6.3 利用导数解决实际问题——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练（含解析）

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6.3 利用导数解决实际问题——高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册课时优化训练
一、选择题
1．为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为，传输信总为，其中，运算规则为:.例如，原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ）
A.01100 B.11010 C.10110 D.11000
2．函数对任意正整数满足条件，且，的值是（ ）
A．1008 B．1009 C．2016 D．2018
3．小李准备向银行贷款万元全部用于某产品的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款( )
A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元
4．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
5．若定义运算：，例如，则下列等式可能不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6．有一条长为的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积为( )
A.
B.
C.
D.
7．某社会实践小组需要对一个实心圆锥形工件进行加工，该工件底面半径为，高为，加工方法为挖掉一个与该圆锥形工件同底面共圆心的内接圆柱，若要求加工后工件的质量最轻，则圆柱的半径应设计为( )
A. B. C. D.
8．如图，圆O的半径为1，从中剪出扇形AOB围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有( )
A.年产量为9000件 B.年产量为10000件
C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元
10．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且
当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有( )
A.年产量为9000件 B.年产量为10000件
C.年利润最大值为38万元 D.年利润最大值为38.6万元
11．国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为米的圆锥，下部分是底面半径为r米 高为h米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为元，圆柱的侧面 底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下面说法正确的是( )
A. B.h的最大值为
C.当时， D.当时，y有最小值，最小值为
三、填空题
12．若当时，无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数，在点处对x的偏导数，记为，即；
若当时无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数，在点处对y的偏导数，记为，即
已知二元函数，则的最小值为______.
13．定义一种新运算“”:,则函数的值域为_________.
14．在边长为6cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为________cm时,箱子容积最大.
四、解答题
15．某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点B为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积.
16．做一个容积为的方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料．
17．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研,通过对该品牌的A系列一个阶段的调研,发现A系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式,其中,a为常数.已知销售价格为6元/千克时,每日可售出A系列15千克.
（1）求函数的解析式;
（2）若A系列的成本为4元/千克,试确定销售价格x的值,使该商场每日销售A系列所获得的利润最大.
参考答案
1．答案：D
解析：A选项中原信息,则,传输后信息应为01100，故A正确.
B 选项中原信息，则,传输后信息应为11010，故B正确.
C 选项中原信息，则 ,传输后信息应为10110,故C正确.
D 选项中原信息,则,传输后信息应为11001，故D错误.
故选D.
2．答案：D
解析：
3．答案：B
解析：依题意，得，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得最大值.故选B.
4．答案：C
解析：令导数，解得；
令导数，解得，
所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以在处取得极大值，也是最大值，故选C.
5．答案：C
解析：运算：的应用是：两数中计算结果为较大者。结合平方运算的意义，所以，不可能成立的是“”，如-1与-2，选C。
考点：本题主要考查新定义，学习理解能力。
点评：简单题，关键是理解这种运算的实质“两数中计算结果为较大者”。
6．答案：C
解析：设一边长为,则另一边长可表示为,则面积,
故当矩形的长与宽相等,都为时面积取到最大值.故应选C.
7．答案：A
解析：设挖去的圆柱的底面半径为r，高为h，取圆锥的轴截面，如下图所示：
设圆柱的截轴截面为矩形，底面圆圆心为O，连接交于点K，
因为，则，即，可得，其中，
圆柱的体积为，其中，
，令，可得，列表如下：
r
+ 0 -
增 极大值 减
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取最大值，此时，加工后的几何体的体积取最小值，
故选：A.
8．答案：D
解析：方法一：设圆锥的底面圆半径为，则圆锥的高为，所以圆锥的体积，令，，则，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，故体积的最大值，此时，即.故选D.
方法二：，
当且仅当，即时取等号，故选D.
9．答案：AD
解析：设年利润为W.
当时，，
.令，得（舍负），且当时，
；当时，；
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，.
令，得（舍负），所以当时，年利润W取得最大值38.
因为，所以当年产量为9000件时，
该公司在这一品牌服装的生产中
所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.
故选：AD.
10．答案：AD
解析：设年利润为W.当时，，
.令，得(舍负)，且当时，
：当时，；
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，.
令，得(舍负)，所以当时，年利润W取得最大值38.
因为，所以当年产量为9000件时，
该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.
11．答案：BCD
解析：由题意可得，所以，由，得，解得，所以，故A项不正确.
易知h随r的增大而减小，所以当时，h取得最大值，且最大值，故B项正确.
圆锥的母线长，故圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
所以总费用
.
当时，，C项正确.
，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，y取得最小值，最小值为，D项正确.
故选：BCD
12．答案：
解析：依题意，所以，，
则，
所以的最小值是.
故答案为：
13．答案：
解析：由,作出图象如图所示,可得函数的值域为.
14．答案：4
解析：设箱底边长为cm,箱子的容积为,
则,,
令,解得,,解得,
所以函数在上单调递增,上单调递减,
当时,容积y取得最大值,为16.
故答案为:4.
15．答案：把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米
解析：解：以B为原点，所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
依题意可设抛物线方程为，且，所以，即，
故点P所在曲线段的方程为，
设是曲线段上的任意一点，
则在矩形中，，，
所以，桌面板的面积为，
，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以当时，有最大值，此时，，此时，.
答：把桌面板设计成长为米，宽为米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为平方米.
16．答案：设底面边长为，则高，
其表面积为
，令得：，
则高．
所以它的高为时最省料．
解析：
17．答案：（1）,
（2）当售价格5元/千克时,该商场每日销售A系列所获得的利润最大
解析：（1）由题意可知,当时,
,即,解得,
,
（2）商场每日销售A系列所获得的利润为,
则,（）,
即,
令,
解得或（舍去）,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,函数在区间内取的极大值点,也是最大值点,
,
当售价格5元/千克时,该商场每日销售A系列所获得的利润最大.
（i）由题意可得,,
,
解得.
（ii）平均数为.
因为,,
所以中位数在之间,设中位数为x,
则,解得.
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