第3章 不等式——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第3章 不等式——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若两个正实数x,y满足,且不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2．已知函数的图象关于对称，且对，，当且时，恒成立.若对任意的恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．若两个正实数x,y满足且存在这样的x,y使不等式有解,则实数m的取值范围是( )
A.或 B.
C.或 D.
4．已知函数,若在上恒成立,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
6．研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解法：
解：由，令，则，所以不等式的解集为.参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7．关于x的方程的一根在区间内，另一根在区间内，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知，若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设,,且,则下列结论正确的是( )
A.的最大值为2 B.的最小值为2
C.的最小值为 D.
10．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
11．已知正数x,y满足,则下列选项正确的是( )
A.的最小值是2 B.xy的最大值是1
C.的最小值是4 D.的最大值是
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若正数m,n满足,则mn的最大值为__________．
13．已知,,,则的最小值是______________.
14．若对任意, 恒成立,则ab的最大值为_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知关于x的不等式.
（1）当，，时，求该不等式的解集；
（2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集.
①，，；
②，，.
16．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，取到最小值-2.
（1）请你模仿小明的解法，研究，的最小值；
（2）求出当时，，的最小值.
17．已知关于x的不等式的解集为.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式的解集为R，求实数m的取值范围.
18．已知关于x的不等式.
（1）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
19．已知正实数a，b满足，求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：根据题意,两个正实数x,y满足,变形可得,即
则有,
当且仅当时,等号成立,则的最小值为2,
若不等式有解,则有,解可得或,
即实数m的取值范围是．
故选：D．
2．答案：A
解析：解析:函数的图象关于直线对称,
函数的图像关于y轴对称,即为偶函数.
又当且时,恒成立,
在区间上单调递减,
在区间上单调递增.
,，
即，恒成立.
令,则在区间上恒成立.
令，当,
即时,在区间上单调递增,
符合题意;
当,即或时,
应满足,解得且,
此时a的取值范围为或.
综上,a的取值范围是.
故选项A符合题意.
3．答案：A
解析：由题意,,
当且仅当,即,时等号成立.
故若存在这样的x,y使不等式有解.
即或.
故选：A.
4．答案：C
解析：当时,,故,
即,由随增大而增大,故,
当时,恒成立。
当时,,故,
即,由随增大而增大,故,
当时,,故,
即,由随增大而减小,故,
即,
综上所述,.
故选：C.
5．答案：C
解析：若或，或显然无意义.故A选项错误；
若，则.故B选项错误；
因为，所以各项同时乘以a得.故C正确；
若，则.故D错误.故选C.
6．答案：A
解析：由，得，令，因为不等式的解集为，且，所以，所以关于x的不等式的解集是.
7．答案：C
解析：由题意知二次函数的零点一个在区间内，另一个在区间内，所以当时，；当时，；当时，，即解得.
8．答案：C
解析：因为关于x的不等式有解，所以.
方法一：因为，，所以，当且仅当，即时，取“=”，所以，故，即，解得或，所以实数m的取值范围是.
方法二：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，故，即，解得或，所以实数m的取值范围是.
9．答案：ACD
解析：
10．答案：ABC
解析：因为的解集为，
所以，且方程的两根分别为2，3，
由韦达定理可知：，结合，解得，，所以，
所以选项A、B正确；
因为，所以选项C正确；
因为，所以选项D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：
12．答案：10
解析：因为,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,故mn的最大值为10．
故答案为：10.
13．答案：11
解析：由,,,
得,
则
,
当且仅当时等号成立,
此时或;
则的最小值是11.
故答案为：11.
14．答案：
解析：令,则,故,
对任意,,则恒成立,
,此时,
,
当,,时取等号,
此时成立,
ab的最大值为．
故答案为：．
15．答案：（1）
（2）选择条件①：当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为或
选择条件②：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或
解析：（1）当，，时，不等式为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
（2）方案一：选择条件①.
当，，时，不等式为，即.
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为R，
当时，不等式的解集为或.
综上，当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为或.
方案二：选择条件②.
当，，时，不等式为.
若，则不等式为，此时不等式的解集为.
若，则不等式可化为，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
16．答案：（1）-3
（2）
解析：（1）由，知，
当且仅当时，取到最小值-3.
（2）由，，知
，
当且仅当时，取到最小值.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）等价于，即.
因为不等式的解集为，
所以，解得.
（2）由（1）可知，又，
所以等价于，
即，由题意知该不等式对恒成立.
①当时，可得，不符合题意；
②当时，有
所以，故实数m的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）方法一：不等式变形为，即，
因为对任意实数x，不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是.
方法二：若对任意实数x，不等式恒成立，
则关于x的方程的根的判别式，
即，解得，
所以实数m的取值范围为.
（2）方法一：不等式变形为，即.
当，即时，，
则，即，解得，故且.
当，即时，原不等式恒成立.
当，即时，，
则，即，解得，
故且.
综上，实数x的取值范围是.
方法二：不等式，可看成关于m的一次不等式，
又，所以得且，
所以实数x的取值范围是.
19．答案：
解析：
.
由，得（当且仅当时等号成立），
所以，且，
所以，
所以的最小值为.
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