浙江省北斗星盟2023-2024学年高二下学期5月阶段性联考
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·浙江月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为集合
集合，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对数的定义域和对数函数的单调性，进而得出集合A，再利用指数函数的单调性和一元二次不等式求解方法得出集合B，再根据并集的运算法则得出集合A和集合B的并集.
2．（2024高二下·浙江月考）若复数满足(其中为虚数单位)，则的虚部是（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数满足(其中为虚数单位)，
所以，，
则的虚部是-1.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数求模公式和复数乘除法运算法则得出复数z，再由复数的虚部的定义得出复数z的虚部.
3．（2024高二下·浙江月考）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为角的终边经过点，所以直角三角形的斜边长为，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出直角三角形的斜边长，再结合三角函数的定义和诱导公式得出的值.
4．（2024高二下·浙江月考）已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数为奇函数，所以，，
又因为，，
则，则，
所以，，则，所以实数的值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，进而得出实数a的值.
5．（2024高二下·浙江月考）从0，2，4中任取2个数，从1，3，5中任取2个数，则这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数有（ ）
A．126 B．180 C．216 D．300
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，
则这4个数可以组成没有重复数字的四位数，分两种情况讨论：
（1）当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为：
；
(2)当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为：
；
利用分类加法计数原理，则得出这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数为：108+72=180.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理得出这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数.
6．（2024高二下·浙江月考）某种型号的发动机每台的使用寿命(单位：年)，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为某种型号的发动机每台的使用寿命，则
又因为，即，
所以，，即，
记这艘轮船能正常航行10年以上的事件为A，则，
所以，这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再由正态密度曲线的对称性求出的值，再根据互斥事件加法求概率公式和二项分布求概率公式，进而得出这艘轮船能正常航行10年以上的概率.
7．（2024高二下·浙江月考）已知PQ，MN是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）
A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】如图，连接MO，OQ，OP，ON，作，，
易知E是QP的中点，D是MN的中点，由勾股定理可得：
故，
所以，当且仅当反向时等号成立.
故答案为：C.
【分析】利用平面向量的线性运算对进行转化，再利用圆的性质求出OE，OD的长，从而得出最大值.
8．（2024高二下·浙江月考）已知函数，若函数有四个不同的零点则的值为（ ）
A．81 B．36 C．12 D．1
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，在单调递减，
当时，则
令则，所以，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，此时，
当时，时，，
故当时，总有两个不相等的实数根，
由题意可知有4个不同的实数根a，b，c，d，
记故有两个不相等的实数根，
不妨设
则
.
故答案为：A.
【分析】将问题转化为，由4个不同的实根a，b，c，d即可根据二次方程根与系数的关系求解出代入化简即可求出的值.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．（2024高二下·浙江月考）志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者。城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄(单位：岁)进行分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（ ）
A．a=0.035 B．估计众数为：40
C．估计平均数为：38 D．估计第80百分位数为：
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】对于A，，
所以，则，所以A对；
对于B，由频率分布直方图估计出众数为，所以B对；
对于C，由频率分布直方图估计出平均数为
，所以C错；
对于D，因为
，
又因为，所以，设第80百分位数b在区间内，
则，所以，，则估计第80百分位数为，所以D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合频率直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1得出a的值，从而判断出选项A；利用频率分步直方图估计众数、平均数、百分位数的方法，从而判断出选项B、选项C和选项D，进而找出正确的选项.
10．（2024高二下·浙江月考）设，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
而，所以A对；
对于B，当时，，所以B错；
对于C，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以C对；
对于D，易知，
故，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
即a=1，b=0时等号成立，与不符合，所以等号无法取得，所以，，
所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法、特殊值排除法、“1”的代换的方法和均值不等式成立的条件，进而找出不等式恒成立的选项.
11．（2024高二下·浙江月考）如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形ABCD内运动(包含边界)，点在线段PQ上运动(不包括端点)，则（ ）
A．异面直线PM与BQ不可能垂直
B．当时，点M的轨迹长度是
C．该八面体被平面CDE所截得的截面积既有最大值又有最小值
D．凡棱长不超过的正方体均可在该八面体内自由转动
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；与直线有关的动点轨迹方程；简单组合体的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】连接AC，BD，相交于点O，
则由正八面体性质可知O为PQ的中点，且，
所以，PO是正四面体P-ABCD的高为.
