人教版九年级上册数学第二十二章二次函数--图形问题专题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数--图形问题专题训练
一、单选题
1．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为的正方形，改建的绿地的是矩形，其中点E在上，点G在的延长线上，且．那么当为多少时，绿地的面积最大？（　　）
A． B． C． D．
2．小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
3．建筑队在工地一边靠墙（不限长）处，用85米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，则的最大值为（　　）
A．418 B．484 C．516 D．648
4．某茶杯的过最低点 的竖直截面如图所示，其中杯体竖直截面 呈抛物线形状杯体厚度忽略不计，点，点位于杯口处，且，点 是抛物线最低点， 当茶杯装满茶水时，茶水的最大深度点到的距离为，将茶水倒出一部分后，茶水的最大深度恰好为点到的距离，求此时的长度 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A． B．
C． D．
6．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（ ）
A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确 D．两人均错误
7．如图，用总长度为的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与平行，则矩形框架的最大面积为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ．
10．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．

11．如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是 ．
12．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了设计方案．现把这个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示．其中，点在轴上，，．若抛物线型拱门的跨度，拱高，则抛物线的函数表达式为 ．
13．用长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，则做成的窗框的最大透光面积是 ．（透光面积指的是整个矩形面积）
14．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为 ．
15．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长（单位：）与面积（单位：满足函数解析式，则矩形的面积的最大值为 ．
16．太阳加工厂的师傅用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，此时该矩形窗框的长与宽的和为 m．

三、解答题
17．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
18．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
19．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为．
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由；
(3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？
20．陕北的窑洞是依山势开凿出来的这样一个拱顶的窑洞．由于黄土高原的黄土本身具有直立不塌的性质，而拱顶的承重能力又比平顶要好，所以窑洞一般都是采取拱顶的方式来保证了它的稳固性．如图为某窑洞门的示意图，如右图建立平面直角坐标系，窑洞的下半部分四边形为矩形，且 窑洞的上半部分的拱形近似为抛物线的一部分，窑洞门的最高点距地面为
(1)求抛物线的解析式(不写取值范围)；
(2)窑洞主人对窑洞的拱形部分进行设计，设计图如图所示，其中，点M，N在抛物线上，，，，，均垂直于，，交于点Q，R，已知． 四边形和四边形为正方形，求点 M，N 的坐标；
(3)判断四边形的形状并说明理由
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参考答案：
1．B
【分析】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．
设的长为，绿地的面积为，根据题意得出函数解析式进行解答即可．
【详解】解：设，则，绿地的面积为，
根据题意得：
，
∵二次项系数为，
∴当时，y有最大值72．
即当时，绿地面积最大．
故选：B．
2．A
【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键．
【详解】解：，
抛物线顶点的坐标为，
，
点的横坐标为，
把代入，得到，
，
．
故选：A
3．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，正确列出解析式是解题的关键．设仓库的宽为米，根据题意可求得仓库的长为米，再由矩形的面积公式列出函数解析式，最后根据函数性质求最值即可．
【详解】解：设仓库的宽为米
则仓库的长为：米
根据题意可得：
当时，有最大值，最大值为484．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的应用；建立直角坐标系，设截面抛物线为，则把代入求出解析式，然后将代入求出液面的宽即可．
【详解】解：依题意，建立如图所示的直角坐标系，设截面抛物线．

