人教版九年级上册数学第二十四章圆证明题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十四章圆证明题训练
1．如图，是的直径，点D在射线上，与⊙O相切于点C，过点B作，交的延长线于点E，连接、．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
2．如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点E，点D是边的中点，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若的半径为，，求．
3．如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证：
(1)；
(2)．
4．如图，Rt中，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交和边于点和，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
5．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，，垂足为，是与的交点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
6．如图，在中，、为弦，为直径，于E，于F，与相交于G．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
7．如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．

(1)求证：；
(2)若，求劣弧的长．(结果保留)
8．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为，．连接交于点，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若点是的中点，的半径为6，直接写出的长．
9．如图，已知内接于，为的直径，点D为上一点，，E为延长线上一点．
(1)连接，求证：平分；
(2)过点D作于点F，若，求的长．
10．如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的半径．
11．已知：如图，是圆的直径，，过点作圆的切线交的延长线于．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的长度．
12．如图，是的直径，为弦，过点C作的切线，交的延长线于点M，点D为切线上一点，过点D作于点E，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，且，求的半径．
13．如图，为的直径，是半圆的三等分点，过点作延长线的垂线，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若图阴影部分面积为，求的半径．
14．如图，是的弦，经过圆心交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
15．如图，在中，，点在边上，以为直径的与相切，切点为点，连接，．
(1)求证∶平分；
(2)若的直径为，求的长．
16．如图，为的直径，，为上不同于，的两点，且位于异侧，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求点到的距离．
17．如图，四边形中，，，过三点的圆与交于点．
(1)求证：是的中点；
(2)若，求证：．
18．如图，一个圆形瓶盖和一个直角三角形纸板，点O在斜边上．与分别交于点B和D，与切于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的半径长．
19．如图1，是的直径，弦垂直于点，点是上一点，连接与交于点，连接，已知．
(1)证明：平分；
(2)如图2，若经过点，求的长．
20．如图，中，为直径，点为 的中点，过点作的延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的半径长．
21．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线交延长线于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．如图，四边形是的内接四边形，，D为的中点，的延长线交于点E，的切线与交于点F．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
23．点在以为直径的上，，点在上由点开始向点运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：为的切线．
24．如图，在中，，经过点B，C，且与、的延长线分别交于点D，E，连接、，延长到点F，使得．
(1)求的度数；
(2)求证：与相切；
(3)若的长为2，求的半径．
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参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)12
【分析】本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）设的半径为r，则，
，
∴，
∵，
在中，
即，
∴，
∴．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识．
（1）如图连接，，由是直径知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，再利用，根据等腰三角形的性质知，得到，即得证为切线；
（2）由，知，在直角中可利用勾股定理求出，再利用的面积相等求出，然后在直角中利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
又，
∴，
∴是的切线．
（2）解：∵，知，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解；
（2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，则，
∵是内接正十边形的边长，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵内接正十边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键．
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，证，求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到，由相切于点D，得到，求得，设，则，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连结，
∵与相切于点D，
∴，
即．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵在中，，，
∴，
∵相切于点D，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，（不符合题意的根舍去）
∴，
∴图中阴影部分的面积．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明，解（2）的关键是求出扇形的面积，此题难度一般．
（1）连接，先证明，进而得到，于是得到，进而证明是的切线；
（2）分别求出的面积和扇形的面积，利用即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在圆上，为圆的半径，
是圆的切线；
（2）在中，，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
（1）由，可得，又由“同弧所对的圆周角相等”可得，进而可得，由此可得．
（2）连接，设，则，，，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理列方程即可求出r的值．
【详解】（1）证明：如图，连接，
于E，于F，
又，
，
∵，
，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：如图，连接，设，则，
∴，
∴，
于E，，
∴，
在中，，
即，
解得或（舍去）．
即的半径为．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径，
∴，
∴，，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵四边形是边长为4的正方形
∴
∴的长度为．
【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论；
（2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）∵，点是的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵的半径为6，
∴，
∴，
∴．
9．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了圆的综合题，涉及到圆周角定理、全等三角形的性质及判定、垂径定理的推论，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关性质
（1）连接并延长交于点H，证明，再根据等腰三角形的性质及等量代换来证得结果；
（2）连接，过点D作，垂足为点G，证明及，再通过等量代换得出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点H，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明，如图，连接，过点D作，垂足为点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴
