人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题（含解析）

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人教版八年级上册数学第十二章全等三角形单元试题
一、单选题
1．如图，和交于O，如，用证明还需添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
3．如图，平分，则下列图形能应用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，和是的高，交于点，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，于点D、E是上一点，若，，，则的周长为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．26
6．如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，厘米，，厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等
A．1 B．2或4 C．3 D．4或6
二、填空题
11．如图，在的上方有一点，连接，，，则的度数为 ．

12．如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 ．
13．如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为
14．如图，分别是外部的两点，连接，有，，．连接交于点，则的度数为 ．
15．如图，，，，于，，，则 ．
16．如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ．
17．如图，，，垂足分别为E，F，D是线段的中点，，若，，则的面积是 ．
18．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，通过判定三角形全等可说明，则判定三角形全等的依据是
19．如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ．

20．如图，已知，，垂足分别为，，、相交于点，若，，连接，则的面积为 ．

三、解答题
21．如图，已知．求证：．
22．如图，，，分别平分和，经过点．求证：．
23．如图，，，，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)求的度数．
24．已知：如图，点在同一直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：
25．如图，在中，点是上一点，，过点作，且．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，的面积是20，求的面积，
26．如图，．
(1)求证：；
(2)若，试判断与的数量及位置关系并证明；
(3)求的度数（用含的式子表示）．
27．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．
(1)求证：
①；
②；
(2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明．
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参考答案：
1．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
由，加上对顶角相等，再加上，即可利用得证．
【详解】解：还需添加的添加是，
在和中，
，
∴，
则还需添加的添加是，
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键
根据三角形全等的条件进行判断即可．
【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃，
应带③去．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答即可．
【详解】解：依题意，能应用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的是：
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找准全等三角形的对应边角．
先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，根据全等三角形的对应边相等证明，则．
【详解】解：于点，于点，
，
，
在和中，
，
．
，
，
，
的长是．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴的周长，
∵，，
∴的周长为．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
由平行线的性质得，再证，然后由证即可．
【详解】解：A、若，不是对应角相等，显然不能证明，不符合题意；
B、，
，
，
，
即，
，
不符合全等三角形的判定定理，不符合题意；
C、，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，符合题意；
D、，
，
，
，
即，
在和中，
，
，不符合题意，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，再根据，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了作图 作已知角的角平分线，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角分线的性质．
作于，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质定理得到，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：作于H，
由题中作法得平分，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
9．A
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵每本书长，厚度为，
∴，
∴．
故选：A．
10．D
【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．根据等边对等角可得，然后表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：，，点为的中点，
，
设点、的运动时间为，
，
若与全等．则有：
①当时，，
解得：，
则，
故点的运动速度为：；
②当时，
，
，
．
故点的运动速度为．
故选：D
11．25
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意直接证明，即可得出，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
又，，
∴，
故答案为：25．
12．/140度
【分析】设交于点，由已知，推出 ，证明，得，可求得，则，即可得到结论；此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．
【详解】解：设交于点，
在和中，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用．
【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点，
是的平分线
在与中，
，
，
，
又
，
为的平分线，
过点作于点，
在与中，
，
，
，
．
在与中，
，
为的平分线
，
在中，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，设交于点，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，再根据邻补角定义求解即可．
【详解】解：设交于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
求出，求出，根据证，推出，，即可得出答案．
【详解】解：，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键．
根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
17．28
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质．
通过证明，得出，进而得出，最后根据的面积，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积
，
故答案为：28．
18．
【分析】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．由作法可知，，，再加上公共边，即可利用“”判定三角形全等．
【详解】解：由作法可知，，，
又是公共边，
，
，
即判定三角形全等的依据是，
故答案为：
19．15
【分析】本题考查角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：过点D作于点E，

∵平分，，，
∴，
∴．
故答案为：15
20．6
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．先利用等角的余角相等得到，则可根据“”判断，所以，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积．
【详解】解：，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
则的面积．
故答案为：6．
21．见详解
【分析】求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出即可．本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【详解】证明：，
，
，
在和中
，
，
．
22．证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在上截取，连接，证明和，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：如图，在上截取，连接，
，分别平分和，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，，得到，继而得到，得证，证明即可得证．
（2）根据得到，设与交于点G．利用对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
（2）设与交于点G．
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形内角和定理，邻补角的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，对顶角的性质是解题的关键．
24．(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）利用即可证明；
（）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
25．(1)见解析
(2)40
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质是，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形面积相等，结合三角形中线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴．
26．(1)见解析
(2)且，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，正确掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由得到，又由，即可证明；
（2）将直线与的交点记为点O，由（1）可知，则，由，以及三角形内角和定理得到，即可得到结论；
（3）证明平分，由（2）可知，则，即可得到结论．
【详解】（1）∵
∴，
∴，
在和中
∴
（2）且，证明如下：
将直线与的交点记为点O，
由（1）可知，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）过A分别做，垂足分别为点M，点N，
由（1）知，
∴，
故
∴
∴平分
由（2）可知
∴
∴
27．(1)①见解析 ②见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了余角的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
（1）①根据证明即可得证．
②根据，利用全等的性质证明即可；
（2）根据证明即可得证．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
②解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵
∴．
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