人教版九年级上册数学第二十二章二次函数的图像及性质专题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数的图像及性质专题训练
一、单选题
1．二次函数的图象经过点，则代数式的值为（　　）
A． B．0 C．2 D．5
2．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
4．已知二次函数（、是常数，且）的图像过点与点，当时，有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．(为任意实数)
6．把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则函数（ ）
A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7
C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值
8．设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．4
9．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．①④ D．③④
二、填空题
10．抛物线顶点坐标为 ．
11．抛物线，当时，函数y的取值范围是
12．二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ．
13．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ．
14．已知抛物线，当 时，随的增大而增大．
15．抛物线经过点，则n的值是 ．
16．如图，抛物线与x轴交于点A、B（点A在B左侧），抛物线的顶点为C，点 D为抛物线上一点，且在对称轴右侧，若的面积为3，则点D的坐标为 ．
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．
18．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点D是抛物线上一点，当的面积为10时，求出点D的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，是否存在以为腰的等腰直角，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当时，求的面积；
(3)当时，求点的坐标；
(4)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
20．如图，顶点坐标为的抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，D是直线上方抛物线上的一个动点，连接交抛物线的对称轴于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，当的周长最小时，求点D的坐标；
(3)过点D作轴于点H，交直线于点F，连接．在点D运动过程中，是否存在使为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．B
【分析】把点代入解析式得即，解答即可．
本题考查了抛物线过点，求代数式的值，熟练掌握图象过点的意义是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键．
根据抛物线与直线交于M，N两点，可得方程有两个不等的负实数根，从而可判断．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，点M，N在第二象限，
∴方程有两个不等的实数根，且两个根都是负数，
即方程有两个不等的负实数根，
∴二次函数的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴．
故选：A
3．B
【分析】本题是两条直线相交问题，考查了两条直线交点的求法，勾股定理的应用，二次函数的性质等，用含的式子表示出是解题的关键．
联立两个解析式构成方程组，得出点坐标，根据勾股定理得出，然后根据二次函数的性质可得有最小值．
【详解】由，解得
∴，
∴，
∴时，有最小值．
故选：．
4．D
【分析】本题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合是解题关键，根据待定系数法求得函数，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数的图象和性质，可求得a的取值范围．
【详解】解：∵二次函数的图像过点与点，
∴
解得∶，
∴函数，
∴该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴交点为
∵当时，，
∴当时，
∴当时，有最小值，
∴．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；
由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D．
【详解】解：A、抛物线开口往下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
抛物线的与x轴的交点是：和
∴对称轴为，
，
，
，故选项A错误．
∵，
∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）．
，，
∴，故选项C错误．
抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
当时，函数值最大为，
当时，，
，
，故选项D正确．
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移．根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”．即可求解．
【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为．
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先把解析式化为顶点式得到开口方向和对称轴，进而得到在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此结合自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由题意得，抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵，
∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∴当时，当时，y有最小值1，当时，y有最大值，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质．
由根的判别式结合k为非负数得到，由一元二次方程根与系数的关系得到，，将展开变形得到，代入后得到，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：由题意可知，此方程有两个非负实数根，
∴，解得或，
∵k为非负实数，
∴．
∵方程的两实数根为a，b，
∴，，
∴
，
∵当时，随k的增大而增大，
又，
∴当时，有最小值，为，
∴的最小值为2．
故选：C
9．C
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图象的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①和②，特殊点判断③，增减性判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，过点，
∴，
∴，
∴，故①正确，②错误，
∴，
∴，故③错误，
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，故④正确；
故选C．
10．
【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标公式，进行作答即可．
