A：由，故A错误；
对B：令，解得，故B正确；
对C：把函数的图象向左平移个单位长度，
可得，故C正确；
对D：当时，，
则有，即，故D错误.
故选：BC
三．填空题（共3小题）
12．已知（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，则y＝ 1 ．
【解答】解：由（x+y﹣3）+（x﹣2）i＝0，得，解得．
故答案为：1．
13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 .
【详解】由直观图可得如图所示的平面图，
该平面图形是直角梯形，其高为.
故答案为：.
14．如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是x轴，y轴正方向的单位向量），则P点的斜坐标为（x，y），向量的斜坐标为（x，y）．给出以下结论：
①若θ＝60°，P（2，﹣1），则||＝；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2），则；
③若P（x，y），λ∈R，则λ；
④若，，则；
其中所有正确的结论的序号是 ①②③ ．
【解答】解：①∵θ＝60°，P（2，﹣1），
∴||＝＝＝，故①正确；
②∵P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴＝+＝（x1+x2）+（y1+y2），
∴，故②正确；
③∵P（x，y），λ∈R，
∴＝＝，
∴λ，故③正确；
④＝（） （）＝x1x2+y1y2+（x1x2+y1y2）（），故④错误；
故答案为：①②③．
四．解答题（共6小题）
15．已知向量，，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
(3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
【详解】（1）因为，，，．
（2），，
，， 解得．
（3）与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
16．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）当时，求函数f（x）的最小值及相应的x的值．
【解答】解（1）由，则函数最小正周期为；
（2）令，∴，
故函数f（x）的单调递增区间为；
（3）时，，则，
即x＝时f（x）取得最小值﹣2．
17.（本小题满分15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
(1)求c的值；(2)求b的值；(3)求的值．
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理，
即，
所以（负值已舍去）；
（3）由，，所以，
所以，
，
所以
.
18.（本小题满分17分）
如图，点，点A是单位圆与轴的正半轴的交点.
(1)若，求；
(2)设点为单位圆上的动点，点满足，，，求的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当时，求四边形的面积.
【详解】（1）由三角函数定义，可知，，
所以.
（2）由三角函数定义，知，
所以，
所以，
因为，所以，即，
于是，所以的取值范围是.
（3）当时，，即，
因为，所以解得或（此时不能构成四边形，舍去），
易知四边形为菱形，此时菱形的面积为.
19．的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．
【详解】（1）因为，∴
在中，由余弦定理得，∴
（2）由角分线性质知：，所以
过做垂直于点，
则
所以
（3）由题意可知：
，
∴，.
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