5.5 数学归纳法——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.5 数学归纳法——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 960.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-15 15:42:12 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
5.5 数学归纳法——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练
一、选择题
1．用数学归纳法证明，，则当时，左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
2．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了( )
A. B.
C. D.
3．用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是( )
A. B. C. D.
4．用数学归纳法证明：的过程中,从到时,比共增加了( )
A.1项 B.项 C.项 D.项
5．用数学归纳法证明，当时，等式左边应在时的基础上加的项是( )
A. B. C. D.1
6．用数学归纳法证明时,从到,不等式左边需添加的项是( )
A. B.
C. D.
7．用数学归纳法证明“，则在从到的证明中，左边增加的项为( )
A.
B.
C.
D.
8．用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．对于不等式，某学生运用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.则上述证法（）
A.过程全部正确
B.时证明正确
C.过程全部不正确
D.从到的推理不正确
10．已知某个命题与自然数n有关，如果当时该命题成立，那么可得时该命题也成立，若已知时命题不成立，则下列说法中正确的是( )
A.时，该命题不成立
B.时，该命题不成立
C.时，该命题可能成立
D.时，该命题可能成立也可能不成立，但若时命题成立，则对任意，该命题都成立
三、填空题
11．用数学归纳法证明“已知n为正奇数,求证:能被整除”时,第二步假设当时命题为真后,需证________时命题也为真.
12．已知,用数学归纳法证明时,______________.
13．设,那么__________.
四、解答题
14．已知数列的前项和.
1.计算
2.猜想的表达式,并用数学归纳法证明你的结论
15．用数学归纳法证明：.
16．已知数列中，.
（1）求，，的值；
（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.
17．已知数列满足，当时，，其中k为给定正整数，求证:数列的各项均为整数
18．已知数列中，，.
（1）求，，，的值；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.
参考答案
1．答案：C
解析：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
左端应在的基础上加上.
故选：C.
2．答案：B
解析：用数学归纳法证明等式的过程中，
假设时不等式成立，左边，
则当 时，左边 ，
∴从到时，不等式的左边增加了.
故选：B.
3．答案：D
解析：从到，等式的左边需要增乘的代数式是
.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为,
所以,共项,
则共项,
所以比共增加了项,
故选：D.
5．答案：C
解析：等号左边加的项是.
故选：C.
6．答案：B
解析：不等式左边需添加的项是
.
故选：B.
7．答案：D
解析：当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，故在从到的证明中，左边增加的项是.故选D.
8．答案：D
解析：当时，左边为，
当时，左边为
所以增加的项为：
.
故选：D.
9．答案：BD
解析：易知当时，该学生的证法正确.从到的推理过程中，该学生没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确，故选BD.
10．答案：AD
解析：对于A，如果时成立，那么可推导得到成立，矛盾，故时，该命题不成立，故A正确；对于B，不能确定的情况，如果时成立，那么可得到成立，继续推导得到对任意，该命题都成立，故B错误；对于C，若时成立，则可得成立，继续推导得到成立，这与题设予盾，故C错误；D显然正确.故选AD.
11．答案：
解析:因为n为正奇数,所以时命题也为真.
12．答案：
解析：因为当时,,
当时,,
所以.
故答案为：.
13．答案：(或不化简也算对)
解析：
14．答案：1.依题设可得,,,
2.猜想: .
证明:①当时,猜想显然成立.
②假设时,猜想成立,即.
那么,当时, ,
即.又,
所以,从而.
即时,猜想也成立.故由①和②,可知猜想成立
解析：
15．答案：证明见解析
解析：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当（）时，等式成立，
即，
那么当时，
故当时，等式也成立.
综上可知等式对任意正整数n都成立.
16．答案：（1），，
（2）
解析：（1）因为，，
所以，
同理，，
即，，；
（2）猜想，
证明如下：
①当时，，显然满足题意，
②设，（且）时，，
则，
即当时，等式也成立，
综上可得.
17．答案：求证的内容是，这种题我们接触得不多，但方法都会，只要用两式相减法就可以解决了.
因为，，两式相减得，
所以，所以.所以.
又因为为整数，由数学归纳法易知为整数，此处不再详写，原命题得证.
解析：
18．答案：（1），，，
（2）见解析
解析：（1）因为，，所以，，，.
（2）根据（1）的就算结果，猜想数列的通项公式为.
下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立.
②假设当时，猜想成立，即有，
则当时，由归纳假设及，得，
即当时，猜想也成立.
