人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知方程，则此方程的所有实数根的和为（ ）
A．0 B． C．2 D．8
3．方程，如果设，那么原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（ ）
A． B．5 C． D．1
5．关于x的方程，则的值是（ ）
A． B．1 C．或1 D．3或
6．关于x的一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）
A．2，3， B．2，，1 C．2，， D．，3，1
7．已知，是方程的两个根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知实数，满足，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
12．已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ．
13．已知，关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．
14．若关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，则k的值为 ．
15．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ．
16．如果关于x的方程是一元二次方程，那么m的取值范围为 ．
17．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的边长为 ．
18．若一元二次方程的两根为a，b，且，则的值为 ．
19．关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ．
20．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于．
三、解答题（共60分）
21．解方程：
(1)； (2)．
22．若是关于x的一元二次方程，求m的值．
23．已知：关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个实数根
(2)若方程的有一个根大于3，求k的取值范围
24．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某市从2021年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．
(1)求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
(2)2023年小区改造的平均费用为每个80万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市2024年最多可以改造多少个小区？
25．如图，中，∠，，，点P从B点出发以每秒的速度向C点运动，同时Q从C点出发以相同的速度向A点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间为

(1)用含t的代数式表示、的长，并直接写出t的取值范围；
(2)多长时间后的面积为？
(3)多长时间后P点、Q点的距离为5？
26．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地2022年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．
(1)求到2024年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？
(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．
①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、方程是一元二次方程，故符合题意；
D、方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，解一元二次方程，分类讨论，是解决问题的关键．
根据已知方程，分，，，三种情况讨论求根，取所有根的和即可．
【详解】解：①当时，
方程化为：，
即，
∴，
解得（舍去），；
②当时，
方程化为：，
即，
∴，
解得（舍去），，
③当时，方程不成立．
∴此方程的所有实数根的和为：
．
故选：A．
3．D
【分析】此题主要利用换元法变形，注意变形时与互为相反数，符号要变化．注意变形时符号的变化．
【详解】解：∵
∴
所以．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，提公因式得到，解方程即可得到答案，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键．
【详解】解：，
，解得或，
关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可．
【详解】解：设，则此方程可化为，
∴，
∴或，
解得，，
∴的值是1或．
当时，，
∵，
∴此方程无解，
∴的值是1．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．
根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．
【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，3，，
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，然后再整体代入即可解答．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故选D．
8．D
【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程．熟练掌握平移性质，矩形性质和面积公式，是解决问题的关键．
设道路的宽为x米，根据平移性质，余下部分草坪的长为米，宽为米，根据矩形的面积公式可列方程．
【详解】解：设道路的宽为x米，
根据题意得．
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，配方的应用，由实数，满足，，则，是方程的两个实数根，则有，，，然后代入可得，又，故，从而求解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵实数，满足，，
∴，是方程的两个实数根，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
即的最小值是，
故选：．
10．A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．
把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可．
【详解】解：由题意得：．
故选：A．
11． 1 2
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项．
先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得，所以二次项系数为，一次项系数为2，常数项是
【详解】解：由得到：，
∴其二次项系数是3，一次项系数为2，常数项为．
故答案为：3，，．
12．3
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：3．
13．
【分析】本题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．
由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
14．7
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，把代入已知方程，列出关于k的新方程，解新方程即可求得k的知．
【详解】解：关于x的方程（k为常数）有一个实数根为，
．
解得．
故答案为：7．
15．/0.25
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解方程和不等式得到m的值．
【详解】解：方程化为一般式为，
根据题意得且，
解得m，
即m的值为．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，根据一元二次方程的一般形式即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
即，
故答案为：．
17．5
【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质及勾股定理，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案．
【详解】解：
，
解得：，即菱形的两条对角线长分别为6和8，
菱形的边长为，
故答案为：5．
18．0
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先解一元二次方程，得出a、b的值，然后求出的值即可．
【详解】解：，
移项得：，
方程两边同除以4得：，
方程两边同加上得：，
配方得：，
开平方得：，
解得：，，
∵一元二次方程的两根为a，b，且，
∴，，
∴．
故答案为：0．
19．
【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得．
【详解】解：可以用直接开平方法求解，
，
．
故答案为．
20．2或4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程．
设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论．
【详解】解：设经过秒，的面积等于，则，，
根据题意，可得：，
即，
解得：，，
∴经过或，的面积等于，
故答案为：2或4．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）
或，
∴．
22．4
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答即可，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：∵
∴且，
解得．
即m的值为4．
23．(1)见详解
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和解法、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）求出一元二次方程根的判别式，根据判别式的范围即可得到结论；
（2）解方程得，根据方程有一个根大于2得到，即可得到的取值范围．
【详解】（1）证明：依题意，得，
，
，
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：解方程得，，
∵该方程有一个根大于3，
，
．
24．(1)
(2)21个小区
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，根据2023年投入资金金额2021年投入资金金额（年平均增长率），列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）用2024年投入的费用除以改造的平均费用即可求解．
【详解】（1）解：设该市改造小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为；
（2）解：．
答：该市在2024年最多可以改造21个小区．
25．(1)，，
(2)或时，的面积为
(3)秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.注意分类思想的运用.
（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据勾股定理解方程即可得到结论.
【详解】（1）解：；
；
的取值范围为：；
（2）设秒后,的面积为
根据题意得，
解得：，
答: 经过或时，的面积为；
（3）设秒后点、点的距离为，
根据题意得，，
解得： 或 (不合题意舍去)，
答：秒后点、点的距离为 ．
26．(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；
(2)售价应降低元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方运算求解即可；
（2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【详解】（1）解：（亩）
答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；
（2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克；
②依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
∵要尽量减少库存，
∴．
答：售价应降低元．
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