对于A，当M与B重合时，因为，所以，
所以，，所以A错；
对于B，取BD中点G，因为，所以，
取OD的中点，连接，则且，
所以，如图，点M在高为，母线长为2的圆锥底面圆周上，
即点M在为以为圆心，直径为的圆上运动，
所以，点M的运动轨迹为圆心直径为的圆的一部分为圆弧，
其中R，S分别为CD，AD的中点，且
所以，，即点M的轨迹长度是，所以B对；
对于C，由题意以及正八面体结构性质可知，
当E与O重合时，八面体被平面CDE所截得的截面是正方形ABCD，
当E与O不重合时，八面体被平面CDE所截得的截面是等腰梯形，如图，
四边形TCDU为被平面CDE所截得的截面，连接TU，CD中点S，R，
则SR为等腰梯形TCDU的高，设为h，取AB的中点为V，连接PV，VR，PR，
则由题意可求得PV=PR=，VR=4，且O在VR上，
过R作交PV于点K，则由等面积法得出，
显然，当点S由K往V靠近时，等腰梯形TCDU的上底边TU和高SR均在增大，
当截面为正方形ABCD的截面面积最大为16，当点S由K往P靠近（不包含S与K、P重合时）时，
则，在此过程中，设
则且由题意可知，
所以，，由正弦定理可得：
因为，所以，，
所以，
又因为
，
所以，截面面积为
所以，，
令，则
，
所以在上单调递减，所以f(h)无最小值，
所以被平面CDE所截得的截面积无最小值，所以C错；
对于D，过正八面体的两顶点P，Q和AB，CD中点去截正八面体以及其内切球，
则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r）截面图如图所示：
其中四边形为菱形，棱长为正四面体P-ABCD的斜高，
PO是正四面体P-ABCD的高，
所以，由等面积法得出，
当一正方体棱长为时，其外接球半径为
所以，凡棱长不超过的正方体，其外接球的半径均小于或等于，
故正方体均可在该八面体内自由转动，所以D对.
故答案为：BD.
【分析】对于A，当M与B重合时垂直，所以A错；对于B，由探求出点M的运动轨迹即可求解，所以B对；对于C，截面为正方形ABCD或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量，将截面等腰梯形面积表达式求出来，即可利用导数工具研究面积的最值，进而即可判断求解，所以C错；对于D，先求出最长棱的正方体的外接球，再求出正八面体的内切球，当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断，所以D对，进而找出正确的选项.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·浙江月考）展开式中的常数项为 .
【答案】-40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为展开式中的通项公式为
令，则，所以，展开式中的常数项为.
故答案为：-40.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合常数项的定义和赋值法得出r的值，从而得出展开式中的常数项.
13．（2024高二下·浙江月考）让2名男生和2名女生排到如图的位置中去，每人一格，则性别相同的人不在同一行也不在同一列的排法有 种（用数字作答）。
【答案】336
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】 由题意可知，第一行安排一男一女，第二行也安排一男一女，
第一步：从2名男生和2名女生中分别选一男一女安排到第一行，此时共有种方法；
第二步：从第二行中选择一个位置安排另一个男生，
若该男生与第一行的女生同列，则另一个女生有3种安排方法；
若该男生与第一行的女生不同列，则有2种安排方法该男生，最后一名女生也有2种方法安排，
故共有种方法安排剩余的一男一女，因此，总共的方法种数为种安排.
故答案为：336.
【分析】先安排第一行一男一女，安排第二行时，考虑同列与不同列，即可根据分步乘法计数原理求解.
14．（2024高二下·浙江月考）已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是 .
【答案】1
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】通过观察，
，
可得恒成立，整数m满足恒成立，则一定满足恒成立，
注意到当x=1时，g(1)=m，取特殊值x=1，得到，
可验证当x=1时，若m取大于1的整数，都有a=e-1使得
下面验证m=1满足恒成立，令，
由零点存在性定理可得，存在使得，
当时，，h(x)单调递减；
当时，，h(x)单调递增；
又因为满足，
当且仅当取等号，可得恒成立，
即恒成立，则不等式恒成立，综上所述，满足题意的最大整数m为1.
故答案为：1.
【分析】对函数f(x)配方后变形，得到，然后求满足恒成立的整数m即可.
四、解答题:本题共5小题,第15题13分,第16、17题15分,第18、19题17分,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·浙江月考）众所周知，体育锻炼能增强人的体质，陶冶情操，消除疲劳，恢复体力.