【详解】解：抛物线顶点坐标为；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了抛物线图像与性质，根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为，处于取值范围内，将对称轴代入抛物线解析式即可得到y的最小值，再根据距离对称轴越远的函数值越大，即可得到y的最大值，并注意根据取值范围，y的取值能否等于最小值和最大值，即可解题．
【详解】解：由题可知：抛物线开口向上，对称轴为，
，
的最小值为，
，
的最大值为，
当时，函数y的取值范围是，
故答案为：．
12． 上
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数各种表达式形式的转化是解题的关键．
先将一般式配方成顶点式，然后即可得出答案．
【详解】解：，
二次函数的图象的开口向上，
，
二次函数的图象的顶点坐标是，
故答案为：上，．
13．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质．过作轴于，过作于．则，证明，可得，，设，则， 可得，再求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过作轴于，过作于．则，
∴，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴．
，，
，
，抛物线的对称轴为直线，
∴，
令，，
∴，
设，则，
，
设直线的解析式为，
，解得：
∴直线的解析式为．
令，
，
，，
．
故答案为：
14．
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
直接根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把代入函数解析式中进行求解即可．
【详解】解：把代入中得：，
∴，
解得，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数与面积综合，二次函数的图象与性质，一次函数解析式是解题的关键．
令，即，可求或，即，，由，可得，如图，记直线与轴的交点为，设，且，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，即，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果．
【详解】解：令，即，
解得，或，
∴，，
∵，
∴，
如图，记直线与轴的交点为，
设，且，设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
∴，
整理得，，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)或或或
【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案；
（2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可；
本题是二次函数综合题，考查了解析式的求法、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，熟练掌握等腰三角形的判定、分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，两点在抛物线上，
∴
解得，，
∴抛物线的解析式为：，
（2）解：令，
∴，
由为等腰三角形，如图甲，

当以点为顶点时，，点与原点重合，
∴，
当以点为顶点时，，是等腰中线，
∴，
∴，
当以点为顶点时，
∴点D的纵坐标为或，
∴综上所述，点D的坐标为或或或．
18．(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法进行求解即可；
（2）设点D的坐标为，根据三角形的面积公式得到，求出，再代入解析式，求出的值，即可得出结果；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入，
∴，
解得，
∴．
（2）设点D的坐标为，
∵的面积为10，
∴，即，
解得．
①当时，，
解得：，，
∴D或．
②当时，，
此方程无实数根，
综上所述，点D的坐标为或．
（3）存在，
①当时，，
∴M点与A点重合，
∴；
②当时，，
如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线，过点P作交于点H，过点M作交于点G，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，
∴，解得或．
∴或．
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为．
如图2，当P点在M点下方时，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，
∴，解得（舍）或，
∴．
综上所述：M点的坐标为或或．
19．(1)
(2)3
(3)或
(4)的值是或
【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答；
（2）先计算点的坐标，利用待定系数法可得的解析式，最后利用面积和可得的面积；
（3）分两种情况：当点P位于直线下方时，先计算，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得：，则，从而根据直线和抛物线的交点坐标可解答，当点P位于直线上方时，作轴于E，于F，求出即可；
（4）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答．
【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：∵点是抛物线上的动点，，
∴，
∴，
设的解析式为：，与轴交于点，
把和代入得：，
∴，
∴的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
∴的面积；
（3）解：如图1，当点位于直线下方时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可求得的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴；
当点位于直线上方时，作轴于，于，
则，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时，即．
综上，或．
（4）解：如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
由题意得：，
∵，
∴抛物线对称轴是直线，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（如图3），；
如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，
同理可得：，
∴，
∴，
解得：，，
综上，的值是或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
20．(1)
(2)D的坐标为：
(3)存在，点F的坐标为：或或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，即可求解；
（3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解．
【详解】（1）解：由题意得：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）如下图，作点C关于抛物线对称轴得对称点D，连接交于点E，此时的周长最小，
理由：为最小，
对称轴为，由点的对称性知，点的对称点D的坐标为：；
（3）存在，理由：
令，则，
解得或，
∴点，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，
由点A、C、F的坐标得，，
同理可得：，
当时，
则，
解得：（舍去）或2，
即点；
当或时，
同理可得：或，
解得：（舍去）或或；
综上，点F的坐标为：或或．
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