综上所述，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
5.5 数学归纳法——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练
一、选择题
1．用数学归纳法证明，，则当时，左端应在的基础上加上( )
A. B.
C. D.
2．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了( )
A. B.
C. D.
3．用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是( )
A. B. C. D.
4．用数学归纳法证明：的过程中,从到时,比共增加了( )
A.1项 B.项 C.项 D.项
5．用数学归纳法证明，当时，等式左边应在时的基础上加的项是( )
A. B. C. D.1
6．用数学归纳法证明时,从到,不等式左边需添加的项是( )
A. B.
C. D.
7．用数学归纳法证明“，则在从到的证明中，左边增加的项为( )
A.
B.
C.
D.
8．用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．对于不等式，某学生运用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.则上述证法（）
A.过程全部正确
B.时证明正确
C.过程全部不正确
D.从到的推理不正确
10．已知某个命题与自然数n有关，如果当时该命题成立，那么可得时该命题也成立，若已知时命题不成立，则下列说法中正确的是( )
A.时，该命题不成立
B.时，该命题不成立
C.时，该命题可能成立
D.时，该命题可能成立也可能不成立，但若时命题成立，则对任意，该命题都成立
三、填空题
11．用数学归纳法证明“已知n为正奇数,求证:能被整除”时,第二步假设当时命题为真后,需证________时命题也为真.
12．已知,用数学归纳法证明时,______________.
13．设,那么__________.
四、解答题
14．已知数列的前项和.
1.计算
2.猜想的表达式,并用数学归纳法证明你的结论
15．用数学归纳法证明：.
16．已知数列中，.
（1）求，，的值；
（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.
17．已知数列满足，当时，，其中k为给定正整数，求证:数列的各项均为整数
18．已知数列中，，.
（1）求，，，的值；
（2）根据（1）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.
参考答案
1．答案：C
解析：当时，等式左端为，
当时，等式左端为，
左端应在的基础上加上.
故选：C.
2．答案：B
解析：用数学归纳法证明等式的过程中，
假设时不等式成立，左边，
则当 时，左边 ，
∴从到时，不等式的左边增加了.
故选：B.
3．答案：D
解析：从到，等式的左边需要增乘的代数式是
.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为,
所以,共项,
则共项,
所以比共增加了项,
故选：D.
5．答案：C
解析：等号左边加的项是.
故选：C.
6．答案：B
解析：不等式左边需添加的项是
.
故选：B.
7．答案：D
解析：当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，故在从到的证明中，左边增加的项是.故选D.
8．答案：D
解析：当时，左边为，
当时，左边为
所以增加的项为：
.
故选：D.
9．答案：BD
解析：易知当时，该学生的证法正确.从到的推理过程中，该学生没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确，故选BD.
10．答案：AD
解析：对于A，如果时成立，那么可推导得到成立，矛盾，故时，该命题不成立，故A正确；对于B，不能确定的情况，如果时成立，那么可得到成立，继续推导得到对任意，该命题都成立，故B错误；对于C，若时成立，则可得成立，继续推导得到成立，这与题设予盾，故C错误；D显然正确.故选AD.
11．答案：
解析:因为n为正奇数,所以时命题也为真.
12．答案：
解析：因为当时,,
当时,,
所以.
故答案为：.
13．答案：(或不化简也算对)
解析：
14．答案：1.依题设可得,,,
2.猜想: .
证明:①当时,猜想显然成立.
②假设时,猜想成立,即.
那么,当时, ,
即.又,
所以,从而.
即时,猜想也成立.故由①和②,可知猜想成立
解析：
15．答案：证明见解析
解析：①当时，左边，右边，等式成立.
②假设当（）时，等式成立，
即，
那么当时，
故当时，等式也成立.
综上可知等式对任意正整数n都成立.
16．答案：（1），，
（2）
解析：（1）因为，，
所以，
同理，，
即，，；
（2）猜想，
证明如下：
①当时，，显然满足题意，
②设，（且）时，，
则，
即当时，等式也成立，
综上可得.
17．答案：求证的内容是，这种题我们接触得不多，但方法都会，只要用两式相减法就可以解决了.
因为，，两式相减得，
所以，所以.所以.
又因为为整数，由数学归纳法易知为整数，此处不再详写，原命题得证.
解析：
18．答案：（1），，，
（2）见解析
解析：（1）因为，，所以，，，.
（2）根据（1）的就算结果，猜想数列的通项公式为.
下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立.
②假设当时，猜想成立，即有，
则当时，由归纳假设及，得，
即当时，猜想也成立.
综上所述，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)