(共38张PPT)
7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
【课程标准】
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．
新知初探·自主学习
教 材 要 点
知识点一 角度制与弧度制的定义
(1)角度制：用度作单位来度量角的制度称为________.角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．
(2)弧度制：长度等于________的圆弧所对的________为1弧度的角，记作________．以________为单位来度量角的制度称为弧度制．
知识点二 角的弧度数的计算
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则|α|＝_____．
角度制
半径长
圆心角
1 rad
弧度
知识点三 角度与弧度的互化
2π
2π
π
π
知识点四 一些特殊角与弧度数的对应关系
角度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 ____ ____ ____ ____ ____
0
π
2π
知识点五 扇形的弧长与面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝____________ l＝________
扇形的面积 S＝____________ S＝________＝________
αr
lr
αr2
状元随笔 在弧度制下的扇形面积公式S＝lr可类比哪种图形的面积公式加以记忆？
[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆．
基 础 自 测
1．1 080°等于( )
A．1 080 B．
C． D．6π
答案：D
解析：1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.
2．与角终边相同的角是( )
A． B．2kπ－(k∈Z)
C．2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
答案：C
解析：选项A中＝2π＋，与角终边相同，故A项错；2kπ－，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)之间的角为，故与有相同的终边，B项错；2kπ－，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为，与有相同的终边，故C项对；(2k＋1)π＋，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)之间的角为，故D项错．
3．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________．
6π
解析：扇形的面积为×62×＝6π.
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题型1 弧度制的概念及其应用
例1 (1)下列命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
【答案】 D
【解析】 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，A、B、C三项均为真命题．
由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．
(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
【解析】 330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，
即－，而75°＝75×＝，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
{θ|2kπ－<θ<2kπ＋，k∈Z}．
状元随笔 常用角的弧度数表示
1．终边相同的角
若α与β的终边相同，则β＝2kπ＋ α(k∈Z)，前后单位要一致．
2．象限角
第一象限角的集合：{α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}；
第二象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z}；
第三象限角的集合：{α|2kπ＋π<α<2kπ＋， k∈Z}；
第四象限角的集合：{α|2kπ＋<α<2kπ＋2π， k∈Z}．
3．坐标轴上的角
终边在x轴非负半轴上的角的集合为{α|α＝2kπ， k∈Z}；终边在x轴非正半轴上的角的集合为{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}；终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}；终边在y轴非负半轴上的角的集合为；终边在y轴非正半轴上的角的集合为；终边在y轴上的角的集合为；终边在坐标轴上的角的集合为.
方法归纳
弧度制与角度制的区别与联系
区别 ①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位
②定义不同
联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值
跟踪训练1 (1)下列各说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案：D
解析：由弧度的定义知，弧长等于半径的圆弧所对的圆心角即为一弧度的角，易知ABC正确．D中长度等于半径的弧所对的圆心角的大小为1弧度，故D错误．
(2)已知θ＝kπ＋(－1)k·，k∈Z，则角θ所在的象限为( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第二或第四象限
答案：A
解析：因为(－1)k＝
所以应分k＝2n(n∈Z)和k＝2n＋1(n∈Z)两种情况讨论．当k＝2n(n∈Z)时，θ＝2nπ＋，角θ在第一象限；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，θ＝2nπ＋，角θ在第二象限．
题型2 角度制与弧度制的转换
例2 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．
【解析】 (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z，0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．
α1＝－570°＝－＝－4π＋，
α2＝750°＝＝4π＋.
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝＝108°，设θ＝β1＋k·360°(k∈Z)，
由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k·360°<0°，
∴k＝－2或k＝－1，
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.
状元随笔 由题目可获取以下主要信息：
(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角，－；
(2) 终边相同的角的表示．
解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k·360°(k∈Z)的形式．
方法归纳
角度制与弧度制的转换中的注意点
(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．
(2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记．
(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法．
(4)判断角α终边所在的象限时，若α [－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2kπ＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限．
跟踪训练2 用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
解析：因为30°＝ rad，210°＝ rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|kπ＋<θ【思考探究】 1.用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．
教材反思
角度制与弧度制的比较
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十
进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“ rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
题型3 弧长公式与扇形面积公式的应用
例3 (1)已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积；
【解析】 已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm，
则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，
于是面积S＝lr＝×10＝(cm2)．
状元随笔 已知扇形的半径、圆心角， 把圆心角化为弧度制，利用扇形的弧长、面积公式算出即可．
(2)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 rad B．2 rad
C．3 rad D．4 rad
可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得．
【答案】 B
【解析】 设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得
则圆心角α＝＝2 rad.
(3)已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
可通过建立扇形面积的目标函数来求解．
【解析】 解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
则l＝20－2r，∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝＋25(0＜r＜10)．
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大，为25 cm2.
此时α＝＝＝2 rad.
∴当它的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.
跟踪训练3 (1)如果一扇形的圆心角为60°，半径等于3 cm，则该扇形的弧长为________cm，面积为________cm2;
解析：圆心角为60°，即等于，
由弧长公式可得l＝αr＝×3＝π，
由扇形面积公式可得S＝lr＝×π×3＝.
π
π
(2)(变条件)用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，
∴l＝30－2r，从而S＝·l·r＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－(r－)2＋.
∴当半径r＝ cm时，l＝30－2×＝15 cm，扇形面积的最大值是 cm2，这时α＝＝2 rad.
∴当扇形的圆心角为2 rad，半径为 cm时，面积最大，为 cm2.
方法归纳
弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr；(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
教材反思
释疑弧长公式及扇形的面积公式
(1)公式中共四个量分别为α，l，r，S，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．
(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①l＝α·r，α＝，r＝；②S＝αr2，α＝.
[易错点] 角度、弧度混用出错
错解：表示与30°角终边相同的角的集合时写成S＝{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}．
正解：应为或{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．
错因分析：同一个式子中，角度、弧度混用．
纠错心得：弧度制与角度制是表示角的两种制度，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱．人教B版高中数学必修第三册7.1.2-弧度制及其与角度制的换算-专项训练
一、选择题
1．－的角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为( )
A． B．－
C． D．－
3．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．67°30′化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是
D．化成角度是5°
4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
二、填空题
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.
6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0，2π)的形式是________．
7．已知一扇形的周长为＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．
三、解答题
8．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
9.已知一个扇形的周长是40，
(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；
(2)求扇形面积S的最大值．
[尖子生题库]
10．如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．则点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积分别为________.
参考答案
1．解析：因为－＝－－4π，
所以－与－的终边相同，为第四象限角．
答案：D
2．解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为×(－2π)＝－.
答案：B
3．解析：对于A，67°30′＝67.5°×＝，正确；
对于B，－＝－×＝－600°，正确；
对于C，－150°＝－150°×＝－，错误；
对于D，＝×＝15°，错误．
答案：AB
4．解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
答案：C
5．解析：如图所示，
所以A∩B＝[－4，－π]∪[0，π].
答案：[－4，－π]∪[0，π]
6．解析：－570°＝－rad＝－π rad，
－＝－4π＋.
答案：－4π＋
7．解析：设扇形的圆心角为α，则＋4＝2r＋2α.
又∵r＝2，∴α＝.
答案：
8．解析：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝，
∴S＝S扇形－S△AOB＝50.
9．解析：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则由题意得
解得
则α＝＝2(rad).
故扇形的圆心角为2 rad.
(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r＞0 r＜20，
故S＝lr＝(40－2r)·r(0＜r＜20)
＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，
故r＝10时，扇形面积S取最大值100.
10．解析：所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，
即2×＋1×＋×＝(dm).
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2).
答案： dm dm2
