人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
3．二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（ ）
x 0 1 2
y 8 5 4 5 8
A． B． C．或 D．
4．已知抛物线经过三点，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．在平面直角坐标系中，抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（　　）
A．B． C． D．
6．已知二次函数的图象交轴于，两点，若其图象上有且只有、、三点满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．时，随的增大而减小
C．对称轴是直线
D．抛物线与轴交于点
8．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（ ）
A．50元 B．80元 C．90元 D．100元
9．如图为二次函数的图像，下列说法：①：②；③；④当时，随的增大而增大：⑤；⑥对于任意实数，均有．正确的说法有（ ）
A．①④⑤⑥ B．①②③⑤ C．①③④⑥ D．①②⑤⑥
10．如图，在四边形中，，，．E为的中点，F为的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即止，记点P运动的时间为x、四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．函数图象的顶点坐标为 ．
12．当x取一切实数时，二次函数的最小4，则常数m的值为 ．
13．抛物线，当时，y随着x的增大而 ．（填“增大或减小”）
14．若二次函数的图象经过，两点，则，的大小关系是 ．（填“>”或“=”或“<”）
15．在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ．
16．已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“＜”连接）
17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为，则线段的长度为 ．
18．抛物线 与y轴交于点B，已知点A的坐标为，平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)，当点D，C都在抛物线上时，直线的解析式为 ．
19．已知抛物线与轴交于，两点，则，两点间的距离为 ．
20．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的是 （只填写序号）．
三、解答题（共60分）
21．已知抛物线过点，求m的值．
22．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为12米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若苗圃园的面积为72平方米，求的长．
(2)当x为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？
23．已知一次函数的图像与二次函数的图像相交于点．
(1)求一次函数的表达式：
(2)若点C是抛物线的顶点，连接，求的面积．
24．网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售价（元满足关系式：．经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元．设板栗公司销售该板栗的日获利为（元．
(1)请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式；
(2)当元时，此时的销售单价定为多少元？
25．超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶元在销售过程中发现，每天销售量瓶与每瓶售价元之间满足一次函数关系其中，且为整数，当每瓶洗手液的售价是元时，每天销售量为瓶；当每瓶洗手液的售价是元时，每天销售量为瓶．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)超市要想使该品牌洗手液的销售利润平均每天达到元，每瓶洗手液的定价应为多少元？
(3)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？
26．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点为动点，且，过点作于点，交抛物线于点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)若，求的值；
(3)连接，求四边形面积最大值．
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参考答案：
1．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
抛物线的顶点坐标是，
故选：．
2．B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，
则当时，x的取值范围为或．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识．从表格中获取正确的信息是解题的关键．
由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，由表格可知，当时，，即．
【详解】解：由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，
由表格可知，当时，，即，
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
依据题意，由抛物线为，从而对称轴是直线，再由和进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解．
【详解】解：由题意，∵抛物线为，
∴对称轴是直线．
若，则，
∴抛物线开口向上．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵经过三点，
又，
∴，故A错误，C正确．
若，则，
∴抛物线开口向下．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
∵经过三点，
又，
∴，故B、D错误．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握根据平移的规律“左加右减，上加下减”得出函数解析式是解题的关键．根据平移规律求解，即可解题．
【详解】解：抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
平移后的抛物线解析式为，
故选：B．
6．C
【分析】根据二次函数与轴的交点可知，，再利用数轴上两点之间的距离公式及二次函数的性质解答即可．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式，二次函数的性质，二次函数与方程，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【详解】解：∵二次函数的图象交轴于，两点，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当点，，中有点为抛物线顶点时满足题意，
∴，
故选：．
7．D
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、增减性和坐标轴交点，进而求解，解题关键是熟练掌握二次函数图象与性质．
【详解】、由得，则抛物线的开口向上，此选项说法正确，不符合题意；
、由得，则抛物线的开口向上，对称轴是直线，则时，随的增大而减小，此选项说法正确，不符合题意；
、由得对称轴是直线，此选项说法正确，不符合题意；
、由得，当时，，则抛物线与轴交于点，此选项说法错误，符合题意；
故选：．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，设售价为每个x元，则每个利润为元，销售量为，根据：每个利润销售量总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可．
【详解】解：设单价定为x元，总利润为W元，
则可得销量为：，单件利润为：，
由题意得，，
故可得当时，W取得最大值，为90元，
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，根据二次函数的图像确定系数以及代数式的值是解题关键．
根据抛物线的开口方向及抛物线与y轴的交点的位置，判断a、c的值，即可判断①；先求出对称轴可得出2a和b关系判断②；根据时函数值的大小判断③即可；再根据x的取值与对称轴的关系讨论函数值的大小即可判断④；根据时，，再将代入判断⑤；当时，，再比较即可判断⑥.
