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第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
自
主
预
习
探
新
知
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A
2
3
y=x3
y=x2
Y=x
2
y=x号
1
-3-2
y=x-1
-1
01
2
3
4
X
y=x-1
--1
1-2
F-3
y=x3新人教版高中数学必修第一册-3.3 幂函数-专项训练【原卷版】
基础巩固练
[2024·吉林模拟]“”是“函数在上是
增函数”的（ ）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. [2024·济南模拟]若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
3. [2024·成都模拟]若幂函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ ）.
A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数
4. [2024·新疆模拟]已知函数，则函数的图象大致是（ ）.
A. B. B
C. D. D
5. [2024·潍坊联考]已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和3，则该二次函数的单调递减区间为（ ）.
A. B. C. D.
6. [2024·东莞模拟]已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）.
A. B. 2 C. D. 1
7. [2024·苏州模拟]设函数的定义域为，若对于任意,，所有的点构成一个正方形区域，则实数的值为（ ）.
A. B. C. D.
8. [2024·绵阳模拟]若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
综合提升练
9. [2024·江苏联考]（多选题）若函数，且，则（ ）.
A. B.
C. D.
10. [2024·衡阳模拟]（多选题）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的是（ ）.
A. B.
C. , D. ,
11. [2024·开封模拟]已知函数,满足对任意的实数,，且，都有成立，则实数的取值范围为.。
12. [2024·蚌埠模拟]（双空题）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时， ；若对都有，则实数的取值范围为_______.
应用情境练
13. [2024·石家庄月考]已知函数，若的最小值为0，则
14. [2024·上海模拟]已知，设，则函数的值域为_______
创新拓展练
15. [2024·鞍山模拟]已知进行适当变换后得到的方程为，则二次函数的单调递增区间为_______
16. [2024·上饶月考]已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
新人教版高中数学必修第一册-3.3 幂函数-专项训练【解析版】
基础巩固练
[2024·吉林模拟]“”是“函数在上是
增函数”的（ A ）.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
[解析]若，则 的单调递增区间是,，且,，
所以函数 在 上是增函数，故充分性成立；
当 时，在 上是增函数，故必要性不成立.
故“”是“函数 在 上是增函数”的充分不必要条件.故选.
2. [2024·济南模拟]若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ B ）.
A. B.
C. D.
[解析]因为，所以二次函数 图象的对称轴为直线.
因为，所以，又，
所以.故选.
3. [2024·成都模拟]若幂函数在上单调递减，则下列说法正确的是（ C ）.
A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数
[解析]因为函数 为幂函数，所以，解得 或.
当 时，在 上单调递增，不满足题意，排除.
当 时，在 上单调递减，满足题意.
函数 在 和 上单调递减，但不是减函数，排除.
因为函数 的定义域关于原点对称，且，
所以 是奇函数，不是偶函数，故 正确，错误.故选.
4. [2024·新疆模拟]已知函数，则函数的图象大致是（ B ）.
A. B. B
C. D. D
[解析]因为，所以 的图象与 的图象关于 轴对称.
由 的解析式作出 的大致图象，如图所示，从而可得 的图象大致为 选项.故选.
5. [2024·潍坊联考]已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和3，则该二次函数的单调递减区间为（ A ）.
A. B. C. D.
[解析]因为二次函数 的图象与 轴交点的横坐标为 和3，
所以其对称轴方程为，又，所以该二次函数的单调递减区间为.故选.
6. [2024·东莞模拟]已知函数且的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ B ）.
A. B. 2 C. D. 1
[解析] 已知 且，对于函数，令，解得，此时， 定点.
令点 在幂函数 的图象上，
，，，则,,
故.故选.
7. [2024·苏州模拟]设函数的定义域为，若对于任意,，所有的点构成一个正方形区域，则实数的值为（ D ）.
A. B. C. D.
[解析]由已知可得.
因为，所以，解得，所以.
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得最小值，最小值为，
所以 在 处取得最大值，最大值为，
所以函数 在 处取得最大值，最大值为.
因为，且所有的点 构成一个正方形区域，
所以，所以.故选.