（1）经调查每天锻炼2拾分钟，3拾分钟，4拾分钟，5拾分钟，6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5，3，3.5，5，6，用表示每天的锻炼时间（单位：拾分钟），用表示学习效率指数，由资料知与呈线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）某班级共40人，其中25人参加篮球训练队，15人参加羽毛球训练队，参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀，参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀，依据小概率的独立性检验，试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联
参考公式：(1)
(2)
【答案】（1）由题意可得，
所以，
所以，，
关于的线性回归方程为.
（2）由题意可知列联表如下：
优秀 不优秀 合计
篮球 15 10 25
羽毛球 10 5 15
合计 25 15 40
：设选择什么活动与体能测试是否优秀无关联，
而
故选择什么活运动与体能测试是否优秀无关联.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法得出关于的线性回归方程.
(2)利用已知条件结合独立性检验的方法得出选择什么活运动与体能测试是否优秀无关联.
16．（2024高二下·浙江月考）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）中角A、B、C所对的边为a，b，c，若，且BC边上的高AH满足，求的值.
【答案】（1）由题意可知，
令
可得
解得
所以，函数f(x)的单调递增区间为.
（2）因为，
由余弦定理得：解得，而AH是BC边上的高，
易知点B，C，H三点共线，可得，而
所以，，解得，
由勾股定理可得，，
故H是BC边上靠近点C的七等分点，故得，
故有，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，进而化简函数为正弦型函数，再结合换元法和正弦函数的图象求单调性的方法，进而得出函数的单调递增区间.
(2)利用函数的解析式和代入法以及三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用余弦定理和数量积的坐标表示，进而得出的值.
17．（2024高二下·浙江月考）矩形ABCD中，，将沿BD向上对折至位置.
（1）若点在平面BCD上的射影落在BC上，求证：；
（2）在对折过程中，求平面与平面BCD所成角的正切的最大值.
【答案】（1）∵平面平面BCD，平面平面且，
所以，平面 ， 平面，，
且，
平面平面，
.
（2）过A作于，延长AE交BC于，过作于，过作于，连结
由定义知即为平面角，
设，则，
，
，
，当且仅当时取“=”.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合射影的定义和面面垂直的性质定理，进而证出线线垂直.
(2)利用已知条件结合两种方法求解.
解法一：利用几何法求解，由二面角的平面角的定义和三角函数的定义以及正切函数的图象求值域的方法，进而得出平面与平面BCD所成角的正切的最大值.
解法二：利用空间向量法求解，由建立空间直角坐标系的方法得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示得出平面BCD的法向量和平面的法向量，再结合三角函数的定义和正切函数的图象求值域的方法，进而得出平面与平面BCD所成角的正切的最大值.
18．（2024高二下·浙江月考）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.
（1）求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；
（2）求第轮比赛甲轮空的概率；
（3）按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
【答案】（1）解：设“甲在第轮获胜”
则
（2）解：设事件“第轮甲轮空”
则
（3）解：设一轮比赛中甲胜的局数为，则
前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则
局胜的局数为：(局)
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式得出甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率.
(2)利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出第轮比赛甲轮空的概率.
（3）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出随机变量X的分布列，再由随机变量的分布列求数学期望公式得出前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
19．（2024高二下·浙江月考）已知函数.
（1）当时，若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，若有两个极值点，求证：；
（3）若在定义域上单调递增，求的最小值.
【答案】（1）解：，则
在上单调递减，上单调递增，上单调递减
由图可知时有两个零点
（2）解：(法一)设，则
在上单调递增，上单调递减，
要证，只要证，只要证
只要证在上恒正即可
而
在上递增，成立；
(法二)，则
由题意可得：在有两个不等的实根
即
(先证：对均不等式)
由对均不等式可得：
，故
（3）解：(法一)恒成立；
恒成立
当且仅当时，有最大值（这时即为极大值)
设的极大值点为，则
而
在上减，上增，上减
这时
(法二)恒成立；
它表示以为动点的直线及其上方的点；
表示以为动点的抛物线，两者有公共点；
消去得
恒成立；
在上递增，在上递减
当且仅当时取等号；
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：（1）设，则，
在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
又因为
当时，，
所以，g(x)在上各有一个零点，
时有两个零点.
(2)(法一)设，则，
在上单调递增，上单调递减，，
，
要证，只要证，只要证，
只要证在上恒正即可，
而，
，
在上递增，成立；
(法二)，则，
由题意可得：在有两个不等的实根，
即，
，
(先证：对均不等式)，
由对均不等式可得：，
，故.
