2023-2024学年海南省琼海市嘉积中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年海南省琼海市嘉积中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点为，则( )
A. B. C. D.
2.已知某地最近天每天的最高气温单位：分别为，，，，，，，，，，则这天最高气温的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.已知，表示两条不同的直线，，表示两个不重合的平面，且，下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
5.在中，已知角、、的对边分别是、、，且，，则的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6.如图，在正方体中，，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，若该正四棱台的体积为，则侧棱长为( )
A. B. C. D.
8.设，，，四点在一个半径为的球的球面上，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则( )
A. 该校高一学生总人数为
B. 该校高一学生中选考物化政组合的人数为
C. 该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D. 用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取人，则生史地组合抽取人
10.某学校为了解学生身高单位：情况，采用分层随机抽样的方法从名学生该校男女生人数之比为：中抽取了一个容量为的样本其中，男生平均身高为，方差为，女生平均身高为，方差为则下列说法正确的是参考公式：总体分为层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，，，，记总的样本平均数为，样本方差为，则( )
参考公式：
A. 抽取的样本里男生有人 B. 每一位学生被抽中的可能性为
C. 估计该学校学生身高的平均值为 D. 估计该学校学生身高的方差为
11.如图，在正四棱柱中，，点为线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 若是棱上一点，且，则平面
D. 直线平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一组数据，，，的方差是，则数据，，，的方差是______．
13.如图，有一滚筒是正六棱柱形底面是正六边形，每个侧面都是矩形，两端是封闭的，长，底面外接圆半径是，制造这个滚筒需要______铁板精确到
14.已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，，则 ______，面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，是的中点．
求证：；
如果是的中点，求证：平面．
16.本小题分
某校为了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校名学生在年最后一周参加课外兴趣班的时长单位：分钟，得到如图所示的频率分布直方图若直方图中，时长落在区间内的人数为．
求出直方图中，，的值；
估计样本时长的中位数精确到和平均数．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求．
若，，求的周长．
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
当时，求四边形的周长；
克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
当为多少时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
参考答案
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15.证明：在直三棱柱中，平面，平面，
，
又，，
平面．
平面．
；分
由得，
在中，，
为边上的中点，分
连接，点是的中点，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，
，又，，四边形为平行四边形．分
，又平面，平面，
平面分
16.解：由已知可得，
则，即，
又，解得，．
因为，，
设中位数为，且，
所以，解得，即中位数为；
平均数为．
17.解：由，可得，即，
由于，
故，
解得；
由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，
所以，
从而，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以的周长为．
18.解：证明：因为为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
如图所示，
设交于，连接，由知平面，
所以为在平面内的射影，
所以为与平面所成角，
因为，所以，
在直角中，，
所以与平面所成角得正弦值为．
由于平面，平面，则，
又底面为正方形，则，
因为，，平面，则平面，
则为在平面上的投影，
且，
，，，
，则为等腰三角形，连接，则，
，
则，
设平面与平面夹角为，
则，
由图知道二面角为锐角，则二面角的余弦值为．
19.解：中，，，，
由余弦定理得，
即，于是四边形的周长为．
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为，
所以，当满足时，四边形的面积最大，最大值为．
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