6.2 利用导数研究函数的性质——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练（含解析）

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6.2 利用导数研究函数的性质——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练
一、选择题
1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．若，则的解集为( )
A. B. C. D.
3．已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示,则该函数的图象是( )
A. B.
C. D.
4．若函数在区间上是增函数，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5．已知函数在定义域内可导,的大致图象如图所示,则其导函数的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
6．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B. C. D.
7．函数的图象如图所示，则不等式的解集( )
A. B. C. D.
8．在给出的①;②;③三个不等式中,正确的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、多项选择题
9．若函数,在区间上单调,则实数m的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
10．函数,的导函数图象如图所示,下列结论中一定正确的是( )
A.的减区间是 B.的增区间是
C.有一个极大值点,两个极小值点 D.有三个零点
11．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极小值 D.函数在处取得最大值
三、填空题
12．设函数，则的单调递增区间为_________.
13．已知和分别是函数的极大值点和极小值点.若，则a的取值范围是________.
14．函数的单调增区间是________.
四、解答题
15．已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
16．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求m的值.
17．若函数，为函数的极值点.
（1）求b的值；
（2）求函数的极值.
18．已知函数
（1）若,求的增区间;
（2）若,且函数存在单调递减区间,求a的取值范围;
（3）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立.
参考答案
1．答案：A
解析：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与x轴有四个公共点，
在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有1个.
故选：A.
2．答案：C
解析：由得，，，
令且，
解得，
即的解集为.
故选：C.
3．答案：D
解析：图象可知,.
故函数在处,切线的斜率为0,
只有选项D满足条件.
故选：D.
4．答案：C
解析：由，可得，记，，
则，所以在单调递增，所以.
故选：C.
5．答案：A
解析：当时,单调递增,且切线的斜率在减小,则,且在单调递减,
当时,单调递增,且切线的斜率在增大,则,且在单调递增,
所以排除BCD,
故选：A.
6．答案：C
解析：根据导函数图象可知，函数在，上单调增，在上单调减，从而可得结论.解：根据导函数图象可知，函数在(上单调增，在上单调减，由此可知函数的图象在，取得极值，并且前者是极大值，后者是极小值，那么可知最有可能的是C，故选C.
7．答案：A
解析：由图可得，在上单调递增，上单调递减，上单调递增
所以当时，，当时，，
所以当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
所以不等式的解集为.
故选：A.
8．答案：B
解析：
9．答案：AC
解析：定义域为,;
由得函数的增区间为;
由得函数的减区间为;
因为在区间上单调,
所以或
解得或;
结合选项可得A,C正确.
故选:AC.
10．答案：BC
解析：结合导函数图象可知,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,函数的单调递减区间为,,单调递增区间为,,A错误,B正确,
所以函数在,时取得极小值,在时,函数取得极大值,C正确;
因为无法确定,,的正负,从而无法确定函数的零点个数,D错误.
故选：BC.
11．答案：AC
解析：结合函数图象可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故时，函数取得极小值，时取得极大值，无法确定是最大值，AC正确，BD错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：，则，
令，则，
的单调递增区间为.
故答案为：.
13．答案：
解析：已知，函数定义域为R，
可得，
因为和分别是函数的极大值点和极小值点，
所以，是方程的两个不等实根，
所以，解得，
又，所以为开口向下的二次函数，故，
而当时，原函数只有一个极值点，矛盾，
当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，这与题干矛盾；
故所求范围是.
故答案为：.
14．答案：，
解析：函数的定义域为
因为，
令，则，
所以的单调增区间为，.
故答案为：，.
15．答案：（1），；
（2）最大值为4，最小值为0.
解析：（1），由题意得，解得.
此时，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.又因为，所以函数在区间上的最大值为4，最小值为0.
16．答案：（1）详见解析；
（2）
解析：（1）
若当时，；
当时.，所以在，上单调递增，在上单调递减
若，.在R上单调递增
若，当时，；当时.，所以在，上单调递增，在上单调递减
（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增
则
又，，所以
所以，故
17．答案：（1）4；
（2）的极小值为，的极大值为
解析：（1）因为，所以.
因为是的一个极值点，所以，即，则，
当时，，
令，得或；令，得；
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点，满足题意，故.
（2）由（1）知，且是的极小值点，是的极大值点，
所以的极小值为，的极大值为.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）的定义域是,时,,
令,得,∴函数的增区间是.
（2）,由函数存在单调递减区间,
知在上有解区间,
,即,而,
当且仅当时取等号,,（当时,不等式只有唯一的解,不符题意舍去）,
又,a的取值范围是．
（3）时,,则即为,
令,则,
当时,,递减;当时,,递增.
,又,,,
∴,即实数b的取值范围是．
19．答案：（1）答案见解析；
（2）证明见解析
解析：（1），
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递減.
（2）证明设函数，则，
可知在上单调递增.
又由，知，在上有唯一实数根，且，
则，即.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
结合，知，
所以
则，
即不等式恒成立.
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