【详解】解：由抛物线的开口向上，则，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴，
∴，则①正确；
∵抛物线经过点和，
∴对称轴为，
∴，即，则②正确；
当时，，则③不正确；
当时，函数值随着y的增大而减小，之后函数值y随x的增大而增大，则④不正确．
由②得，当时，，
∴，即，则⑤正确；
当时，，
∴对于任意实数m，，
∴对于任意实数m，均有，则⑥正确．
所以正确的有①②⑤⑥．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查函数与图象的关系、四边形面积与点运动的位置关系，分类讨论，学会用排除法解决函数图象问题．四边形的面积的面积的面积，设的面积为，分两种情形讨论与的关系即可，用排除法即可．
【详解】解：设的面积为m，
点在上时，因为不一定平行，所以的面积是变化的，故可以排除．
当点在上时，，由题意是定值，是的一次函数，所以也是的一次函数，故、可以排除，
故选：A．
11．
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式写出顶点坐标即可．
【详解】解：函数图象的顶点坐标为，
故答案为：
12．6
【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
由，，可知当时，二次函数的值最小，为4，则，计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴当时，二次函数的值最小，为4，
∴，
解得，，
故答案为：6．
13．增大
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，进行作答即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的对称轴为轴，开口向下，
∴当时，y随着x的增大而增大；
故答案为：增大．
14．
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．
抛物线开口向上，且对称轴为直线，根据二次函数的图象性质：抛物线开口向上，离对称轴越近值越小即可求解．
【详解】解：∵二次函数的解析式，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：．
∵点，是二次函数的图象上两点，且，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键．
根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得．
【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，
∴轴，作图如下，
∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，
∴C为顶点，，对称轴为直线，
∴C在x轴下方，到x轴的距离为2，
∴在x轴的上方，到x轴的距离为2，
∴，
∴C到的距离为：，
∵，
∴，
设点A在点B的左边，则，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先确定抛物线的对称轴，根据二次函数的性质，然后利用抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大求解．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为直线，开口向上，
而点离对称轴最近，点离对称轴最远，
，
故答案为：．
17．6
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．将题中二次函数化为顶点式是解题的关键．
设顶点式，再解方程得，，然后把B ，A两点的横坐标相减得到的长度．
【详解】解：设抛物线解析式为，
当时，，
解得，，
所以，，
所以，
故答案为：6．
18．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数图象的平移，先求出点B坐标，由平移得，，设，则，再根据点C在抛物线上求出m的值，进而求出D，C坐标，最后利用待定系数法求解．
【详解】解：当时，，
，
，，
平移线段得到线段 (A平移到D，B平移到C)，
，，
设，则，即，
点C在抛物线上，
，
解得，
，，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
设直线的解析式为，
故答案为：．
19．4
【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点问题，确定，两点的坐标是解题关键．先求出二次函数图像与轴的2个交点的坐标，然后再求出两点之间的距离即可．
【详解】解：对于抛物线，
令，可得，
解得，，
即，两点的坐标分别为，，
∴，两点间的距离．
故答案为：4．
20．②③⑤
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：②③⑤．
21．m的值为
【分析】把点代入得到关于的方程，解方程即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，因式分解法解一元二次方程，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键，注意二次项系数不为0．
【详解】解：抛物线过点，
，
整理得，
解得，，
，
，
的值为3．
22．(1)的长为12米
(2)当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；
（2）先根据题意求出x的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）解：依题意可列方程，
∴
解得，
当时，，故舍去；
当时，，
，
∴的长为12米；
（2）解：依题意，得，
解得．
∵面积，
∴当时，有最大值，；
答：当时，苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式及三角形面积等知识点，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．
（1）先求出，代入一次函数表达式求出即可；
（2）先求出点C坐标，过C作轴交于D，求出点D坐标，进而求出面积．
【详解】（1）解：由题意知在的图像上
∴，
∴
将代入一次函数，
得
∴
∴一次函数解析式为；
（2）
，
过C作轴交于D，
当时，
则 ，
，
∴．
24．(1)
(2)销售单价定为28元
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
（1）日获利为每千克利润销售量，代入数据可得答案；
（2）结合（1）的结论，令解出的值即可．
【详解】（1）根据题意得：，
日获利与销售价之间的函数关系式为；
（2）当时，
，
解得，
答：销售单价定为28元．
25．(1)
(2)每瓶洗手液的定价应为元或元
(3)当每瓶洗手液的售价定为元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是元
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据销售数量乘以每千克的利润等于总利润列方程求解即可；
（3）设每天的销售利润为元，列函数关系式，根据二次函数的性质解答．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）设与之间的函数关系式为，根据题意，得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2），
解得，，
，
，，
答：每瓶洗手液的定价应为元或元．
（3）设每天的销售利润为元，则有：
，
，
开口向下，
当时，随的增大而增大，
，且为整数．
当时，有最大值，最大值为元．
答：当每瓶洗手液的售价定为元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是元．
26．(1)，顶点坐标为
(2)的值为1
(3)
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由得：，即可求解；
（3）由四边形面积，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则
∴抛物线的表达式为，
∴顶点坐标为；
（2）解：在中，令得，
∴，
由，得直线解析式为，
∵点，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴的值为1；
（3）解：点，则，，
则四边形面积，
故四边形面积最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，设计待定系数法、两点间的距离、三角形面积公式，二次函数图象上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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