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八一中学2023—2024学年第二学期高二年级期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.5
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．5
3．在数列中，，，则（ ）
x 1 2 4
P
A．43 B．46 C．37 D．36
4．已知随机变量的概率分布如右表
则（ ）
A．1 B． C．11 D．15
5．某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，船速为10 km/h这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9．（多选）设复数，则（ ）
A．的实部为 B． C．的虚部为 D．
10．（多选）为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ）
A．游客中，青年人是老年人的2倍多
B．老年人的满意人数是青年人的2倍
C．到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D．到该地旅游的游客满意人数超过一半
11．（多选）已知函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
A．
B．满足的的取值范围为，
C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到图象的一条对称轴
D．函数与的图象关于直线对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式的第四项为 .
13．在中，内角所对的边分别为，且，，，则 .
14．如图，表面积为的球面上有四点，，，，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题共5小题，15小题13分，16，17小题各15分，18，19小题各17分。
15．已知函数在点处的切线的斜率为
(1)求；
(2)求的单调区间和极值．
16．本学期初，某校为检验高三学生网络学习的效果，对全校高三学生进行期初数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，，，，五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中的值；
(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和85%分位数；
(3)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率．
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点．
（1求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成角的正弦值．
18．已知数列，．
（1）求，；
（2）求的通项公式；
（3）设的前项和为，若，求．
19．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)参考答案：
1．A
【分析】根据题意，结合集合的交集的概念与运算，即可求解.
【详解】由集合，根据交集的定义可知.
故选：A．
2．B
【分析】先利用向量平行求出，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为，，且，所以，
，.
故选：B.
3．C
【分析】由递推公式用累加法公式求出，再求即可.
【详解】法一：由题得，
所以.
法二：由题，，
所以.
故选：C.
4．D
【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.
【详解】由，故，
则.
故选：D.
5．D
【分析】根据题意，由组合数公式计算出从人中选出人的情况，进而分两种情况讨论：选出的人中男女，男女，再结合古典概型可解．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【详解】根据题意，从8人中选出人，有种选法，
分种情况讨论：
①选出的人中有名男生和名女生，有种选法，
②选出的人中有名男生和名女生，有种选法，
则两队中均有男生的概率．
故选：D．
6．B
【解析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间.
【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为轴，正北方向为轴，
所以，圆，记从处开始被监测，到处监测结束，
所以，即，
因为到的距离为，
所以，所以监测时间持续小时，
故选：B.
【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：
（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系；
（2）根据题意写出直线与圆的方程；
（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.
7．D
【分析】利用等腰三角形的性质、双曲线的定义结合余弦定理计算即可.
【详解】由题意可知线段的中点为，且满足，则,
故为等腰三角形，
又，则为正三角形，
根据双曲线定义知，
设，则，
在中，由余弦定理知，
故选：D
8．D
【分析】作出函数以及的图象，确定函数的零点，然后数形结合，分类讨论，根据函数的零点个数，即可确定参数的取值范围，即得答案.
【详解】作出函数以及的图象，
的零点为0，的零点为，
由于函数恰有两个零点，
结合图象可知，当时，时，无零点，
当时，有零点为，
此时恰有两个零点，符合题意；
当时，时，有零点0，
当时，有零点为，
此时恰有三个零点，不符合题意；
当时，时，有零点0，
当时，有零点为，
此时恰有两个零点，符合题意；
当时，时，有零点0，
当时，没有零点，
此时恰有一个零点，不符合题意；
综合可知t的取值范围为，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的零点个数问题，要根据零点个数求解参数的范围，解答的关键是结合函数以及的图象，分类讨论，从而根据零点个数确定参数范围.
9．AB
【分析】根据复数除法求出，由复数的概念判断AC，根据共轭复数判断B，根据模的定义判断D.
【详解】因为，
所以的实部为，虚部为，，，
故选：AB
10．ACD
【分析】根据题意结合统计图表逐项分析判断.
