5.2 等差数列——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练（含解析）

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5.2 等差数列——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练
一、选择题
1．在等差数列中,,则的值为( )
A.35 B.40 C.50 D.60
2．若，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
3．已知等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.182 B.128 C.56 D.42
4．设为等差数列的前n项和,若,则( )
A.10 B.15 C. D.5
5．已知为等差数列，为其前n项和.若，公差，，则m的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6．已知数列的前n项和为.若，，则( )
A. B. C. D.
7．已知等差数列中,,则公差d的值为( )
A. B.1 C. D.
8．已知等差数列的公差,前n项和为,,则( )
A.6 B. C. D.8
二、多项选择题
9．下列数列是等差数列的是( )
A.0，0，0，0，0，…
B.1，11，111，1，111，…
C.-5，-3，-1，1，3，…
D.1，2，3，5，8，…
10．已知等差数列的公差为-3,若,,则首项的值可能是( )
A.18 B.19 C.20 D.21
11．数列为等差数列，为其前n项和，已知，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．在等差数列中,,则______.
13．已知前n项和为的等差数列（公差不为0）满足，仍是等差数列，则通项公式___________.
14．在等差数列中,若,则__________.
四、解答题
15．记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前21项和.
16．已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
17．（1）已知数列的前n项和是,且,求的通项公式.
（2）已知正项数列的前n项和满足,求数列的通项公式.
18．已知等差数列中,,.
（1）求的通项公式;
（2）求的前n项和的最大值.
19．已知数列的前项和为，，，，其中为常数.
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：,,.
故选：D.
2．答案：B
解析：因为、、成等差数列,所以,即.故选B.
3．答案：D
解析：
4．答案：A
解析：由,可得,所以,
则.
5．答案：B
解析：由已知，得，
又，又，
所以，解得或（舍去）
故选：B.
6．答案：C
解析：由得：，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
故选：C.
7．答案：C
解析：等差数列中,,,
则即,
解得
故选C
8．答案：C
解析：.
9．答案：AC
解析：根据等差数列的定义可知A，C是等差数列.
故选：AC.
10．答案：BC
解析：由题意,得,所以.故选BC.
11．答案：AC
解析：由，可得，，解得，，故A正确，B错误，
，C正确，
，D错误，
故选：AC.
12．答案：3
解析：令等差数列的公差为d,由,得,
因此,所以.
故答案为：3.
13．答案：n
解析：设公差为d，则，，，，
，，或，而不合题意，故，.
故答案为：n.
14．答案：24
解析：因为在等差数列中,有,所以由,
得,,又,所以.
故答案为:24
15．答案：（1）；（2）211
解析：（1）设公差为d，由题设有，
解得，，
所以.
（2）由题设，
.
所以数列的前21项和为211.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以.
设的公差为d，所以，即，所以.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1），得.
所以，，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
所以数列的前n项和.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由可得,
当时,,
当时,,
经验证,当时也成立.
所以.
（2）①
,得.
②
②－①得：,即,
,,,…,,
.
经验证,当时也成立.
所以.
18．答案：（1）
（2）90
解析：（1）等差数列中,
,
,解得,,
的通项公式．
（2）,,
的前n项和．
当或10时,前n项和的最大值90.
19．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：（1）由题设，，.两式相减得，.
由于，所以.
（2）由题设，，，可得，由（1）知，.令，解得.
故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；
是首项为3，公差为4的等差数列，.
所以，.
因此存在，使得为等差数列.
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