2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年宁夏石嘴山市平罗中学重点班高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题：
回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系；
在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
在回归分析中，对一组给定的样本数据，，，而言，当样本相关系数越接近时，样本数据的线性相关程度越强．
对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大．
其中正确的命题序号是( )
A. B. C. D.
3.已知离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，则( )
A. B. C. D.
4.关于函数下列说法中：它的极大值为，极小值为；当时，它的最大值为，最小值为；它的单调减区间为；它在点处的切线方程为，其中正确的有个．
A. B. C. D.
5.已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为( )
A. B. C. D.
7.某工厂有甲、乙、丙个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的，乙车间占，丙车间占已知这个车间的次品率依次为，，，若从该厂生产的这种产品中取出件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，，，则( )
A. B.
C. D. 当时，的最小值为
10.现有个编号为，，，的不同的球和个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是( )
A. 共有种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种
D. 将个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有种
11.下列四个命题是真命题的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数满足，则
D. 若方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______．
13.若的展开式的各项系数和为，二项式系数和为，则展开式中的系数为______．
14.在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第行从左到右的第个数是______；若第行从左到右第个数与第个数的比值为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是公差的等差数列，其前项和为，满足，且，，恰为等比数列的前三项．
求数列，的通项公式；
设，数列的前项和为，求证：．
16.本小题分
体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善我们把每周体育锻炼时间超过小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为：，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占．
根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“运动达人”与性别有关？
女生 男生 合计
运动达人
非运动达人
合计
现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率．
附：，．
17.本小题分
如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于于点，将沿折到的位置，．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求二面角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；
若，讨论函数的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮次，若次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为分，若至少被投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮次，每次投中得分，未投中得分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与相互独立．
若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率；
假设，
为使得甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
参考答案
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15.解：由题意可得，即，
得，
由，得，．
所以．
由，，得公比，所以．
证明：因为，所以
得
得
．
所以．
从而．
16.解：抽取的人中，女生与男生的人数比为：，则女生有人，男生有人，
男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，
则得如下列联表：
女生 男生 合计
运动达人
非运动达人
合计
零假设：认为“运动达人”与性别无关，
显然，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即有的把握认为“运动达人”和性别有关；
由分层抽样，得抽取的男生人数为，女生人数为，
记“恰有两人闯关成功”为事件，“有女生闯关成功”为事件，
则，，
于是，
所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为．
17.Ⅰ证明：四边形是菱形，
，又，
，则，
又由四边形是菱形，得，
则，
，则，
，
，
又，，
，
，则，
，则，
又，，平面
平面；
Ⅱ解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，得，取，得，．
．
同理可求得平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的正弦值为．
18.解：函数，
则，．
由题，可得，
由于，的解为，．
当，即时，，则在上单调递增；
当，即时，
在区间，上，，在区间上，，
所以的单调增区间为，；单调减区间为；
当，即时，
在区间，上，，在区间上，，
所以的单调增区间为，；单调减区间为．
，
当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立；
当时，，
所以在上单调递增，所以成立；
当时，在区间上，：在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意．
综上所述，的取值范围是
19.解：甲、乙所在队的比赛成绩不少于分，
甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，
甲、乙所在队的比赛成绩不少于分的概率为：
．
若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为分的概率为：
，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率为：
，
，
，
为使得甲、乙所在队的比赛成绩为分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
，
记乙参加第一阶段比赛，数学成绩的所有可难取值为，，，，
同理，
，
为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
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