将代入，得．解得．
∴．
将代入，
得．
解得．
∴，，
∴．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为，可得另一条边长为，再利用矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积关于的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，然后分别令和，解方程求出，取在取值范围内的值即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，
；
根据题意，得不等式组，
解得：，
当时，，
解得（不合题意，舍去）；
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
故小亮说法正确．
故选：B．
7．A
【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．用含的代数式表示横档的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积．
【详解】解：为米，则，
，
当时，取得最大值4；
长方形框架的面积最大为．
故选：A
8．A
【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【详解】解：设矩形的宽为，面积为，
根据题意得：，
∴时，菜园面积最大，最大面积是．
故选：A．
9．/
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设，则，，设矩形养殖场的总面积是，根据题意得：，由二次函数性质求最值即可．
【详解】如图，
设，
∵分成两个面积为的矩形，
∴，，
设矩形养殖场的总面积是，
墙的长度为，
，
根据题意得：，
，
当时，取最大值，最大值为．
故答案为：．
10．450
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答．
【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
又墙长为40米，
∴．
∴．
菜园的面积，
∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米．
故答案为：450．
11．
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，设移动时间为，用含的代数式表示出，，在中，根据勾股定理，列出关于的代数式，应用配方的方法，即可求出线段的最小值，解题的关键是：熟练应用配方法，求二次函数的最值．
【详解】解：设移动时间为，则，，，
在中，，
整理得：，
当时，取得最小值，此时，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查二次函数的应用，解答中涉及待定系数法求解析式，函数图像上点的坐标确定，掌握待定系数法是解题的关键．
根据图象得到函数顶点坐标，设顶点式，代入原点即可求得答案．
【详解】解：由题意可知，抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得：，
解得：，
，
抛物线的函数表达式为．
13．
【分析】设窗的宽为，高为，则根据矩形面积公式列出二次函数，求函数值的最大值即可．本题考查了二次函数的应用，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．
【详解】解：设窗框的宽为m，
高为，
，
，
有最大值，即：当时
，
则
做成宽为、长为时，才能使做成的窗框的透光面积最大，最大透光面积是，
故答案为：2．
14．2
【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得修改后的花园面积，
∵，
∴当时，修改后的花园面积达到最大，
故答案为：2．
15．121
【分析】本题主要考查了图形和二次函数的问题，根据二次函数的性质解题即可．
【详解】解：由函数关系可知，
∵二次函数的二次项系数即，
∴当时，y最大值．
故答案为：121．
16．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数解析式，设该矩形窗框的水平方向的边长为，则竖直方向的边长为，窗框的面积为，得出，根据当时，y有最大值，即可得出矩形窗框的水平方向的边长为，则竖直方向的边长为时，窗框的透光面积最大，最后求出结果即可．
【详解】解：设该矩形窗框的水平方向的边长为，则竖直方向的边长为，窗框的面积为，根据题意得：
，
∴当时，y有最大值，
此时矩形窗框的水平方向的边长为，则竖直方向的边长为，
则该矩形窗框的长与宽的和为，
故答案为：．
17．(1)；
(2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式．
（1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案；
（2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形，
在中，，，，
∴
；
（2）解：正方形的面积为：，
∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8．
18．(1)，
(2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
(3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
（1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可．
【详解】（1）根据题意得，，；
（2），
当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
（3）由题意得，，
将代入得：，
解得：，
，
不符合要求，舍去，
矩形场地的最大总面积不能达到．
19．(1)，
(2)时，花园的面积能达到
(3)时，的最大值为
【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围；
对于（2），令，求出解即可；
对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则
∴
因为墙长.
∴，
自变量的取值范围是；
（2）此花园面积能达到，理由如下：，
解得（舍），，
时，花园的面积能达到 ；
（3），
∵，，
当随的增大而减小，
∴时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键．
20．(1)
(2)，
(3)正方形，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正方形的判定与性质，掌握二次函数的性质和正方形的判定与性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）由已知条件可得出，由正方形的性质可得出，则M、N的纵坐标为，再求出二次函数的自变量即可得出答案．
（3）由题意得，，，即点G、H的横坐标分别为1和2，分别求出点G，H的纵坐标，即可得出，，则可得出四边形为正方形．
【详解】（1）解：由题意得，点A、B的坐标分别为：、，
由抛物线的对称性可得顶点坐标为，
设抛物线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：
（2）∵，
∴，
又∵四边形和四边形为正方形，
∴，则M、N的纵坐标为，
即，
解得：，
∴点，．
（3）由题意得，，，即点G、H的横坐标分别为1和2，
将G点横坐标代入解析式可得：，
同理，将H点横坐标代入解析式可得，，
则，
∴四边形为正方形．
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