人教版九年级上册数学第二十二章二次函数--图形运动问题专题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十二章二次函数--图形运动问题专题训练
一、单选题
1．如图，在菱形中，，点同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动．设运动时间为的面积为，则下列图象中能大致反映关于的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．直线与x轴、y轴分别交于点A， B， 点C在线段上，过点C作x轴的垂线，垂足为D．E是线段上一动点(不与点A，B，C重合)，过点E作x轴的垂线，垂足为F，连接．若点 C的横坐标为， 则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．如图，在中，，，，于点，点、、分别是边、、的中点，连接、，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点方向运动（点运动到的中点时停止）；过点作直线与线段交于点，以为斜边作，点在上，设运动的时间为，与矩形重叠部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，D为上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是（ ）

A．6 B．8 C． D．
7．如图是一种轨道示意图，其中分别是菱形的四个顶点，．现有两个机器人(看成点)分别从两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则 与之间的函数关系用图象表示大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，，，为中点，动点从点开始沿方向运动到点停止，动点从点开始沿方向运动，与点同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒个单位；若设他们的运动时间为（s），的面积为，则与之间的函数关系的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，在中，，，，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为，动点由点出发沿方向向点匀速移动，速度为．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．若动点P、Q同时从A、B两点出发， 时，的面积最大，最大面积是 ．

10．如图，等边的边长为是上一点，过点作的垂线，交于，用表示线段的长度，显然，的面积是线段的二次函数，则这个函数顶点式是 ．
11．如图，在中，．点P在边上，从点A向点C移动；点Q在边上，从点C向点B移动，连结．点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为，线段的长为．当 时，L的最小值为 cm．
12．如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ．
13．如图，在矩形中，动点E从点D出发向终点A运动，连接，以为边在上方作正方形，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为 ．

14．如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式 ．
15．如图，在边长为的正方形中，点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 时，四边形，的面积最小，其最小值是 ．
16．如图，矩形的两边长，，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间 秒时，的面积最大，最大值为 ．