8. [2024·绵阳模拟]若函数有最小值，则实数的取值范围是（ B ）.
A. B.
C. D.
[解析]因为,,
,有最小值，
所以当 时，，显然 在 上单调递增，且，即 在 上没有最小值.
当 时，，易知 在 上必有最小值.
因为 在 上的图象是开口向上，对称轴为直线 的抛物线的一部分，
所以当 时，，易知，
故 不是 在 上的最小值，则 在 上没有最小值，不满足题意；
当 时，，
要使得 是 在 上的最小值，则，即，解得 或，所以.
综上所述，.故选.
综合提升练
9. [2024·江苏联考]（多选题）若函数，且，则（ AC ）.
A. B.
C. D.
[解析]由幂函数的性质知，在 上单调递增.
因为,所以，即，，
所以，故 正确；
令,，则，故 错误；
令，则由函数单调性的性质知，在 上单调递增，在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为，所以，即，则，故 正确；
令,，则，
所以，故 错误.故选.
10. [2024·衡阳模拟]（多选题）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的是（ BD ）.
A. B.
C. , D. ,
[解析]因为二次函数 的值域为，
所以 所以 解得，
所以
，
因为，，当且仅当,即 时取等号，
所以.
对于,，故 错误；
对于,，故 正确；
对于,令,，则，故 错误；
对于,，当且仅当 时，等号成立，，故 正确.故选.
11. [2024·开封模拟]已知函数,满足对任意的实数,，且，都有成立，则实数的取值范围为,.
[解析]因为对任意的实数,，且，都有 成立，所以对任意的实数,，且，恒成立，
即函数,,
,是 上的减函数.
令，则，要使 在 上单调递减，
则 在,上单调递增，
且函数,为减函数，
所以 解得，
所以实数 的取值范围为,.
12. [2024·蚌埠模拟]（双空题）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则当时， ；若对都有，则实数的取值范围为,.
[解析]因为 为定义在 上的奇函数，所以，解得.
当 时，，则，
因为 为奇函数，所以，所以.
当 时，为增函数，所以当 时，为增函数.
因为，所以 的图象关于直线 对称.
当 时,令，得，根据对称性可知，当 时，，可得,.
因为，所以，即 的周期为4，
所以 的解集为,,.
设，因为,，所以，,.
图象的对称轴为直线，且开口向下.
当 时，在 上单调递增，,,，解得；
当 时，,,，解得；
当 时，,,，解得；
当 时，在 上单调递减，,,，无解.
综上所述，实数 的取值范围为,.
应用情境练
13. [2024·石家庄月考]已知函数，若的最小值为0，则 .
[解析]由题意可知，当 时，恒成立，且存在，使得，不等式两边同时除以，可得，
整理得.
因为，所以，当且仅当 时，等号成立.
设,则 图象的对称轴方程为,
所以当，即 时，在 上单调递增，所以，不符合题意；
当，即 时，在,上单调递减，在,上单调递增，,解得.
综上所述，.
14. [2024·上海模拟]已知，设，则函数的值域为 .
[解析]由题意得,则，
即 的定义域为.
.
令，则，
因为函数 在 上单调递增，所以，
故函数 的值域为.
创新拓展练
15. [2024·鞍山模拟]已知进行适当变换后得到的方程为，则二次函数的单调递增区间为,.
[解析]， 两边同时取对数，得.
函数 进行线性变换后得到的方程为，
，，，即,
函数，
其图象开口向上，对称轴为直线，
函数 的单调递增区间为,.
16. [2024·上饶月考]已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
[解析]（1）由题意得,解得 或,又 是偶函数,所以，所以.
（2）,其图象的对称轴是直线,若 在 上不是单调函数,则,解得，所以实数 的取值范围为.8. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．
(Ⅰ)求证：平面AEC⊥平面PCD．
【答案】
(Ⅰ)证明：取AD中点为O，BC中点为F，
由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，
得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，
又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，
又CD FO，则CD⊥AE，
又E是PD中点，则AE⊥PD，
由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，
又AE 平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；