(3)(法一)恒成立；
恒成立，
，
当且仅当时，有最大值（这时即为极大值)，
设的极大值点为，则，
，
，
而，
在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
，
这时.
(法二)恒成立；
它表示以为动点的直线及其上方的点；
表示以为动点的抛物线，两者有公共点；
，
消去得，
恒成立；
，
在上单调递增，在上单调递减，
，
当且仅当时取等号.
【分析】（1）利用b的值结合函数的零点的定义构造出函数g(x)，再结合导数判断函数的单调性的方法和函数的图象得出满足要求的实数a的取值范围.
(2)利用两种方法证明.
方法一：利用构造法，令，再结合求导的方法判断函数h(x)的单调性，再根据分析法和恒成立问题求解方法，从而由函数的值域证出不等式成立.
方法二：利用函数的零点与方程的根的等价关系和对均不等式证出不等式成立.
(3)利用两种方法证明.
方法一：利用不等式恒成立问题求解方法和导数判断函数的单调性求最值的方法，进而得出的最小值.
方法二：利用不等式恒成立问题求解方法和几何法，从而由直线与抛物线方程联立求交点的方法，再结合判别式法和导数判断单调性求最值的方法，进而得出的最小值.
1 / 1浙江省北斗星盟2023-2024学年高二下学期5月阶段性联考
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·浙江月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·浙江月考）若复数满足(其中为虚数单位)，则的虚部是（ ）
A． B．-1 C．1 D．
3．（2024高二下·浙江月考）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·浙江月考）已知函数为奇函数，则实数的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．-1
5．（2024高二下·浙江月考）从0，2，4中任取2个数，从1，3，5中任取2个数，则这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数有（ ）
A．126 B．180 C．216 D．300
6．（2024高二下·浙江月考）某种型号的发动机每台的使用寿命(单位：年)，使用寿命与发动机是否运行无关.一艘轮船安装了2台这种型号的发动机，当其中一台出故障时，自动启用另一台工作，记，则这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·浙江月考）已知PQ，MN是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）
A．7 B．12 C．14 D．16
8．（2024高二下·浙江月考）已知函数，若函数有四个不同的零点则的值为（ ）
A．81 B．36 C．12 D．1
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．（2024高二下·浙江月考）志愿者是一个城市的一道靓丽的风景，他们以自己的行动和热情，为社会做出了积极的贡献，他们是社会进步的推动者，是人类文明的传承者，更是社会和谐的守护者。城市为举办2024年城市马拉松比赛招募了一批志愿者，现从中随机选出200人，并将他们按年龄(单位：岁)进行分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组，第4组，第5组[55，65]，得到如图所示的频率分布直方图.则（ ）
A．a=0.035 B．估计众数为：40
C．估计平均数为：38 D．估计第80百分位数为：
10．（2024高二下·浙江月考）设，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·浙江月考）如图是一个所有棱长均为4的正八面体，若点在正方形ABCD内运动(包含边界)，点在线段PQ上运动(不包括端点)，则（ ）
A．异面直线PM与BQ不可能垂直
B．当时，点M的轨迹长度是
C．该八面体被平面CDE所截得的截面积既有最大值又有最小值
D．凡棱长不超过的正方体均可在该八面体内自由转动
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·浙江月考）展开式中的常数项为 .
13．（2024高二下·浙江月考）让2名男生和2名女生排到如图的位置中去，每人一格，则性别相同的人不在同一行也不在同一列的排法有 种（用数字作答）。
14．（2024高二下·浙江月考）已知函数，对，不等式恒成立，则整数的最大值是 .
四、解答题:本题共5小题,第15题13分,第16、17题15分,第18、19题17分,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·浙江月考）众所周知，体育锻炼能增强人的体质，陶冶情操，消除疲劳，恢复体力.
（1）经调查每天锻炼2拾分钟，3拾分钟，4拾分钟，5拾分钟，6拾分钟的学生的学习效率指数分别为2.5，3，3.5，5，6，用表示每天的锻炼时间（单位：拾分钟），用表示学习效率指数，由资料知与呈线性相关关系，求关于的线性回归方程；
（2）某班级共40人，其中25人参加篮球训练队，15人参加羽毛球训练队，参加篮球训练队的25人中有15人获得了体能综合测试优秀，参加羽毛球训练队的15人中有10人获得了体能综合测试优秀，依据小概率的独立性检验，试问选择哪种活动与体能综合测试是否优秀有无关联
参考公式：(1)
(2)
16．（2024高二下·浙江月考）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）中角A、B、C所对的边为a，b，c，若，且BC边上的高AH满足，求的值.