三、解答题
17．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发；
(1)经过几秒的面积等于？
(2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ．
18．如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为．
(1)当时，的形状是______．
(2)当点Q与点B重合时，求x的值．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
19．如图，在矩形中，，，点是的中点．动点从点出发，沿折线以的速度运动，作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为，的面积为．
(1)当时，的形状是 ．
(2)当点与点重合时，求的值．
(3)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
20．如图，在矩形中，，动点E从点A出发，以的速度沿射线方向运动，以为底边，在的右侧作等腰直角三角形，当点F落在射线上时，点E停止运动，设与矩形重叠部分的面积为S，运动的时间为．
(1)当t为何值时，点F落在射线上；
(2)当线段将的面积二等分时，求t的值；
(3)求S与t的函数关系式．
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查动点问题中的函数图象的判断，涉及菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、一次函数二次函数的图象，分类讨论求得函数的解析式是解答的关键．先证明，均为等边三角形，再分、、三种情况，分别画出对应图形，利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求得y与x的函数关系式，结合一次函数、二次函数的图象特征逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，均为等边三角形，
∴，，
由题意，，
当时，点P在，点Q在上，如图，过P作于E，
由题意，，，
在中，，
∴，则，
∴，故D选项不正确；
当时，点P在上，点Q在上，如图，过Q作于F，
由题意，，，
在中，，
∴，则，
∴，故B选项不正确；
当时，点P、Q均在上，如图，过A作于G，
由题意，，，
∴，
在中，，
∴，则，
∴，故选项C不正确，
综上，选项A正确，符合题意，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的最值和勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用二次函数的性质即可求出四边形的面积最小值．
【详解】解：在中，，，，
，
设运动时间为，则，，
∴
当时，四边形的面积取最小值，最小值为．
故答案为：C．
3．C
【分析】本题考查一次函数、二次函数，先根据一次函数的性质计算出，设点E的坐标为，用关于m的二次函数关系式表示出，求出二次函数的最值，即可判断与的大小关系．
【详解】解：点C在线段上，横坐标为，
点C的纵坐标为，
，，
；
设点E的坐标为，
则，，
，
，
当时，取最大值，最大值为1，此时点E与点C重合，
，
故选C．
4．B
【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为，，三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出，两段，用排除法解决．
【详解】分析平移过程，
①从开始出发至与点重合，由题意可知，如图，
则，
过点作于点，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴与的函数关系是正比例函数；
②当，即从与重合至点与点重合，如图，
由①可得，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
此函数图象是开口向下的二次函数；
③当，即从点与点重合至点到达终点，如图，
由①可得，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与的函数关系是一次函数，
综上，只有选项A的图象符合，
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了二次函数图象，求二次函数解析式，在中，则，求得的长，设函数的顶点解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：在中，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，（舍）或，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】设菱形的边长为，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：①设，如图所示，
∵移动时间为，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，；
②设，如图所示，
∵移动时间为，，
∴，，，，
∴，
∴ 在中，，
∴函数图像为两个二次函数图象；
③当从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是；从出发的机器人在点，从出发的机器人在点，此时距离是；
∵设，，
∴，，
∴，
∴，
∴函数图象的起点和终点高于中间点；
综上所述：项符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了二次函数图象的实际应用，菱形的性质，掌握二次函数图象的特点是解题的关键．
8．A
【分析】先求出点P在上运动是时间为6秒，点Q在上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得，然后分①点Q在上时，表示出，再根据的面积为，列式整理即可得解；②点Q在上时，表示出，再根据的面积为，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．
【详解】解：∵点P、Q的速度均为每秒1个单位，
∴点P在上运动的时间为（秒），点Q在上运动的时间为（秒），
∵E为中点，
∴，
①如图1，点Q在上时，，
则，
的面积为，
②如图2，点Q在上时，，
则，
的面积为，
，
综上所述，，
函数图象为对称轴为直线的抛物线的一部分加一条线段，只有A选项符合．
故选：A．
【点睛】属于动点问题的函数图象，考查三角形的面积公式，二次函数的图象与性质等，综合性比较强，难度较大．
9． 3 9
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，直接利用面积公式建立二次函数，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】解：设点P、Q移动的时间为，则，，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为．
故答案为：3，9
10．
【分析】根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式，因为点是上一点，可列关于的一元一次不等式求出范围即可．
【详解】解：∵正三角形的边长为4，，，
∴，，
∴
∴，
∴
∴，
∵是上一点，
∴，即：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形性质，含直角三角形三边关系，勾股定理，利用三角形面积公式列函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点．
11．
【分析】本题考查了勾股定理以及二次函数的应用，当运动时间为时，，
则．利用勾股定理可得出，利用二次函数的性质可求出的最小值，再结合L为正值，即可得出：当时，L取得最小值，最小值为．
【详解】解：当运动时间为时，，
．
，
，即，
，且，
随t的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值，
又为正值，
∴当时，L取得最小值，最小值为．
故答案为：2；．
12．
【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理及二次函数的性质，根据点D在的运动过程中，y有最大值结合二次函数最值求出，根据勾股定理求出，表示出函数解析式求最值即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵当点D在的运动过程中，y有最大值，
∵绕点A逆时针旋转到达点E，
∴，
设，
∴，
∴当时y最大，即点D运动到中点时y最大，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），
当点D在上运动时，由函数图像得，点D到点C时最大如图，
，
∵绕点A逆时针旋转到达点E，
∴，，三点共线，，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正方形的性质，矩形的性质，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．设，矩形中，可得，由勾股定理可得，再由列出二次函数求解即可．
【详解】解：设，
在矩形中，
，
，
，
，，
∴当时，有最小值，为，
故答案为：
14．
【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．
【详解】解：①当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作于点E，
，
，
，
即；
②当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
过点作于点E，
，
，
即；
③当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是等边三角形，且，
过点D作于点E，
，
，
即；
综上，写出与之间的函数关系式为．
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查二次函数与实际问题的运用，理解并掌握配方法求二次函数最值的方法是解题的关键．
根据题意，设运动时间为，可得，，，可得，根据数量关系列式，可得关于的二次函数的解析式，运用配方法求最值即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
点，，，分别从点，，，同时出发，均以的速度向点，，，匀速运动，设运动时间为，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
∵，即关于的二次函数图像开口线上，则有最小值，
∴当时，有最小值，且最小值为，
故答案为：，．
16． 4 20
【分析】，，根据，结合得出当时，的面积最大，且最大值为．
【详解】解：∵N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动，
∴，
∵M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，
∴，，
∴
，
∴当时，的面积最大，且最大值为：
．
故答案为：4；20．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意得出．
17．(1)秒或秒后,的面积等于；
(2)大；9
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键．
（1）设秒后,的面积等于,分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可；
（2）根据，当时，即可取得最大值9．
【详解】（1）解：设秒后,的面积等于,则,,,
根据题意得：
，
解得:或，
答：秒或秒后,的面积等于；
（2）解：∵
，
，开口向下，
∴当时，取得最大值9，
∴经过3秒，的面积最大，最大值是9．
故答案为：大；9．
18．(1)等腰直角三角形
(2)3
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证；
（2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案；
（3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，点运动的距离为：，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是的中点．
∴，
∴当时，点在中点上，
如图，作于，则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形；
（2）如图，当点与点重合时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴此时点的运动的距离为，
∴；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是的中点．
∴，
如图，当时，点在上运动，
，
此时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
如图，当时，点在上运动，作于，则，
∴四边形为矩形，
∴，
同（1）可得，，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形，
由题意得：，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，点在上运动，作于，
同理可得：四边形为矩形，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
19．(1)等腰直角三角形
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得出当时，点在上，如图，作于，则，证明，得出，即可得证；
（2）求出当点与点重合时，此时点的运动的距离为，计算即可得出答案；
（3）分三个阶段：当时，点在上运动；当时，点在上运动，作于；当时，点在上运动，作于，分别利用矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当时，点运动的距离为：，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是的中点．
∴，
∴当时，点在中点上，
如图，作于，则，
，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形；
（2）解：如图，当点与点重合时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴此时点的运动的距离为，
∴；
（3）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点是的中点．
∴，
如图，当时，点在上运动，
，
此时，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
如图，当时，点在上运动，作于，则，
，
∴四边形为矩形，
∴，
同（1）可得，，
∴，
∴的形状是等腰直角三角形，
由题意得：，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，点在上运动，作于，
，
同理可得：四边形为矩形，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由矩形的性质和等腰直角三角形的性质得出，再由运动得出，即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得出斜边上的高也是中线，根据三角形的中线把三角形面积平分，判断出点F在上，即可；
（3）分三种情况先利用矩形和运动的特点显示出三角形高，底边和梯形的上下底，高，再利用三角形和梯形的面积公式求解．
【详解】（1）如图1，
过点F作于H．
在矩形中，
，，
∵点F落在射线上，
∴，
是等腰直角三角形，,
，
∴；
（2）如图2，
∵是等腰直角三角形，,
,
,
∴将 的面积二等分，
,
∴，
∴；
（3）当时，如图3，
过点F作，
由运动知，，
，
，
当时，如图4，
过点F作，
由运动知，，
，
,
当时，如图5，
过点F作，
,
,
综上所述，；
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，梯形，三角形的面积公式，用运动时间表示线段是解本题的关键．
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