人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程--动态几何问题训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程--动态几何问题训练
一、单选题
1．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）

A． B． C． D．
2．如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）

A． B．或4 C．或 D．
4．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）

A． B． C．或 D．
5．如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　）
A．s B．2s C．10s D．10s或2s
6．如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为( )
A． B． C．6 D．
7．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于．
10．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ．
11．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．
12．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
13．如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？

14．如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，点从点出发，沿射线方向以的速度移动，如果、两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于．

15．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ．
16．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为 ．
三、解答题
17．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为．
(1)当　　时，四边形为平行四边形；
(2)当时，求t的值．
18．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)_________；_________；（用含的代数式表示）
(2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？
19．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为

(1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后的面积为？
(3)多长时间后P点、Q点的距离为5？
20．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
(1) ， ， ， （用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形的面积为；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为．
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值．
【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又，
，
．
故选：B
2．B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当P点在上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，面积最大为3．
∴，即．
当P点在上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以．
故选：B．
3．C
【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是,
作，垂足为H，

则，，.
，
可得：，
解得，．
答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是.
故答案为：C.
4．D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设交于H，交于点G，

由平移的性质知，，
∴四边形是平行四边形，
∵由正方形的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为x，高，
∴，
∴．
即．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键.
5．B
【分析】设点P运动的时间为ts,根据题意得：,然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设点P运动的时间为ts,
根据题意得：,
∴
∵
∴，
∴
解得或（舍去），
∴点P运动的时间为2s,
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
6．B
【分析】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
设点E运动的时间是．
根据题意可得，
解得， ，
∵，
∴两点运动了后停止运动．
∴．
故选∶B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用．
7．B
【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据 PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可．
【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8 x）cm，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，
∴∠A＝45°，
∵PRBC，
∴∠APR＝90°，
∴PR＝PA＝xcm，
∵ PQCR的面积为△ABC面积的一半，
∴，
解得：，
∴点P移动的路程为4cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键．
8．C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
9．2或
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值．
【详解】解：设经过x秒，的面积等于，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，，
∴，
解得或4，
又知，
故符合题意，
当秒时，Q点在上运动，P在上运动，
，
解得．
故答案为：2或．
10．3或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于
列出关于t的方程，解之即可得出t值．
【详解】解：（秒），（秒），（秒）．
当时，连接，，此时，，如图1所示．
依题意得：，
即
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，，，如图2所示．
依题意得：
，
即，
解得：t（不合题意，舍去）；
当时，，，如图3所示．
依题意得：，
即，
解得：t．
综上，t的值为3或．
故答案为：3或．
11．或
【分析】本题考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．本题应分三种情况进行讨论，①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间求出；
②若，在中，由，，将数据代入，可将时间求出；
③若，则，可将时间求出．
【详解】解：过点作于，则四边形为矩形．
由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若，在中，，由得，解得；
②若，在中，，由得，即，
此时，，
所以此方程无解，．
③若，则，，
综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．
故答案为：或．
12．2或3
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t 秒，则，，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴2或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
13．1或4
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．
根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论．
【详解】解：设出发后秒时，．
四边形是菱形，，，
，，，，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
此时，，
则；
解得，（舍去）
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，
则；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，，
则；
解得（舍去），
综上所述，出发后或时，．
故答案为：1或4．
14．或或
【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，则，如图所示．

当运动时间为秒时， ，，， ，
依题意得：．
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：不符合题意，舍去，．
经过或或秒后，的面积等于．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．
【分析】根据题意设，则，在中，用含的式子表示出，根据两个小球的速度相等，时间相等，即可求解．
【详解】解：，，，设，则，
在中，，
∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等，
∴，则，
∴，解得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点、方程与直角三角形的综合，掌握直角三角形的勾股定理，根据数量关系列方程，解方程是解题的关键．
16．或
【分析】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE，即可得E点坐标为(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，Q点坐标为(t-2,0)，根据Q点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0＜t＜3，进而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根据△PQE是以 PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PE时，当QE=PE时两种情况，即可求解．
【详解】以B为原点、直线CF为x轴，直线AB为y轴，建立直角坐标系，如图，
∵，AB⊥CF，
∴AB⊥AG，
∴∠GAB=∠ABF=90°，
∵D点为AB中点，
∴AD=BD，
∴结合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，
∴AP=BE，
∵AP=2t，
∴BE=2t，
∴E点坐标为(2t,0)，
∵AB=BC=3，
∴CQ=t，即BQ=3-t，P点坐标为(-2t,3)，C点坐标为(-3,0)，A点坐标为(0,3)，
∴Q点坐标为(t-3,0)，
∵Q点在线段BC上，P点不与A点重合，
∴0＜t＜3，
∵BE=2t，BQ=3-t，
∴QE=BQ+EB=3+t，
∴利用勾股定理有：，，，
根据△PQE是以为腰的等腰三角形，分类讨论：
当PQ=PE时，有，
整理：，
解得（负值舍去），
当QE=PE时，有，
整理：，
解得（0舍去），
综上所述：t的值可以为，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键．解答时，需注意分类讨论的思想．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）当运动时间为时，，由四边形为平行四边形，可得出，进而可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点作于点，则，当运动时间为时，，，，由，利用勾股定理，可得出，进而可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，
根据题意得：，
∴，
解得：，
∴当时，四边形为平行四边形．
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴，
过点作于点，则，如图所示，
当运动时间为时，，，
根据题意得：，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：的值为或．
【点睛】本题主要考查动点与线段数量关系，平行四边形的性质，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，图形结合分析思想是解题的关键．
18．(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
（1）根据速度时间路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）根据题意得：，，
所以；
（2）如图，过点D作于H，
∵，即，
∴，
∴
∴
又∵D是的中点，
∴
∴，，
∴
∵的面积为
∴
∴
∴
整理得，
解得：，，
∴当或4时，的面积是．
19．(1)，，
(2)或时，的面积为
(3)秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用.
（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理解方程即可得到结论.
【详解】（1）解：；
；
的取值范围为：；
（2）设秒后,的面积为
根据题意得，
解得：，
答: 经过或时，的面积为；
（3）设秒后点、点的距离为，
根据题意得，，
解得： 或 (不合题意舍去)，
答：秒后点、点的距离为 ．
20．(1)；；；
(2)当t为5时，四边形的面积为．
(3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm
【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，．
故答案为：；；；．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：当t为5时，四边形的面积为．
（3）过点Q作于点E，则，如图所示．
依题意得：，
即，
解得，．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
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