17．（2024高二下·浙江月考）矩形ABCD中，，将沿BD向上对折至位置.
（1）若点在平面BCD上的射影落在BC上，求证：；
（2）在对折过程中，求平面与平面BCD所成角的正切的最大值.
18．（2024高二下·浙江月考）水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去.
（1）求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；
（2）求第轮比赛甲轮空的概率；
（3）按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
19．（2024高二下·浙江月考）已知函数.
（1）当时，若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，若有两个极值点，求证：；
（3）若在定义域上单调递增，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】并集及其运算；指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为集合
集合，
则.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合对数的定义域和对数函数的单调性，进而得出集合A，再利用指数函数的单调性和一元二次不等式求解方法得出集合B，再根据并集的运算法则得出集合A和集合B的并集.
2．【答案】B
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为复数满足(其中为虚数单位)，
所以，，
则的虚部是-1.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合复数求模公式和复数乘除法运算法则得出复数z，再由复数的虚部的定义得出复数z的虚部.
3．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为角的终边经过点，所以直角三角形的斜边长为，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出直角三角形的斜边长，再结合三角函数的定义和诱导公式得出的值.
4．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数为奇函数，所以，，
又因为，，
则，则，
所以，，则，所以实数的值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，进而得出实数a的值.
5．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，
则这4个数可以组成没有重复数字的四位数，分两种情况讨论：
（1）当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为：
；
(2)当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为：
；
利用分类加法计数原理，则得出这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数为：108+72=180.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理得出这4个数可以组成没有重复数字的四位数的个数.
6．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】因为某种型号的发动机每台的使用寿命，则
又因为，即，
所以，，即，
记这艘轮船能正常航行10年以上的事件为A，则，
所以，这艘轮船能正常航行10年以上的概率约是.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合随机变量服从正态分布，再由正态密度曲线的对称性求出的值，再根据互斥事件加法求概率公式和二项分布求概率公式，进而得出这艘轮船能正常航行10年以上的概率.
7．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】如图，连接MO，OQ，OP，ON，作，，
易知E是QP的中点，D是MN的中点，由勾股定理可得：
故，
所以，当且仅当反向时等号成立.
故答案为：C.
【分析】利用平面向量的线性运算对进行转化，再利用圆的性质求出OE，OD的长，从而得出最大值.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当时，在单调递减，
当时，则
令则，所以，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，此时，
当时，时，，
故当时，总有两个不相等的实数根，
由题意可知有4个不同的实数根a，b，c，d，
记故有两个不相等的实数根，
不妨设
则
.
故答案为：A.
【分析】将问题转化为，由4个不同的实根a，b，c，d即可根据二次方程根与系数的关系求解出代入化简即可求出的值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】对于A，，
所以，则，所以A对；
对于B，由频率分布直方图估计出众数为，所以B对；
对于C，由频率分布直方图估计出平均数为
，所以C错；
对于D，因为
，
又因为，所以，设第80百分位数b在区间内，
则，所以，，则估计第80百分位数为，所以D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合频率直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1得出a的值，从而判断出选项A；利用频率分步直方图估计众数、平均数、百分位数的方法，从而判断出选项B、选项C和选项D，进而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对于A，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
而，所以A对；
对于B，当时，，所以B错；
对于C，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以C对；
对于D，易知，
故，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
即a=1，b=0时等号成立，与不符合，所以等号无法取得，所以，，
所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法、特殊值排除法、“1”的代换的方法和均值不等式成立的条件，进而找出不等式恒成立的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；与直线有关的动点轨迹方程；简单组合体的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】连接AC，BD，相交于点O，
则由正八面体性质可知O为PQ的中点，且，
所以，PO是正四面体P-ABCD的高为.