【详解】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正确；
其中满意的青年人占总人数的，
满意的中年人占总人数的，
满意的老年人占总人数的，故B错误，C正确；
总满意率为，故D正确.
故选：.
11、
【解答】解：根据函数，，的部分图象，可得，
，．
再结合五点法作图，可得，，
故，故正确．
，即，，，
求得，，可得的取值范围为，，故正确；
将函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，
令，求得，不是最值，得到图象的一条对称轴肯定不是，故错误；
，，
故函数与的图象关于直线对称，故正确，
故选：．
12．
【分析】写出二项式的通项公式，代值计算即得.
【详解】的展开式的通项为，
令，得
故答案为：.
13．
【分析】利用正弦定理可得，结合大边对大角的性质可求得结果.
【详解】由正弦定理得：，
，，.
故答案为：.
14．
【分析】由已知可求得球的半径，可求得的面积，当到平面距离的最大值，计算三棱锥体积的最大值即可.
【详解】球的表面积为，球的半径为，
设的中心为， 则，且平面，
的外接圆半径，
连接并延长交于，则为的中点，且，
显然，而平面平面，平面平面，
平面，则平面，
令的外接圆圆心为，则平面，有，
又平面，平面，，
，平面，则平面，
平面，，
而平面平面，平面平面，
平面，则平面，
有，因此四边形为平行四边形，
则，，
的外接圆半径，
的外接圆上点到直线距离的最大值为，
而点在平面上的射影落在直线上，
于是到平面的距离最大值，
是等边三角形，外接圆半径为4，由正弦定理的边长为，的面积为，
棱锥体积的最大值为.
故答案为：
15．(1)
(2)的单调递增区间为、，的单调递减区间为，极大值，极小值.
【分析】（1）由求得；
（2）由确定的单调区间和极值．
【详解】（1），则， 解得；
（2）由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值.
16．(1)
(2)平均数为，85%分位数为
(3)
【分析】（1）根据频率之和为求得.
（2）根据平均数、百分位数的求法求得正确答案.
（3）根据分层抽样、古典概型的知识求得正确答案.
【详解】（1）由，
解得.
（2）该校高三学生期初数学成绩的平均数为.
前组的频率和为，
所以85%分位数为.
（3）分层抽样抽取的人中，的有人，记为.
的有人，记为，
从6人中任取2人，基本事件有，共种，
其中2人分数都在的有共种，
所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.
17、【解答】证明：（1）取中点，连接，，
为中点，为中点，
且，
又且，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
证明：（2），
，过作于点，，
，，
平面，
平面，平面平面；
解：（3）如图建系，
则，
，
设平面的一个法向量，
，
设与平面所成角为，
．
18、【解答】解：（1）当时，得；
当时，得．
（2）设，
整理得，
又，
解得
，又，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
，，
故的通项公式为．
（3）设，
设，则当时，；当时，；
当时，；当时，．
．
若，则或4047．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据条件列出方程组求解；
（2）设直线的方程为，根据已知条件，利用韦达定理和中点公式求得，，然后按照其横坐标是否相等，分别研究直线的方程，从而得到结论；
（3）求得△MNF2面积关于的表达式，然后利用换元思想，设转化为关于的函数，利用函数的单调性求解得到.
【详解】（1）因为椭圆经过点，
所以，因为与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，
所以，
所以，解得，
所以椭圆方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，则,
所以，
由中点坐标公式得，
将的坐标中的用代换，得的中点，
当时，所在直线为，
当时，，直线的方程为，
整理得，
令，可得，即有，
所以直线过定点，且为.
（3）方法一：面积为.
令，
由，，在上，∴递增，则在上递减，所以当，即时，取得最大值为，
则面积的最大值为.
方法二：，
则面积，
令，则，当且仅当，
即时，面积的最大值为.
所以面积的最大值为.