10．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】本题主要考查垂径定理、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键．
（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可；
（2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接；由弧相等可得；再由等边对等角及等量代换、平行线的判定即可证明；
（2）连接，易证是等边三角形，则得，从而求得，由勾股定理即可求得的长．
【详解】（1）证明：如图，连接；
，
；
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
为圆的切线，，
；
由（1）知，，
；
，
是等边三角形，
，
，
由勾股定理得．
【点睛】本题考查了等弧对的圆周角相等，切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，题目不难，但涉及的知识点较多，关键是熟练运用这些知识．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，结合，推出，再根据，得到，结合，即可证明结论；
（2）连接，由勾股定理求出，设，则，根据，求出x的值，即可得到半径的值．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
，，
，
设，
，
，
，
，即，
，
，
，
的半径为．
【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，直角三角形的特征，等腰三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了切线的判定，扇形面积；
（1）根据点为半圆的三等分点，则，得出，再根据可得为的切线；
（2）根据题意可得是等边三角形，，，可得，根据图阴影部分面积为，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是半圆的三等分点，
，，
，
．
又，
，
是的切线．
（2），，
是等边三角形，
，
，
，
，（舍）
的半径为2
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可．
（1）连接，根据，求出，根据，则，即可；
（2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
（2）∵是的切线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线性质，角平分线定义，平行线的判定和性质相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线．
（1）连接，则，通过证明，得出，进而得出，即可求证平分；
（2）通过证明，得出，进而求出，则 再证明得出即可求解．
【详解】（1）证明∶连接，则，
，
是的切线，
，
，
，
∴，
，
平分；
（2）解：是的直径，
，
由（1）得，
，
，
，
，（负值舍去）
∵，
．
16．(1)见解析
(2)
【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，三角形面积法，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，由于，则根据三角形外角性质得，而，所以，根据平行线的判定得到，再得到，然后根据切线的判定定理得为的切线；
（2）过点作的垂线段，利用面积法即可解答．
【详解】（1）证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：，，
,，
，
，
，即点到的距离为．

17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解答的关键．
（1）连接，先根据圆周角定理证得为直径，进而，再利用等腰三角形的三线合一性质可得结论；
（2）连接．根据已知和（1）中结论，结合等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理得到，再利用圆周角定理得到即可证得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接．
三点共圆，且，
为直径，
，即
又
即是的中点．
（2）证明：连接．
，
则，
又，
，
．
18．(1)见解析
(2)9
【分析】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：
（1）连接，得，由是的切线得，得，得出，根据角平分线性质定理可得结论；
（2）根据证明，可得，设的半径为，在中由勾股定理列方程可求出的值
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵与切于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
设的半径为，则
∴
在中，，即，．
解得，
∴的半径长为9．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据弦垂直于点，由垂径定理得到，由，得到，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理推出，即，再根据，推出，由圆周角定理得到，即可得出，即可得出结论；
（2）连接，证明是等边三角形，得到，进而得到，利用勾股定理求出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：弦垂直于点，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接，
由（1）知，
经过点，
是的垂直平分线，
，
弦垂直于点，
同理，可得，
是等边三角形，
，
是的直径，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，弧，弦，角之间的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)5
【分析】此题主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，熟练掌握切线的判定，垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键．
（1）连接，交于点，先证，再根据垂径定理得，进而得，然后根据切线的判定和得出结论；
（2）连接，过点作于，先证四边形为矩形，得，，则，然后在中，由勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：连接，，如图1所示：
为的直径，
，
，
，
∴，
点为的中点，
，
，
又为的半径，
为的切线；
（2）解：连接，，过点作于，如图2所示：
设的半径为，
由（1）可知：，
又，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
的半径为5．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线性质知道，推出，结合等边对等角和平行线的性质，推出，可得，得证；
（2）根据圆周角定理及推论，可以知道，结合，得到的度数，然后根据圆的内接四边形的性质，推出的度数，从而推出的度数，由（1）可知，再结合三角形内角和，推出的度数，从而得到的度数．
【详解】（1）证明：如解图，连接
是的切线
；
（2）是的直径
四边形是的内接四边形
由（1）可得
．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，根据切线的性质得到，于是得到；
（2）根据，求得，得到，根据等腰三角形的判定和性质以及切线的性质即可得到，最后在中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
，
是的直径．
是的切线，
．
是的中点，
，
．
，
，，
，
是的平分线．
（2），
，
，即，故．
，
．
在中，．
在中，，
∴在中，．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的边角性质及解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了切线的判定、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质，灵活运用相关的性质定理是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，得到，证明结论；
（2）连接，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质证明，根据切线的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：点与点关于对称，
，
，
又，
，
，
；
（2）证明：连接，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点与点关于对称，
，
，
，
为的切线．
24．(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，圆的切线的判定，勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，得到为的直径，进而得到，再结合等腰直角三角形的性质，即可求出的度数；
（2）由同弧所对的圆周角相等，得到，再根据，，得到，即可证明结论；
（3）连接、，根据圆周角定理，得到，再利用勾股定理，即可求出的半径长．
【详解】（1）解：如图1，连接，
，
过圆心O，
为的直径，
，
是等腰直角三角形，
，
．
（2）证明：根据圆的性质可知，
，
，
，
，
是半径，
与相切．
（3）解：如图，连接、，
，
∴或（舍去），
∴的半径为。
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