5.4 数列的应用——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.4 数列的应用——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 709.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-15 15:39:50 | ||
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文档简介
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5.4 数列的应用——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练
一、选择题
1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈=十尺=一百寸）( ).
A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸
2．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为( ).
A.781万元，60万元 B.525万元，200万元
C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元
3．在等差数列中，，则此数列前13项的和是( )
A.13
B.26
C.52
D.56
4．数列满足，且与的等差中项是5，则( )
A.
B.
C.
D.
5．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第n个月的还款金额为元，则( )
A.2192 B. C. D.
6．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何 ”那么此女子每日织布增长( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
7．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
8．我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为( )
A.7年 B.8年 C.9年 D.10年
二、多项选择题
9．明代数学家程大位在《算法统宗》中编织了一个“九儿问甲歇”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知；自长排来差三岁，共年二百又零七；借问长儿多少岁？各儿岁数要详推.如果按儿子的岁数从大到小排列，假设公公20岁时生第一个儿子，则（ ）
A.第五个儿子岁数是23岁 B.最大儿子岁数为38岁
C.最小儿子岁数是11岁 D.生最小儿子时，公公是44岁
三、填空题
10．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最长一层长有个，宽有个，共有个木桶，每一层长宽比上一层多一个，假设最上层有长3宽2共6个大桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放9层，最底层的木桶个数为___________．
11．已知数列为正项的递增等比数列,,,记数列的前n项和为,则使不等式成立的正整数n的最大值为__________.
四、解答题
12．某公司的一个下属企业从事某种高科技产品的生产.该下属企业第一年年初有资金2000万元，将其全部投入生产，到当年年底资金增长了.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求该下属企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底该下属企业上缴资金后的剩余资金为万元.
（1）用d表示，，并写出与的关系式；
（2）若公司希望经过m年使该下属企业的剩余资金为4000万元，试确定该下属企业每年上缴资金d的值（用含m的式子表示）.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知：
从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为d，
冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，
，解得，，
芒种日影长为（寸）尺5寸.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元）.
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是（万元）.
故选：C.
3．答案：B
解析：由等差数列的性质可得，，代人已知可得，即，故此数列的前13项的和为.故选B.
4．答案：B
解析：由，得为公比为2的等比数列.又，解得，所以.故选B.
5．答案：D
解析：由题意可知每月应还的本金为2000元，张华第n个月的还款金额为元，
则.故选D.
6．答案：C
解析：设每日织布增长x尺，则，即，解得.
7．答案：B
解析：设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，，故公差，故，故选：B.
8．答案：B
解析：第一年年产量为，以后各年年产量为，，
当时也符合上式，．令，
得．设，对称轴为，
则当时，单调递增，又因为，，
则最大生产期限应拟定为8年，，
故选：B．
9．答案：ACD
解析：由已知得：九个儿子年龄从大到小构成公差为的等差数列，
设大儿子年龄为，则：，解得；
故，
则；
生最小儿子时，公公的年龄为.
故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
10．答案：110
解析：由题可知，最底层长为个木桶，宽为个木桶，
∴最底层共有个木桶，
故答案为：110．
11．答案：6
解析：因为数列为正项的递增等比数列,所以,
又,
所以,是关于方程的两根,
解得,,
所以或(舍去),
设公比为,则,解得或(舍去),
所以,所以,
所以,则,
所以,即,即,
又函数定义域上单调递增,,,,
所以,故正整数n的最大值为6.
故答案为:6
12．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，，
.
（2）由（1）得，
整理得.
由题意知，
所以，
解得.
故若希望经过m年使该下属企业的剩余资金为4000万元，则该下属企业每年上缴资金d为万元.
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5.4 数列的应用——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练
一、选择题
1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈=十尺=一百寸）( ).
A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸
2．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为( ).
A.781万元，60万元 B.525万元，200万元
C.781万元，200万元 D.1122万元，270万元
3．在等差数列中，，则此数列前13项的和是( )
A.13
B.26
C.52
D.56
4．数列满足，且与的等差中项是5，则( )
A.
B.
C.
D.
5．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第n个月的还款金额为元，则( )
A.2192 B. C. D.
6．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何 ”那么此女子每日织布增长( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
7．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
8．我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为( )
A.7年 B.8年 C.9年 D.10年
二、多项选择题
9．明代数学家程大位在《算法统宗》中编织了一个“九儿问甲歇”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知；自长排来差三岁，共年二百又零七；借问长儿多少岁？各儿岁数要详推.如果按儿子的岁数从大到小排列，假设公公20岁时生第一个儿子，则（ ）
A.第五个儿子岁数是23岁 B.最大儿子岁数为38岁
C.最小儿子岁数是11岁 D.生最小儿子时，公公是44岁
三、填空题
10．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最长一层长有个，宽有个，共有个木桶，每一层长宽比上一层多一个，假设最上层有长3宽2共6个大桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放9层，最底层的木桶个数为___________．
11．已知数列为正项的递增等比数列,,,记数列的前n项和为,则使不等式成立的正整数n的最大值为__________.
四、解答题
12．某公司的一个下属企业从事某种高科技产品的生产.该下属企业第一年年初有资金2000万元，将其全部投入生产，到当年年底资金增长了.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同.公司要求该下属企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底该下属企业上缴资金后的剩余资金为万元.
（1）用d表示，，并写出与的关系式；
（2）若公司希望经过m年使该下属企业的剩余资金为4000万元，试确定该下属企业每年上缴资金d的值（用含m的式子表示）.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意知：
从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为d，
冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，
，解得，，
芒种日影长为（寸）尺5寸.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题意知这五年投入的资金构成首项为81，公比为，项数为5的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元）.
由题意知这五年的旅游收入构成首项为20，公差为10，项数为5的等差数列，
所以这五年的旅游收入总额是（万元）.
故选：C.
3．答案：B
解析：由等差数列的性质可得，，代人已知可得，即，故此数列的前13项的和为.故选B.
4．答案：B
解析：由，得为公比为2的等比数列.又，解得，所以.故选B.
5．答案：D
解析：由题意可知每月应还的本金为2000元，张华第n个月的还款金额为元，
则.故选D.
6．答案：C
解析：设每日织布增长x尺，则，即，解得.
7．答案：B
解析：设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，且，，故公差，故，故选：B.
8．答案：B
解析：第一年年产量为，以后各年年产量为，，
当时也符合上式，．令，
得．设，对称轴为，
则当时，单调递增，又因为，，
则最大生产期限应拟定为8年，，
故选：B．
9．答案：ACD
解析：由已知得：九个儿子年龄从大到小构成公差为的等差数列，
设大儿子年龄为，则：，解得；
故，
则；
生最小儿子时，公公的年龄为.
故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
10．答案：110
解析：由题可知，最底层长为个木桶，宽为个木桶，
∴最底层共有个木桶，
故答案为：110．
11．答案：6
解析：因为数列为正项的递增等比数列,所以,
又,
所以,是关于方程的两根,
解得,,
所以或(舍去),
设公比为,则,解得或(舍去),
所以,所以,
所以,则,
所以,即,即,
又函数定义域上单调递增,,,,
所以,故正整数n的最大值为6.
故答案为:6
12．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得，，
.
（2）由（1）得，
整理得.
由题意知，
所以，
解得.
故若希望经过m年使该下属企业的剩余资金为4000万元，则该下属企业每年上缴资金d为万元.
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