对于A，当M与B重合时，因为，所以，
所以，，所以A错；
对于B，取BD中点G，因为，所以，
取OD的中点，连接，则且，
所以，如图，点M在高为，母线长为2的圆锥底面圆周上，
即点M在为以为圆心，直径为的圆上运动，
所以，点M的运动轨迹为圆心直径为的圆的一部分为圆弧，
其中R，S分别为CD，AD的中点，且
所以，，即点M的轨迹长度是，所以B对；
对于C，由题意以及正八面体结构性质可知，
当E与O重合时，八面体被平面CDE所截得的截面是正方形ABCD，
当E与O不重合时，八面体被平面CDE所截得的截面是等腰梯形，如图，
四边形TCDU为被平面CDE所截得的截面，连接TU，CD中点S，R，
则SR为等腰梯形TCDU的高，设为h，取AB的中点为V，连接PV，VR，PR，
则由题意可求得PV=PR=，VR=4，且O在VR上，
过R作交PV于点K，则由等面积法得出，
显然，当点S由K往V靠近时，等腰梯形TCDU的上底边TU和高SR均在增大，
当截面为正方形ABCD的截面面积最大为16，当点S由K往P靠近（不包含S与K、P重合时）时，
则，在此过程中，设
则且由题意可知，
所以，，由正弦定理可得：
因为，所以，，
所以，
又因为
，
所以，截面面积为
所以，，
令，则
，
所以在上单调递减，所以f(h)无最小值，
所以被平面CDE所截得的截面积无最小值，所以C错；
对于D，过正八面体的两顶点P，Q和AB，CD中点去截正八面体以及其内切球，
则由正八面体性质得到正八面体与其内切球（半径为r）截面图如图所示：
其中四边形为菱形，棱长为正四面体P-ABCD的斜高，
PO是正四面体P-ABCD的高，
所以，由等面积法得出，
当一正方体棱长为时，其外接球半径为
所以，凡棱长不超过的正方体，其外接球的半径均小于或等于，
故正方体均可在该八面体内自由转动，所以D对.
故答案为：BD.
【分析】对于A，当M与B重合时垂直，所以A错；对于B，由探求出点M的运动轨迹即可求解，所以B对；对于C，截面为正方形ABCD或等腰梯形，将截面等腰梯形的高作为变量，将截面等腰梯形面积表达式求出来，即可利用导数工具研究面积的最值，进而即可判断求解，所以C错；对于D，先求出最长棱的正方体的外接球，再求出正八面体的内切球，当正方体最大外接球不超过几何体的内切球时，正方体可在八面体内自由转动，由此原理即可判断，所以D对，进而找出正确的选项.
12．【答案】-40
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】因为展开式中的通项公式为
令，则，所以，展开式中的常数项为.
故答案为：-40.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合常数项的定义和赋值法得出r的值，从而得出展开式中的常数项.
13．【答案】336
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】 由题意可知，第一行安排一男一女，第二行也安排一男一女，
第一步：从2名男生和2名女生中分别选一男一女安排到第一行，此时共有种方法；
第二步：从第二行中选择一个位置安排另一个男生，
若该男生与第一行的女生同列，则另一个女生有3种安排方法；
若该男生与第一行的女生不同列，则有2种安排方法该男生，最后一名女生也有2种方法安排，
故共有种方法安排剩余的一男一女，因此，总共的方法种数为种安排.
故答案为：336.
【分析】先安排第一行一男一女，安排第二行时，考虑同列与不同列，即可根据分步乘法计数原理求解.
14．【答案】1
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】通过观察，
，
可得恒成立，整数m满足恒成立，则一定满足恒成立，
注意到当x=1时，g(1)=m，取特殊值x=1，得到，
可验证当x=1时，若m取大于1的整数，都有a=e-1使得
下面验证m=1满足恒成立，令，
由零点存在性定理可得，存在使得，
当时，，h(x)单调递减；
当时，，h(x)单调递增；
又因为满足，
当且仅当取等号，可得恒成立，
即恒成立，则不等式恒成立，综上所述，满足题意的最大整数m为1.
故答案为：1.
【分析】对函数f(x)配方后变形，得到，然后求满足恒成立的整数m即可.
15．【答案】（1）由题意可得，
所以，
所以，，
关于的线性回归方程为.
（2）由题意可知列联表如下：
优秀 不优秀 合计
篮球 15 10 25
羽毛球 10 5 15
合计 25 15 40
：设选择什么活动与体能测试是否优秀无关联，
而
故选择什么活运动与体能测试是否优秀无关联.
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合平均数公式和最小二乘法得出关于的线性回归方程.
(2)利用已知条件结合独立性检验的方法得出选择什么活运动与体能测试是否优秀无关联.
