第4章 指数与对数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试（含解析）

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第4章 指数与对数——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，则( )
A.2 B.3 C.5 D.6
2．已知，，则( )
A.25 B.5 C. D.
3．化简的值为( )
A.1 B.2 C.4 D.6
4．若，则实数m的值为( )
A.4 B.6 C.9 D.12
5．溶液的酸碱度一般用pH表示，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是.已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为，则这种苏打水的pH为（精确到0.001，参考数据：）( )
A.8.699 B.8.301 C.7.699 D.6.602
6．已知，则( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
7．素数定理是关于素数个数问题的一个命题：设，以表示不超过x的素数个数，当时，.根据此结论，估计以内的素数的个数约为( )
（素数即质数，，计算结果取整数）
A.1085 B.2085 C.2869 D.8686
8．方程的实数解的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．规定a，b之间的一种运算，记作，若，则.下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.若，，则
10．若，，则( )
A. B. C. D.
11．设a，b，c都是正数，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知，，则XYZ的可能取值为__________.
13．设，，且，则___________.
14．已知a，b，c均是不为1的正数，且，则的值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数,.
（1）当时,判断函数的奇偶性并证明;
（2）给定实数且,问是否存在直线,使得函数的图像关于直线对称 若存在,求出的值（用a表示）;若不存在,请说明理由.
16．计算：
（1）;
（2）
（3）.
17．计算：
（1）
（2）已知，，试用a，b表示.
18．已知，，化简下列各式.
（1）；
（2）.
19．设，其中，且.
（1）求证：；
（2）求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：设，则，，，故.
2．答案：C
解析：由两边取以2为底的对数，得.又，所以，所以.
3．答案：B
解析：原式.
4．答案：A
解析：方法一：因为
，所以，所以.
方法二：因为，所以.
5．答案：B
解析：由题意得这种苏打水的pH为
.
6．答案：C
解析：方法一：因为，所以，即，所以.
方法二：由，得，则，所以.
7．答案：A
解析：由题可知以内的素数的个数为.
8．答案：B
解析：依题意，原方程等价于（，），即，由，，且，知该方程只有一个正实数解，且不为1，故选B.
9．答案：ACD
解析：因为，所以，故A正确；令，，则，，所以，即，所以，即，故B错误；令，，，则，，，所以，即，所以，即，故C正确；因为，，令，则且，所以，则，所以，当且仅当，即，即时取等号，故D正确.
10．答案：BCD
解析：若，，则，，A错误，B正确；，C正确；，D正确.
11．答案：AD
解析：由于a，b，c都是正数，故可设，所以，，，则，，.因为，所以，即，整理可得.故选AD.
12．答案：10或
解析：由，得①，同理由，得②.可得，则，则或.
13．答案：12
解析：因为，，所以，，所以.
14．答案：
解析：由，可得，，，所以.
15．答案：（1）偶函数,证明见解析;
（2）存在符合题意.
解析：（1）当时,,函数为偶函数,证明如下:
,
又函数的定义域为R,
函数为偶函数;
（2）假设存在直线,使得函数的图像关于直线对称,
则,
,
即,即,
,即,
,
,即,
且,
,
故存在,使得函数的图像关于直线对称.
16．答案：（1）8
（2）
（3）64
解析：（1）;
（2）;
（3）.
17．答案：（1）10；（2）
解析：（1）
，
（2）
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式
.
19．答案：（1）证明见解析
（2）3
解析：（1）
.
（2）在（1）中，分别令，相加得原式.
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