人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程--根与系数的关系训练（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程--根与系数的关系训练
一、单选题
1．若m，n为方程的两个实数根，则（　　）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　）
A．1 B． C．3 D．
4．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数，满足 ，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．5
8．菱形两条对角线的长是方程的两个根，则菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，，则 ．
10．关于x的一元二次方程有一个根为3，则另一个根为 ．
11．关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
12．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
13．一元二次方程根与系数关系：如果，是一元二次方程的两个根，那么 ， ．
14．若关于的方程的一个根是，则另一根是 ，是 ．
15．若、分别为方程的两根，则 ．
16．若a、b是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
三、解答题
17．定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程的一个根是，求方程的另一个根；
(2)若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，求的值．
20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请问一元二次方程是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
(2)若一元二次方程是倍根方程，且方程有一个根为2，求的值？
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参考答案：
1．A
【分析】先根据一元二次方程的定义得到m2=2016﹣2m，则m2+3m+n可化为2016+m+n，再根据根用途系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：m为方程的实数根，
∴，
即，
∴，
∵m，n为方程的两个实数根，
∴，
∴．
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，可以得到关于y的方程的根符合，，然后整理化简，即可解答本题．
【详解】解：设关于y的方程的两根分别为，，
∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，
∴，，
∴，，
化简，得：，，
整理可得，，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵的两根为，
∴．，
∵，
∴，，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
4．D
【分析】根据题意，，，，化简代入计算即可．
本题考查了方程的根，根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据，，代入求解即可得到答案；
【详解】解：方程的两个根，，
，，
，
，，
，，
，
解得：，，
，
，
解得：，故，
故选：C.
6．D
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据题意得到：，所以、是关于的方程的两个根．根据根与系数的关系求得，然后求其倒数即可．
【详解】解：根据题意知，．
在的两边同时除以得到：，
、是关于的方程的两个根，
．
故选：D
7．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可．
【详解】解：，
故选：A．
8．B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出两条对角线之积，再利用菱形的面积公式解答即可．本题考查了根与系数的关系，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：设菱形的两条对角线长为，
∵菱形两条对角线的长是方程的两个根，
∴，
∴，
故选：．
9．或
【分析】本题主要考查运用一元二次方程的根解代数式的值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，结合，，将转化为关于的一元二次方程的两根，由此可求出的值，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴是关于的一元二次方程的两根，
∴，
解得，，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
10．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．设方程的另一根为t，利用根与系数的关系得到，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】解：设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得，，
解得，
即方程的另一个根为．
故答案为．
11．
【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解．
【详解】解：的两个实数根，
，
解得：，
由题可得：，，
，即，
将，，代入得，即，
解得，，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程得两根为和，则，是解题的关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
【详解】解：根据根与系数的关系得，．
故答案为：，．
14．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中，
∴，即，
解得：，
故答案为：，．
15．3
【分析】本题考查根与系数的关系，根据题意，得到，整体代入法求代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：3．
16．1
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元二次方程的解，求代数式的值，运用了整体代入的思想．先根据一元二次方程根的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：1．
17．0
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、新运算法则等知识点，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是解题的关键．
由根与系数的关系可找出，根据新运算得到，将其中的1替换成进行计算即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴．
18．(1)方程的另一个根为；
(2)．
【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程．
（1）将代入中，得，再解方程即可；
（2）先根据判别式求得m的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程的一个根是，
∴将代入中，得，解得，
∴解一元二次方程，得或，
∴方程的另一个根为；
（2）解：由题意知，
∴，
∵，
∴且；
∵一元二次方程的两个根分别为，，
∴，，，
∴，可化为，
解得或（舍去），
∴．
19．(1)见解析
(2)1
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系．
（1）用m表示出根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【详解】（1）证明：由题知，
∵，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：因为方程的两个实数根为a，b，
所以，，
所以
．
20．(1)一元二次方程是倍根方程，理由见解析
(2)，或，
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“倍根方程”的定义是解此题的关键．
（1）先利用因式分解法解一元二次方程得出，，从而推出，即可得解；
（2）由“倍根方程”的定义得出此方程的另一个根为或，再分两种情况，分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：一元二次方程是倍根方程，理由如下：
解得：，，
∵是的两倍，即，
∴一元二次方程是倍根方程；
（2）解：∵一元二次方程是倍根方程，且方程有一个根为2，
∴此方程的另一个根为或，
当方程的另一个根为时，，，
解得：，；
当方程的另一个根为时，，，
解得：，；
综上所述，，或，．
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