16．【答案】（1）由题意可知，
令
可得
解得
所以，函数f(x)的单调递增区间为.
（2）因为，
由余弦定理得：解得，而AH是BC边上的高，
易知点B，C，H三点共线，可得，而
所以，，解得，
由勾股定理可得，，
故H是BC边上靠近点C的七等分点，故得，
故有，.
【知识点】函数的单调性及单调区间；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，进而化简函数为正弦型函数，再结合换元法和正弦函数的图象求单调性的方法，进而得出函数的单调递增区间.
(2)利用函数的解析式和代入法以及三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用余弦定理和数量积的坐标表示，进而得出的值.
17．【答案】（1）∵平面平面BCD，平面平面且，
所以，平面 ， 平面，，
且，
平面平面，
.
（2）过A作于，延长AE交BC于，过作于，过作于，连结
由定义知即为平面角，
设，则，
，
，
，当且仅当时取“=”.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合射影的定义和面面垂直的性质定理，进而证出线线垂直.
(2)利用已知条件结合两种方法求解.
解法一：利用几何法求解，由二面角的平面角的定义和三角函数的定义以及正切函数的图象求值域的方法，进而得出平面与平面BCD所成角的正切的最大值.
解法二：利用空间向量法求解，由建立空间直角坐标系的方法得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示得出平面BCD的法向量和平面的法向量，再结合三角函数的定义和正切函数的图象求值域的方法，进而得出平面与平面BCD所成角的正切的最大值.
18．【答案】（1）解：设“甲在第轮获胜”
则
（2）解：设事件“第轮甲轮空”
则
（3）解：设一轮比赛中甲胜的局数为，则
前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则
局胜的局数为：(局)
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差；条件概率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式得出甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率.
(2)利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和条件概型求概率公式，进而得出第轮比赛甲轮空的概率.
（3）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合二项分布求概率公式和互斥事件加法求概率公式得出随机变量X的分布列，再由随机变量的分布列求数学期望公式得出前六轮比赛中甲获胜局数的期望.
19．【答案】（1）解：，则
在上单调递减，上单调递增，上单调递减
由图可知时有两个零点
（2）解：(法一)设，则
在上单调递增，上单调递减，
要证，只要证，只要证
只要证在上恒正即可
而
在上递增，成立；
(法二)，则
由题意可得：在有两个不等的实根
即
(先证：对均不等式)
由对均不等式可得：
，故
（3）解：(法一)恒成立；
恒成立
当且仅当时，有最大值（这时即为极大值)
设的极大值点为，则
而
在上减，上增，上减
这时
(法二)恒成立；
它表示以为动点的直线及其上方的点；
表示以为动点的抛物线，两者有公共点；
消去得
恒成立；
在上递增，在上递减
当且仅当时取等号；
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：（1）设，则，
在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
又因为
当时，，
所以，g(x)在上各有一个零点，
时有两个零点.
(2)(法一)设，则，
在上单调递增，上单调递减，，
，
要证，只要证，只要证，
只要证在上恒正即可，
而，
，
在上递增，成立；
(法二)，则，
由题意可得：在有两个不等的实根，
即，
，
(先证：对均不等式)，
由对均不等式可得：，
，故.
(3)(法一)恒成立；
恒成立，
，
当且仅当时，有最大值（这时即为极大值)，
设的极大值点为，则，
，
，
而，
在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
，
这时.
(法二)恒成立；
它表示以为动点的直线及其上方的点；
表示以为动点的抛物线，两者有公共点；
，
消去得，
恒成立；
，
在上单调递增，在上单调递减，
，
当且仅当时取等号.
【分析】（1）利用b的值结合函数的零点的定义构造出函数g(x)，再结合导数判断函数的单调性的方法和函数的图象得出满足要求的实数a的取值范围.
(2)利用两种方法证明.
方法一：利用构造法，令，再结合求导的方法判断函数h(x)的单调性，再根据分析法和恒成立问题求解方法，从而由函数的值域证出不等式成立.
方法二：利用函数的零点与方程的根的等价关系和对均不等式证出不等式成立.
(3)利用两种方法证明.
方法一：利用不等式恒成立问题求解方法和导数判断函数的单调性求最值的方法，进而得出的最小值.
方法二：利用不等式恒成立问题求解方法和几何法，从而由直线与抛物线方程联立求交点的方法，再结合判别式法和导数判断单调性求最值的方法，进而得出的最小值.
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