人教版数学八年级上册11.2.2三角形的外角 精品同步练习（含解析）

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人教版八年级上册数学 11.2.2三角形的外角 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1．三角形的一个外角，不大于和它相邻的内角，这个三角形一定是
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非锐角三角形
2．下列叙述中正确的是
A．三角形的外角等于两个内角的和
B．三角形的外角大于内角
C．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和
D．三角形每一个内角都只有一个外角
3．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是
A．165° B．120° C．150° D．135°
4．如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（ ）
A．32° B．30° C．28° D．26°
5．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A＝（　　）
A．105° B．95° C．85° D．75°
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若，则∠A的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．如图，和相交于点，，则下列结论中不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
9．已知，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题是假命题的是（ ）
A．三角形的内角和是180° B．两直线平行，内错角相等
C．三角形的外角大于任何一个内角 D．同旁内角互补，两直线平行
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则∠ADE=
__________．
12．已知，直线交于点，交于点是直线上一动点，过作直线的垂线交于点．若，则__________．
13．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，则∠DCE的度数为_____．
14．如图，，点，分别在射线，上，平分，的反向延长线与的平分线交于点，则的度数是_______．
15．已知，一个含角的直角三角板按如图所示放置，，则_____．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.已知，如图，点D是中AC边上的一点，点E是BC边延长线上一点，说明：．
17.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=40°，求∠BAC的度数．
18.如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、．
（1）若，则__________．
（2）、、有什么数量关系？请说明理由．
19.将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
20.在中，与的平分线相交于点．
（1）如图①，如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线，且交于点，试探索，之间的数量关系；
（3）如图③，在图②中延长线段，交于点若中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解析】因为三角形的一个外角与它相邻的内角和为180°，而题中说这个外角不大于它相邻的内角，所以可知与它相邻的这个内角是一个大于或等于90°的角，则这个三角形就是一个钝角三角形或直角三角形．故选D．
2.【答案】C
【解析】A、三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；
B、三角形的外角大于和它不相邻的一个内角，故本选项错误．
C、符合三角形外角的性质，故本选项正确；
D、三角形每一个内角都有两个外角，故本选项错误．故选C．
3.【答案】A
【解析】如图，
∵∠2=90°-30°=60°，∴∠1=∠2-45°=15°，∴∠α=180°-∠1=165°．故选A．
4.【答案】C
【分析】根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可得解．
【详解】解：如图，由翻折的性质得，
∴，
∴在△ADE中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
5.【答案】B
【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E在AC上的任意一点，
∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
故选：B．
6.【答案】C
【分析】根据角平分线的性质，求得∠ACD＝120°，利用三角形的外角性质求解即可.
【详解】∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝120°，
∵∠ACD＝∠A+∠B，且∠B＝35°，
∴∠A＝85°，
故选C.
7.【答案】C
【分析】利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
∵△CDB′是由△CDB翻折得到，
∴∠CB′D＝∠B，
∵∠CB′D＝∠A＋∠ADB′＝∠A＋20°，
∴∠A＋∠A＋20°＝90°，
解得∠A＝35°．
故选：C．
8.【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.
【详解】∵∠1=∠2，∠A=∠C，∠1=∠A+∠D，∠2=∠B+∠C，
∴∠B=∠D，
∴选项A、B正确；
∵∠2=∠A+∠D，
∴，
∴选项C正确；
没有条件说明
故选：D.
9.【答案】C
【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质定理即可得出的大小．
【详解】解：如下图所示，
∵和的平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
10.【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行判断即可．
【详解】解：A选项，三角形的内角和是180°，是真命题，不符合题意；
B选项，两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；
C选项，三角形的外角大于任何一个内角，是假命题，符合题意；
D选项，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
故选：C．
填空题
11.【答案】48°
12.【答案】90°或30°
【分析】先由两直线平行，内错角相等得出∠EFC＝∠PEF．若设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2x，∠EQP＝x，再由EF⊥PQ，根据三角形内角和定理得到∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，解方程求出x＝30°，然后根据三角形外角的性质即可求出∠AEQ的度数．
【详解】解：①如图：
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠PEF．
设∠PEF＝x，则∠EFC＝x，∠APQ＝2∠EFC＝2x，∠EQP＝∠EFC＝x．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＋∠APQ＝90°，即x＋2x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠EQP＝x＝30°，∠APQ＝2x＝60°，
∴∠AEQ＝∠EQP＋∠APQ＝30°＋60°＝90°．
②如图：
易知∠EFC＝∠FEB＝∠HEA，∠APQ＝∠HPE，
又∵∠PHE＝90°，
故∠EFC＝30°，∠EQP＝30°，∠APQ＝60°；
故∠AEQ＝∠APQ ∠EQP＝30°．
综上所述：90°或30°．
故答案是：90°或30°．
13.【答案】70°．
【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，
∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，
∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，
∠DCE＝40°+∠CBD②，
由①②得∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
14.【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出，再根据角平分线的定义求出和，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
【详解】解：根据三角形的外角性质，可得，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：45°．
15.【答案】75°．
【分析】利用外角求∠5，再根据平行线的性质求∠1．
【详解】解：由题意可知∠4=45°，∠2=∠3=30°，
∠5=∠2+∠3=75°，
∵，
∴∠1=∠5=75°，
故答案为：75°．
解答题
16.【解析】∵∠DCB是△DCE的一个外角，∴∠DCB>∠CDE．
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠ADB>∠DCB，
∴∠ADB>∠CDE．
17.【解析】∵∠1=∠2，∠B=40°，
∴∠2=∠1=（180°-40°）÷2=70°，
又∵∠2是△ADC的外角，∴∠2=∠3+∠4，
∵∠3=∠4，∴∠2=2∠3，
∴∠3=∠2=35°，
∴∠BAC=∠1+∠3=105°．
18.【答案】（1）；（2）∠F+∠FEC=2∠A，理由见解析
【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理求得∠C的度数，再在△EFC中，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案．
【详解】（1）在△ABC中，∠A=∠ABC，且∠A=70°，
∴∠C=，
∴∠F+∠FEC=；
故答案为：；
（2）∠F+∠FEC=2∠A，
理由：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，
∵∠A=∠ABC，
∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．
19.【答案】（1）平行，理由见解析；（2）∠1+∠2＝2∠B，理由见解析
【分析】（1）AB与DF平行．根据翻折可得出∠DFC＝∠C，结合∠B＝∠C即可得出∠B＝∠DFC，从而证出AB∥DF；
（2）连接GC，由翻折可得出∠DGE＝∠ACB，再根据三角形外角的性质得出∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，通过角的运算即可得出∠1+∠2＝2∠B．
【详解】解：（1）AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
20.【答案】（1）；（2）；（3）的度数是90°或60°或120°
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q=90°∠A，求出∠E=∠A，∠EBQ=90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E；④∠E=2∠Q；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵点是和的平分线的交点，
∴，
∴；
（2）∵外角，的角平分线交于点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴
，
∴
；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF=2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC，
∵∠ECF=∠EBC+∠E，
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E，
即∠ACF=∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠E，即∠E=∠A，
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=∠ABC+∠MBC
=（∠ABC+∠A+∠ACB）
=90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：
①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；
③∠Q=2∠E，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；
④∠E=2∠Q，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．
综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．
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